基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳
1．基本不等式2
b
a a
b +≤
(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？
提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2
ab b
a b a =+⇒= ②仅当b a =时，
ab b a ≥+2取等号，即.2
b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式
：
).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a
a b R b a ab b a
),(2
)2();,()2(2
222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤
3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2
b
a +，几何平均数为a
b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则
(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．
：
(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4
2
p (简记：和定积最大)．
[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x
x y 1
+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2
5min =
y
[自测·牛刀小试]
1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )
"
A ．18
B ．36
C ．81
D ．243
解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
2．若函数)2(2
1
)(>-+
=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则
2
y xz
的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为1
8
！
4．函数x
x y 1
+
=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．
利用基本不等式证明不等式
|
[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++b
a
保持例题条件不变，证明：
a ＋12
＋
b ＋12
≤2.
>
———————————————————
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
]
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用
基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
1．已知,0,0,0>>>c b a 求证：
.c b a c
ab b ca a bc ++≥++
：
利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( )
…
A.
245 B.28
5
C ．5
D ．6
(2)已知,0,0>>b a ,12
2
2
=+b a 则21b a +的最大值为________． —————
——————————————
应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
~
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
1．(1)函数)1,0(1≠>=-a a a
y x
的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求
n
m 1
1+的最小值；
(2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围．
`
利用基本不等式解决实际问题
[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足1
24+-
=t k
x (k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； %
(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
!
—————
——————————————
解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；
3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求. 4
有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变
成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.
￥
3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品
每件定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入)
600
(
6
1
2-
x万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x
5
1
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
^
1个技巧——公式的逆用
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如ab
b
a2
2
2≥
+逆用就是),0
,0
(
2
2
2
>
>
+
≤b
a
b
a
ab逆用就是)0
,
(
)
2
(2>
+
≤b
a
b
a
ab等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
2个变形——基本不等式的变形
(1)
(2)).
,
,
(
2
)
2
(
2
2
2”
时取“
当且仅当=
=
∈
≥
+
≤
+
b
a
R
b
a
ab
b
a
b
a
(3),0
,0
(
1
1
2
2
2
2
2
>
>
+
≥
≥
+
≥
+
b
a
b
a
ab
b
a
b
a
).
”
时取“
当且仅当=
=b
a
\
3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用
&
1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．
2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．
[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线m y l =:1和),0(1
28
:2>+=
m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右
相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，
a
b
的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2 C ．348 D ．344 [名师点评]
1．本题具有以下创新点
(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．
>
(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 2．解决本题的关键有以下几点
(1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；
(2)正确理解b a ,的几何意义，并能正确用A 、B 、C 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将)0(1
28
>++m m m 化成利用基本不等式求最值的形式．
[变式训练]
1．已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cd
b a 2
)(+的最小值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
%
2．若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆01422
2=+-++y x y x 截得的弦长为4，则b
a 1
1+的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.3
2＋2 2 3．若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+
恒成立，则a 的最小值是________．
练习
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) ；
1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )
A ．)0(lg )41lg(2
>>+x x x B ．),(2sin 1
sin Z k k x x
x ∈≠≥+
π
C ．)(212R x x x ∈≥+ D.
)(11
1
2
R x x ∈>+ 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （b a <），其全程的平均时速为,v 则( ) A ．ab v a << B ．ab v =
C.2b
a v a
b +<
< D ．2
b
a v +=
3．若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则
b
a 1
1+的最小值是( ) ]
A.1
4
B ．1
C ．4
D ．8
4．(2013·淮北模拟)函数)1(1
2
2>-+=
x x x y 的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
5．设,0,0>>b a 且不等式
011≥+++b
a k
b a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2
6．(2013·温州模拟)已知M 是ABC ∆内的一点，且AB ·AC ＝23，
,300
=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为
,,,2
1
y x 则y x 41+的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．19
~
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
8．若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①1≤ab ②2≤
+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤
.21
1≥+b
a 9．(2013·泰州模拟)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) ：
10．已知.0,0,0,0>>>>d c b a 求证：
.4≥+++ac
ad
bc bd bc ad
，
11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数)(x v 的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时))()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
1．已知,1log log 22≥+b a 则b
a 93+的最小值为________． 2．设
b a ,均为正实数，求证：
.22112
2≥++ab b a ￥
3．已知,45<
x 求5
4124)(-+-=x x x f 的最大值．
&
4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1|
|B 1C 1|＝),1(>x x 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？
/
[归纳·知识整合]
1．合情推理
(1)归纳推理：
、
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？
提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．
"
2．演绎推理
(1)模式：三段论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
^
提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．
[自测·牛刀小试]
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所
有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°.
A ．①②
B ．①③
C ．①②④
D ．②④
2．观察下列各式：55
＝3 125,56
＝15 625,57
＝78 125，…，则5
2 013
的末四位数字为( )
/
A ．3 125
B ．5 625
C ．0 625
D ．8 125
3．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误
!
归纳推理
[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：,,11,7,4.3,15
5
4
4
3
3
2
2
=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a 则
=+1010b a ( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
(2)设,3
31
)(+=x
x f 先分别求),3()2(),2()1(),1()0(f f f f f f +-+-+然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
#
利用本例(2)的结论计算)2015()1()0()1()2013()2014(f f f f f f ++++-++-+- 的值．
|
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
!
1．观察下列等式：
1＝1
1
＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10
1＋2＋3＋4＋5＝15
…
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
13＋23＋33＋43＋53＝225
…
可以推测：13＋23＋33＋…＋3n＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．
类比推理
[例2] (2013·广州模拟)已知数列}
{
n
a为等差数列，若b
a
a
a
n
m
=
=,),
,
,1
(+
∈
≥
-N
n
m
m
n则,
m
n
ma
nb
a
m
n-
-
=
+
类比等差数列}
{
n
a的上述结论，对于等比数列}
{
n
b),
,0
(+
∈
>N
n
b
n
若d
a
c
a
n
m
=
=,),
,
,2
(+
∈
≥
-N
n
m
m
n则可
以得到=
+m
n
b________.
———————————————————
!
类比推理的分类
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
2．在ABC
∆中，,
AC
AB⊥BC
AD⊥于D,求证：.
1
1
1
2
2
2AC
AB
AD
+
=
|
%
演绎推理
[例3] 已知函数).
1
(
)
(≠
>
+
-
=a
a
a
a
a
x
f
x
且
(1)证明：函数)
(x
f
y=的图象关于点)
2
1
,
2
1
(-对称；
(2)求)3(
)2(
)1(
)0(
)1
(
)2
(f
f
f
f
f
f+
+
+
+
-
+
-的值．
"
.
———————————————————
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
3．已知函数,
)
(bx
x
a
x
f+
=其中),
,0(
,0
,0+∞
∈
>
>x
b
a试确定)
(x
f的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．
!
，
2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；
③检验猜想．
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论
!
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；
③检验猜想．
观察、比较→联想、类推→猜想新结论
1个区别——合情推理与演绎推理的区别
(1)归纳是由特殊到一般的推理；
(2)类比是由特殊到特殊的推理；
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；
(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.
创新交汇——合情推理与证明的交汇创新
1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．
2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，)1sin()(2
+=x x f 是正弦函数，因此)1sin()(2
+=x x f 是奇函数，以上推理( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式,3)2
(224,2122≥++=+≥+
x
x x x x x x 由此可以推广为,1+≥+
n x
p
x n 取值p 等于( ) A ．n
n B ．2n
C ．n
D ．1+n
3．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(y x ,)的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(y x ,)的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(y x ,)的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(y x ,)的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
5．设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则;2c
b a S
r ++=
类比这个结论可
知：四面体ABCD S -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为R ，四面体ABC S -的体积为
V ，则R ＝( )
A.
4
321S S S S V
+++
B.
4
3212S S S S V
+++
C.
4
3213S S S S V
+++
D.
4
3214S S S S V
+++
6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式
1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …
照此规律，第五个不等式为________．
8．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位
回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．
1.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )
A.1 023
2 048
2
a B.1 023
768
2
a
C.
511
1 024
2
a D.2 047
4 096
2
a。