认识分式练习题
§5.1(2) 认识分式-分式的基本性质
(2) x 与- x 有什么关系? 相等
yy
x 与- x 有什么关系? 相等
-y y
下午4时12分
14
还记得有理数的除法法则么？
“同号得正，异号得负”
分式符号变换有依据么？是什么呢？
分式的符号法则与有理数除法的符号法则相 类似，也遵循“同号得正，异号得负”.
[小结]分式的符号法则：
分式的分子、分母和分式本 身的符号,改变其中任意两项 的符号,分式的值不变．
下午4时12分
3
１、下列各式中，属于分式的是（ B ）
A. x 1 B. 2
2
x 1
C. 1 x2 y 2
D. a 2
２、当x＝＿2＿＿＿时，分式
x 1 2x
无意义。
x 1
3、当x ＿≠＿2 ＿时， 分式 2 x 有意义。
4.分式 a 2 1 的值为零的条件是___a_=_1_ .
时,小颖和小明的做
法
出现
小颖： 5xy 20x2y
5x 20x2
小明：250xxy2y
5xy 4x 5xy
1 4x
你对他们俩的解法 有何看法?说说看！
对于分式而言，彻底约 分后的分式叫什么？
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
•彻底约分后的分式叫最简分式.
下午4时12分
12
练习1.（做一做）
6、分式的符号法则
下午4时12分
2
分式的定义
1、上面的问题出现了代数式:
90 , x
24x00,
2400 x 30
,
n
2
n
180
,
分式的基本性质2
例4 通分 1
1
（1）
a
2b（2）
，
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂
可以对分式进行约分和通分.
例3 约分 （1）16 x2 y3
20 xy4
（2） x2 4
x2 4x 4
约分的依据：分式的基本性质。
约分的方法：分子和分母同除以它们的公因 式。因此，约分的关键是要首先找到它们的 公因式，分子分母是多项式的要分解因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫 最简分式。
复习：
1、什么是分式？
2、使分式有意义要有什么条件？
两个整式A、B相除时，可以表示为 A的形 式。如果B中含有字母，那么 A 叫做B分式。
分母B≠0时分式 A 有意义 B B
5 53，9 93 ， 8 8 3 24 24 3
分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以 （或除以）同一个不等于零的数，分数的值 不变。
x
3y
（2）a b
3ab
2a2+2ab
6a2b
解：（1）∵x≠0
∴
x2 x2 x x 3xy 3xy x 3y
即填3y
（1）∵a≠0
∴
ab 3ab
a b 2a
3ab 2a
2a2 2ab 6a 2b
即填2a2+2ab
与分数类似，根据分式的基本性质，
;
；
人觉得微笑很困难，以为是一个如何掌控面容的技术性问题，其实不然。不
北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程教学说课(第2课时)
活动探究
问题2：化简下列分式：
1
a2bc ab
解：a2bc ab
= ab ac ab
=ac
2
x2 -1 x2 -2x+1
解： x2 -1 x2 -2x+1
= x+1 x-1 x-12
= x+1 x-1
约分：把分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做约分.
活动探究
探究点三 问题1：在约分时，小颖和小明出现了分歧.你对他们两人的做法有什么看法？
的值( B )
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
4.若把分式
xy x y
中的x 和y 都扩大3倍,那么分
式
A
的A．值扩( 大3).倍 B．扩大9倍
C．扩大4倍 D．不变
5.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？
1
m2 2m 1 m2
1
;
2
a b
b2 a4
;
3
x2
y2
y2
;
4
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解
则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的
公因式进行约分.
解：（2）x2
x2
9 6x
9
（x
3）（x （x 3）2
3)
x 3. x3
做一做
约分:（1）a2bc ； ab
解：（1）a2bc ab ac ac.
ab
ab
（2） x2 1 ． x2 2x 1
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个 不等于零的数，分数的值不变.
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
讲授新 课分式的基本性质
2.1 认识分式(2)
g
gh
g
gh
为什么所乘的整式不能为零呢?
(做分母的数(式)不能为 0)
看懂分式的 “变形”
例 1 下列等式成立吗?右边是怎样从左边得到的？ 依据是?
1) b bm (m 0); 2a 2am 2) an a . bn b
解: 1) 因为 m 0
b b m bm ; 所以 2a 2a m 2am
an an n a . bn bn n b
2) 因为 n 0 所以
例 2
例3 约简分式(约分)
化简下列分式 : 2 a （1） bc ；
ab
x2 1 （ 2） x 2 2 x 1 . x 2 1 ( x 1)(x 1) （ 2） x 2 2 x 1 ( x 1)2 x 1 = x 1 ；
鲁教版八上·§2.1（2）
2.1 认识分式（2）
教学目标、重点、难点
掌握分式的基本性质；
能利用分式的基本性质化简分式. 能判断一个分式是否有意义， 会求一个分式有意义的条件.
重点：分式的基本性质、约分； 难点： 分解因式、约分.
31 1、 6 2 的依据是什么？ 3 1 的依据是 分数的基本性质， 6 2 将 3 的分子、分母同除以3而得到的； 6
分式的基本性质
a 1 2a 2 n2 n . mn m
类比分数的基本性质， 你能获得分式的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的数， 【分数的 基本性质 】 分数的值不变.
【分式的 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整 基本性质 】 式，分式的值不变. f f h f f h , 用式子表示，即 (h 0)
2整式与分式.习题集A-学生版
考点一整式的运算☞考点说明：本类题型经常会在选择题第4题或5题的位置，以及解答题第14题或第15题的位置出现。
选择题一般考察整指数运算，计算题一般情况下会考察整体代入的基本思想。
【例1】 下列运算正确的是( )A ．224236x x x ⋅=B ．22231x x -=-C ．2222233x x x ÷= D ．224235x x x += 【练习】下列计算正确的是（ ）A ．2x x x +=B ．22431x x -=C ．3322x x x ⋅=D ．441x x ÷=【练习】下列运算正确的是（ ）A ．3412x x x ⋅=B ．()()623623x x x -÷-=C ．()()233xy xy xy ÷=D ．2236x x x ⋅=【例2】 若实数a 满足2240a a --=，则=+-5422a a _________。
【练习】若21x y -=-，2xy =，则代数式(1)(1)x y -+的值等于（ ）A ．222+B ．222-C ．22D ．2 【练习】已知整式252x x -的值为6，则652x x -+的值为_________． 【例3】 已知2430x x -+=，求4)1)(1()1(22--+--x x x 的值．【练习】已知2220a ab b ++=，求代数式()()()422a a b a b a b +-+-的值【练习】已知：()310x x +=，求代数式()()22105x x x -++-的值 考点二 乘法公式☞考点说明：本类题型会以选择、填空的形式出现、同时也可能会结合在解答题中进行考察，因此位置不固定。
但不管在什么位置出现，必须让学生熟练掌握平方差公式和完全平方公式【例4】 如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A.()2222a b a ab b -=-+B.()2222a b a ab b +=++C.22()()a b a b a b -=+-D.2()a ab a a b +=+ 【例5】 若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m _______．【例6】 若249x kx -+是完全平方式，则k 的值为________．【练习】若229123x x k ++是完全平方式，则k 的值为________．中考满分必做题【例7】 代数式221x x --的最小值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【练习】用配方法把代数式245x x -+变形，所得结果是（ ）A ．2(2)1x -+B ．2(2)9x --C ．2(2)1x +-D ．2(2)5x +-【练习】已知2x y +=，则xy （ ）A.有最大值1B.有最小值1C.有最大值12D.有最小值12考点三 因式分解☞考点说明：本类型题经常会在填空题的第2题出现，只有很少的可能会出现在选择题中。
分式的基本性质2
＝
b a 2b 2
1＝
ab 2
1 a ab2 a
＝
a a 2b 2
解: （2）x
1
y与
x
1
y
的最简公分母为(x-y)(x+y)
，
所以
1＝
x y
1（ x y） ＝
(x y)( x y)
x y x2 y2
x
1
y
＝
1(x y) ＝
(x y)( x y)
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示是：
A A M , A A M （M≠0，B≠0） B BM B BM
注：分式的基本性质是约分、通分及化简繁分式 的理论依据。就是说，分式的基本性质是分式恒 等变形的理论依据。
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
2a2+2ab
6a2b
解：（1）∵x≠0
∴
x2 x2 x x 3xy 3xy x 3y
即填3y
（1）∵a≠0
∴
ab 3ab
a b 2a
3ab 2a
2a2 2ab 6a 2b
即填2a2+2ab
与分数类似，根据分式的基本性质，
可以对分式进行约分和通分.
例3 约分 （1）16 x2 y3
xy x y
1
1
（3） x2 y 2 ， x2 xy
通分：把几个异分母的分式分别化为与原 来的分式相等的同分母的分式叫通分。
通分的关键：确定几个分式的公分母。 各分母的所有因式的最高次幂
认识分式(第2课时)同步课件
典例探究
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）b = by y 0；
2x 2xy
（2）ax = a . bx b
分析：第（1）题没有隐含y≠0,所以括号中指明了y≠0； ax
第（2）题已经隐含着x≠0的条件，否则 没有意义，所以题目中没有特别指明x≠0。 bx
解:（1）因为y ≠0，所以 b = b y = by ； 2x 2x y 2xy
北师大版数学八年级下册
5.1 认识分式 （第二课时）
学习目标
知识目标
技能目标
理解分式的基本性质， 能利用分式的基本性质 对分式进行变形。了解 分式约分的步骤和根据， 掌握分式约分的方法。
使学生了解最简分式的 意义，能将分式化为最 简分式。
素养目标
培养学生在已有数学经 验的基础上得出新知识 的能力。加强事物之间 的联系，激发学生学习 数学的兴趣。
ab
解：（1）a2bc = ab ac = ac；
ab ab
（2） x
2
x2 1 2x
1
.
（2） x
2
x2 1 2x 1
=
x
1 x 1 x 12
=
x x
1. 1
说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ; 在（２)中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)； 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形 称为分式的约分．
（x 3）（x 3) （x 3）2
x 3. x3
若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式 分解因式，然后约去分子、分母所有的公 因式．
归纳总结
约分的基本步骤:
（１）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
北师大版八年级下册数学《认识分式》分式与分式方程说课教学课件复习
3
2
= ，分式无意义
0
三个条件
1.分式无意义的条件：
分母等于零
2.分式有意义的条件：
分母不等于零
3.分式的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零
+2
−
例3．已知分式
，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.
求a＋b的值．
解： ∵ 当x＝1时，分式无意义，
∴ 1－a＝0，a＝1.
(2)解方程,求出所含字母的值.
(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母
为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去.
(4)写出答案.
巩固练习
变式训练
下列判断错误的是 (
D )
2
A.当a≠0时,分式 a有意义
3a - 6
B.当a=2时,分式 2a + 1的值为0
a-2
C.当a>2时,分式
的值为正
0;
2a 1 2 ( 1) 1
当a=-1时
，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义. 1
a .
由分母2a-1=0，得
2
所以，当
1
a 1
a
2 时，分式 2a 1 有意义.
巩固练习
变式训练
已知分式
x 1
有意义，则x应满足的
( x 1)( x 2)
（2）当x = －0.4时，
课堂检测
基础巩固题
3.下列分式中,无论x取何值,分式总有意义的是 (
1
A. 2
5x
1
B. 2
x +1
1
C. 3
〖2021年整理〗《认识分式》专项练习配套精选卷
认识分式1下列说法正确的是（ ），B 是整式，那么BA 就叫做分式;B 只要分式的分子为零，则分式的值就为零;C 只要分式的分母为零，则分式必无意义;D 因为xx 2不是分式，而是整式 2在x 1，21，212+x ，πxy 3，a m 1中,分式的个数有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个12--a a a 取值应是（ ） A 任意实数 B a 1-≠ C a 1≠ D a 0≠或14要使分式1122+-a a 有意义，则a 取值应是（ ） A ．-1 B 1 C 1± D 任意实数 =2时，下列各式的值为0的是（ ） A2322+--x x x B 21-x C 942--x x D 12-+x x 6对于分式13-+x a x 中，当=-a 时，下列结论正确地是（ ） A 分式无意义 B 分式值为0C 当a 31-≠时，分式的值为0D 当a 31≠时，分式的值为0 7下列各式从左到右的变形不正确的是（ ） A yy 3232-=- B x y x y 66=-- C y x y x 4343-=- D yx y x 3838-=-- 8下列各个算式中正确的是（ ）A ．22ab a b =; B b a b a b a +=++22; C 22y y x y x y =++; D 11322316x y x y xy xy --= 9把分式则分式的值倍都扩大中,2b ,a 2ba a +（ ） A 扩大4倍 B 扩大2倍 C 缩小2倍 D 不变 10下列等式成立的是（ ） Ab a b a b a -=-+22 B b a b a ba b ab a +-=-+-2222 C a b b a b ab a -=-+-222 D ()b a a b b a --=--12 ,52,53,8,7,32,22b a y x xy y x y x -+--中，是分式的是 12要使分式321-+a a 有意义，则a 的值应是 ；要使分式142--a a 的值为零，则a 的值应为 13分式x x-1，当 时，其值为0；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为正数 14化简=abbc a 15252 =3时，分式44422+--x x x 的值为参考答案11yy x +53, 23≠ a=2 =0 =1± -1<<1且0≠ 1453ac。
分式(三)分式恒等变形
分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。
小学五年级下册数学能力提升掌握分式的计算和应用
小学五年级下册数学能力提升掌握分式的计算和应用在小学五年级下册数学学习中，分式的计算和应用是非常重要的内容。
本文将就如何提升小学五年级学生的分式计算能力及其应用进行探讨，并提供适合该年级学生的有效的学习方法和练习题。
一、认识分式分式是数学中的一种表示方法，由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，分母表示分式的除数。
分式的计算需要掌握四则运算规则和分式的合并、分解、约分等基本操作。
二、分式的计算1. 分式的加法和减法对于分式的加法和减法，首先要找到它们的公共分母，然后按照相同的规则合并分子，最后将结果化简为最简分数。
例如：⅔ + ⅖ = （2×3 + 5×2）/（3×5）= 16/15⅘ - ⅖ = （4×5 - 5×2）/（5×5）= 5/25 = 1/52. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法要将分子和分母分别相乘和相除。
注意在进行乘法运算前化简分数，最后将结果化简为最简分数。
例如：⅔ × ⅖ = （2 × 3）/（3 × 5）= 6/15 = 2/5⅘ ÷⅖ = （4/5）/（2/5）= 4/5 × 5/2 = 4/2 = 2三、分式的应用1. 对于零件问题的解决在日常生活中，我们经常会遇到类似的零件问题，例如甲工人将一件工作分为5等份，乙工人将同一份工作分为7等份，问两人分完零件后还剩下多少等份？解决这类问题可以利用分式计算：甲工人剩余的等份数 = 1 - 1/5 = 4/5乙工人剩余的等份数 = 1 - 1/7 = 6/72. 对于面积和体积的计算在几何学中，我们需要计算各种图形的面积和体积。
例如，计算一个长方形的面积可以使用分式计算公式：面积 = 长 ×宽。
例如长方形的长为2/3 m，宽为1/4 m，则面积为：面积 = （2/3）×（1/4）= 2/12 = 1/6 m²四、提升分式计算能力的方法1. 注重基础知识的掌握分式的计算依赖于四则运算的基本知识，因此要牢固掌握加法、减法、乘法和除法的运算规则，同时熟悉对应的分子和分母运算。
5.1认识分式(2)
b bm b bm ， ( m 0) 符号表示： a a m a am
学以致用
学以致用
a 2bc ab ac 解： (1) ac ab ab x2 1 ( x 1)( x 1) x 1 (2) 2 2 x 2x 1 ( x 1) x 1
第五章 分式与分式方程
5.
3 1 = 是怎样得到的？ 6 2
【分数的基本性质】 分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数, 分数的值不变。
2 a 1 n n 与 相等吗？ 与 呢？ 2a 2 m mn
类比分数的基本性质，
归纳分式的基本性质。
认识新知
【分式的基本性质】
2、我对因式分解存在以下困惑 3、我认为自己还应该做出以下努力
课后作业
见学案 必做：A组；选做：B组
一个分式的分子和分母不含公因式，
这样的分式称为最简分式. ★注意★ 分式化简时，通常要使结果成为 最简分式或整式.
训练内化
训练内化
训练内化
探究拓展
分式的符法： x x x x x (1) ;(2) y y y y y
检测反馈
检测反馈
课堂小结
1、通过学习，我学到了以下知识和方法
认识约分
【分式的约分】
把一个分式的分子和分母的公因式约去， 这种变形称为分式的约分.
约分小技巧
约分时应注意：
①当分子和分母是单项式的时候， 应先找出分子和分母的公因式，再约分； ②当分子和分母是多项式的时候， 应先把分子和分母分解因式，再约分. ③分式化简的结果中， 分子和分母没有公因式.
最简分式
小学数学认识简单的分式与分式运算
小学数学认识简单的分式与分式运算分式是数学中常见的数形式，包含一个分子和一个分母，用于表示部分与整体的关系。
在小学数学中，我们要认识和学习简单的分式，并学会进行分式运算。
一、认识分式1. 分式的基本形式：分式由分子和分母组成，通常用线将其分开，如：$\frac{1}{2}$。
2. 分子和分母的含义：分子表示部分的数量，分母表示整体的数量，如：$\frac{1}{2}$表示整体被分成两份，其中的一份就是分子。
3. 分式的读法：分式 $\frac{1}{2}$ 可以读作“一半”，$\frac{2}{3}$ 可以读作“两个中的三个”。
二、认识分式的大小关系1. 分母相同，分子越大，分式越大；分子越小，分式越小。
例如：$\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$（分母相同，分子3大于2，所以$\frac{3}{4}$大于$\frac{2}{4}$）。
2. 分子相同，分母越小，分式越大；分母越大，分式越小。
例如：$\frac{3}{5} > \frac{3}{6}$（分子相同，分母5小于6，所以$\frac{3}{5}$大于$\frac{3}{6}$）。
三、简单的分式运算1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法要求分母相同，只需对分子进行相应的运算。
例如：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} =\frac{5}{6}$。
2. 分式的乘法：分式的乘法要求将分子与分子相乘，分母与分母相乘。
例如：$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$。
3. 分式的除法：分式的除法相当于将第一个分式乘以第二个分式的倒数。
例如：$\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{2}{3}$。
100道解分式方程及答案
100道解分式方程练习题(带答案)解答：一、复习例解方程：(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.解(1)方程两边都乘以x(3+3),去分母,得2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6所以x=6.检验：当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.(2)方程两边都乘以x(x+12),约去分母,得15(x+12)=30x.解这个整式方程,得x=12.检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.(3)整理,得2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,即2x+xx+3=1.方程两边都乘以x(x+3),去分母,得2(x+3)+x2=x(x+3),即2x+6+x2=x2+3x,亦即2x－3x=－6.解这个整式方程,得x=6.检验：当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.二、新课例1 一队学生去校外参观,他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?请同学根据题意,找出题目中的等量关系.答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；骑车的速度=步行速度的2倍；骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.请同学依据上述等量关系列出方程.答案：方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时,依题意列方程为15x=2×15 x+12.方法2 设步行速度为x千米／时,骑车速度为2x千米／时,依题意列方程为15x－15 2x=12.解由方法1所列出的方程,已在复习中解出,下面解由方法2所列出的方程.方程两边都乘以2x,去分母,得30－15=x,所以x=15.检验：当x=15时,2x=2×15≠0,所以x=15是原分式方程的根,并且符合题意.所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30千米／时=12小时.答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.指出：在例1中我们运用了两个关系式,即时间=距离速度,速度=距离时间.如果设速度为未知量,那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量,那么按速度找等量关系列方程,所列出的方程都是分式方程.例2 某工程需在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成；若由乙队去做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙独做,恰好在规定日期完成,问规定日期是多少天?分析；这是一个工程问题,在工程问题中有三个量,工作量设为s,工作所用时间设为t,工作效率设为m,三个量之间的关系是s=mt,或t=sm,或m=st.请同学根据题中的等量关系列出方程.答案：方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数,设为x天,那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天,设工程总量为1,甲的工作效率就是x1,乙的工作效率是1x+3.依题意,列方程为2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.方法2 设规定日期为x天,乙与甲合作两天后,剩下的工程由乙单独做,恰好在规定日期完成,因此乙的工作时间就是x天,根据题意列方程2x+xx+3=1.方法3 根据等量关系,总工作量—甲的工作量=乙的工作量,设规定日期为x天,则可列方程1－2x=2x+3+x－2x+3.用方法1～方法3所列出的方程,我们已在新课之前解出,这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.三、课堂练习1.甲加工180个零件所用的时间,乙可以加工240个零件,已知甲每小时比乙少加工5个零件,求两人每小时各加工的零件个数.2.A,B两地相距135千米,有大,小两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5,求两辆汽车的速度.答案：1.甲每小时加工15个零件,乙每小时加工20个零件.2.大,小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.四、小结1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同,不同点是,解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根,另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.2.列分式方程解应用题,一般是求什么量,就设所求的量为未知数,这种设未知数的方法,叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量,而是设另外的量为未知量,这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时,设间接未知数,有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题,若题目的条件不变,把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间,如果设直接未知数,即设,小汽车从A地到B地需用时间为x小时,则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时,依题意,列方程135 x+5－12：135x=2：5.解这个分式方程,运算较繁琐.如果设间接未知数,即设速度为未知数,先求出大、小两辆汽车的速度,再分别求出它们从A地到B地的时间,运算就简便多了.五、作业1.填空：(1)一件工作甲单独做要m小时完成,乙单独做要n小时完成,如果两人合做,完成这件工作的时间是______小时；(2)某食堂有米m公斤,原计划每天用粮a公斤,现在每天节约用粮b公斤,则可以比原计划多用天数是______;(3)把a千克的盐溶在b千克的水中,那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.2.列方程解应用题.(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个,当第二次加工时,他革新了工具,改进了操作方法,结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍,求他第二次加工时每小时加工多少零件?(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米,如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等,求他步行40千米用多少小时?(3)已知轮船在静水中每小时行20千米,如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同,那么此江水每小时的流速是多少千米?(4)A,B两地相距135千米,两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2,求两辆汽车各自的速度.答案：1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.2.(1)第二次加工时,每小时加工125个零件.(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.(3)江水的流速为4千米／时.课堂教学设计说明1.教学设计中,对于例1,引导学生依据题意,找到三个等量关系,并用两种不同的方法列出方程；对于例2,引导学生依据题意,用三种不同的方法列出方程.这种安排,意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题,激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题,其中距离是已知量,求速度(或时间)；例2是工程问题,其中工作总量为已知量,求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系,以及列方程求解的思路,以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别,让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答,求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业,则是识别问题类型,能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系,探求解题思路.3.通过列分式方程解应用题数学,渗透了方程的思想方法,从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法,假设所求的量为x,这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程,此时是把已知量与假设的未知量平等看待,这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解,原先假设的未知量x就变成了确定的量,这就是“弄假成真”.解分式方程的例题及答案第2 篇一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件：(1)写成的形式(A、B表示两个整式)(2)分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义(1)要使一个分式有意义，需具备的条件是(2)要使一个分式无意义，需具备的条件是(3)要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个分式的值不变用字母表示为= (其中M是不等于零的整式)知识点三、分式的约分1、概念：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据：分式的基本性质注意：(1)约分的关键是正确找出分子与分母的公因式(2)当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
分式的初步认识练习题
分式的初步认识练习题一、填空题1. 分式的定义是：分子和分母都是______，且分母不为______的式子。
2. 如果一个分式的分子和分母同时乘以同一个不为0的数，那么这个分式的______不改变。
3. 分式的分子与分母的符号，可以通过______来改变。
4. 分式的值为0的条件是______。
5. 若分式的分子大于分母，则这个分式的值______1；若分子小于分母，则这个分式的值______1。
二、判断题（对的在括号内打“√”，错的打“×”）1. 分式的分子和分母都可以是整数。
（）2. 分式的分母不能为0。
（）3. 分式的分子和分母同时除以同一个数，分式的值不变。
（）4. 分式的分子和分母同时乘以同一个数，分式的值不变。
（）5. 分式的值大于1时，分子一定大于分母。
（）三、选择题A. 3x + 5B. x/5C. 5/(x+1)D. √xA. 2/3B. 5/5C. 7/8D. 9/10A. 3/4B. 5/6C. 7/7D. 9/8四、简答题1. 请举出三个分式的例子，并说明它们的特点。
2. 如何判断一个分式的值是否为正数？3. 分式的分子和分母同时加上或减去同一个数，分式的值会发生什么变化？请举例说明。
五、计算题1. 简化分式：4x/6y2. 简化分式：9a^2/3a^2b3. 简化分式：(x^2 1)/(x + 1)4. 计算分式的值：2/3 + 1/65. 计算分式的值：5/8 3/8六、应用题1. 小明有5个苹果，小华有3个苹果，请用分式表示小明和小华的苹果数量比。
2. 甲、乙两数的比是3:4，如果甲数是15，求乙数。
3. 一辆汽车行驶了200公里，消耗了20升汽油，请用分式表示这辆汽车的油耗。
七、分类题8/4, 9/3, 10/5, 7/612/18, 15/20, 21/28, 25/303/2, 4/4, 5/6, 8/710/12, 9/9, 7/8, 6/5八、匹配题请将下列分式与它们的简化结果进行匹配：6/9, 8/12, 15/20, 18/242/3, 2/3, 3/4, 3/4九、改错题1. 5/0 = 无意义2. (x + 2)/(x 2) = (x 2)/(x + 2)3. 4x/2y = 2x/y十、推理题1. 已知分式 A/B = 4/5，且 A > B，求证：A B < B。
分式方程增根分类举例(含答案)
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得：m =2或m =1故应选C 。
例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
分式应用题练习
分式应用题练习The document was prepared on January 2, 2021绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少设宽为x 米,则有方程因此绿地的宽和长应分别约为米和米.例7 如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.分析 设截去正方形的边长x 厘米之后,关键在于列出底面图示虚线部分长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽,不难得出这一代数式.解 设截去正方形的边长为x 厘米,根据题意,得60－2x 40－2x ＝800.请同学们自己解一下这个方程,并讨论它的解是否符合题意.在应用一元二次方程解实际问题时,也像以前学习一元一次方程一样,要注意分析题意,抓住主要的数量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后,要注意检验是否符合题意,然后得到原问题的解答. 练 习1. 学生会准备举办一次摄影展览,在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验,彩纸面积为相片面积的32时较美观,求镶上彩纸条的宽.精确到厘米2. 竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式h ＝v 0t －21gt 2,其中重力加速g 以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v 0＝20米/秒上升,问经过多少时间爆竹离地15米例8 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.精确到%思 考原价和现在的价格都没有具体的数字,如何列方程请同学们联系已有的知识讨论、交流.解 设原价为1个单位,每次降价的百分率为x .根据题意,得1－x 2＝21 解这个方程,得x ＝222± 由于降价的百分率不可能大于1,所以x ＝222+不符合题意,因此符合本题要求的x 为222-≈%.答：每次降价的百分率为%.练 习1. 小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄,到期后自动转存.今年到期扣除利息税利息税为利息的20%,共取得5145元.求这种储蓄的年利率.精确到%2. 市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率. 习题1. 解下列方程12x 2－6＝0； 227＝4x 2；33x 2＝4x ； 4xx －1＋3x －1＝0；5x ＋12＝2； 63x －52＝25－x .2. 解下列方程12x －12－1＝0； 221x ＋32＝2； 3x 2＋2x －8＝0； 43x 2＝4x －1；5x 3x －2－6x 2＝0； 62x －32＝x 2.3. 当x 取何值时,能满足下列要求13x 2－6的值等于21；23x 2－6的值与x －2的值相等.4. 用适当的方法解下列方程：13x 2－4x ＝2x ； 231x ＋32＝1； 3x 2＋3＋1x ＝0； 4xx －6＝2x －8；5x ＋1x －1＝x 22； 6xx ＋8＝16；7x ＋2x －5＝1； 82x ＋12＝22x ＋1.5. 已知y 1＝2x 2＋7x －1,y 2＝6x ＋2,当x 取何值时y 1＝y 26. 已知两个连续奇数的积是255,求这两个奇数.7. 学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道如图,要使种植面积为600平方米,求小道的宽.精确到米第7题8. 某商店二月份营业额为50万元,春节过后三月份下降了30%,四月份有回升,五月份又比四月份增加了5个百分点即增加了5%,营业额达到万元.求四、五两个月增长的百分率.9. 学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙,并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计,如何搭建较合适阅读材料一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过程中得到x ＋ab 22＝2244a ac b -. 1 发现只有当b 2－4ac ≥0时,才能直接开平方,得 22442a ac b a b x -±=+. 也就是说,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠0只有当系数a 、b 、c 满足条件b 2－4ac ≥0时才有实数根.观察1式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：① 当b 2－4ac ＞0时,方程有两个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时,方程有两个相等的实数要x 1＝x 2＝ab 2-； ③ 当b 2－4ac ＜0时,方程没有实数根.这里的b 2－4ac 叫做一元二次方程的根的判别式,用它可以直接判断一个一 元二次方程是否有实数根,如对方程x 2－x ＋1＝0,可由b 2－4ac ＝1－4＜0直接判断它没有实数根；也可以先求出判别式的值,直接代入求解公式,使计算简便正确,如例4中的第1、3题；还可以应用判别式来确实方程中的待定系数,例如：m 取什么值时,关于x 的方程2x 2-m ＋2x ＋2m －2＝0有两个相等的实数根求出这时方程的根.§实践与探索试讨论下列问题的解,与你的同伴一起交流.问题1小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子.1如果要求长方体的底面面积为81cm 2,那么剪去的正方形边长为多少2如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化探索在你观察到的变化中,你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况先在下面的表格中记录下你得到的数据,再以剪去的正方形的边长为自变量,折合而成的长方体体积为函数,并在直角坐标系中画出相应的点.看看与你的感觉是否一致.问题2阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少分析翻一番,即为原净收入的2倍.若设原值为1,那么两年后的值就是2.探索若调整计划,两年后的财政净收入值为原值的倍、倍、…,那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少又若第二年的增长率为第一年的2倍,那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番问题3解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系1x2－2x＝0；2x2＋3x－4＝0；3x2－5x＋6＝0.探索一般地,对于关于x的方程x2＋px＋q＝0p,q为已知常数,p2－4q≥0,试用求根公式求出它的两个解x1、x2,算一算x1＋x2、x1x2的值,你能得出什么结果与上面发现的现象是否一致.习题1.一块长30米、宽20米的长方形操场,现要将它的面积增加一倍,但不改变操场的形状,问长和宽各应增加多少米精确到米2.水果店花1500元进了一批水果,按50%的利润定价,无人购买.决定打折出售,但仍无人购买,结果又一次打折后才售完.经结算,这批水果共盈利500元.若两次打折相同,每次打了几折精确到折3.为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵,若平均成活率95%,求这个年级每年植树数的平均增长率.精确到%4.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本3000元,售价每套30元.有24名家庭贫困学生免费供应.经核算,这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.问这批演出服共生产了多少套5.如图,某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带,使绿化带的面积和地基面积相等.请你给出设计方案.画图并标注尺寸第5题6.1已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3,求p和q的值；2已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2,求方程的另一个根和p 的值.和同学讨论一下,上述两个问题有几种解法小结一、知识结构二、注意事项1.要联系已有的方程知识,在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”,在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性.2.掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法.着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想,并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流.3.在应用一元二次方程解实际问题时,要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后,必须检验是否符合题意.复习题A组1.解下列是方程：13x2－75＝0；2y2＋2y－48＝0；32x2－6x－3＝0；4xx＋5＝24；5aa－2－3a2＝0； 6xx＋1＋2x－1＝0.2.已知三个连续奇数的平方和是371,求这三个奇数.3.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带,使余下部分面积为100平方米.求原正方形广场的边长.精确到米4.村里要修一条灌溉渠,其横截面是面积为平方米的等腰梯形,它的上底比渠深多2米,下底比渠深多米.求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度.5.某工厂准备在两年内使产值翻一番,求平均每年增长的百分率.精确到%6.求出习题中第32题所列方程的解的近似值.精确到米B组7.解下列方程1y＋31－3y＝1＋2y2；2x－7x＋3＋x－1x＋5＝38；33x＋52－53x＋5＋4＝0；4x2＋ax－2a2＝0.a为已知常数8.1已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1,求m的值；2已知关于x的方程2x－mmx＋1＝3x＋1mx－1有一个根是0,求另一个根和m的值.9.学校原有一块面积为1500平方米的长方形操场,现围绕操场开辟了一圈绿化带,结果使操场的面积增加了150平方米.求现在操场的长和宽.C组10.先用配方法说明：不论x取何值,代数x2－5x＋7的值总大于0.再求出当x取何值时,代数式x2－5x＋7的值最小最小值是多少11.说明不论m取何值,关于x的方程x－1x－2＝m2总有两个不相等的实根.。
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密 封 线
学校 班级 姓名 座号 2013～2014学年度第二学期八年级单元测试
因式分解
题 号 一 二 三 四 总 分 分 数
（考试时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. bx ax b a x -=-)(
B. 2
2
2)1)(1(1y x x y x ++-=+-
C. )1)(1(12
-+=-x x x D. c b a x c bx ax ++=++)( 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. 22)(b a -+
B. mn m 2052-
C. 22y x --
D. 92+-x 3．如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A. ±30
B. 30
C. 15
D. ±5 4．下列各式从左到右的变形错误的是( )
A.2
2
)()(y x x y -=- B.)(b a b a +-=-- C.3
3
)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 5．下列各式中，与
相等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
6．3
2
2
3
129y x y x +中各项的公因式是_______ ___.
7．m bm am =+( )；-=--1x ( )；-=+-a c b a （ ）。
8．因式分解：__________________________2733
=-x x 。
9．利用因式分解计算：=-2
2199201 .
10．若()()2310x x x a x b --=++，则__________=+b a ，__________=ab 。
三、分解因式（每小题6分，共24分）
11.（1）x x 422
- （2）2
2
2
y y x -
（3）3632
+-a a （4）()()x y y y x x -+-
四、解答题（共41分）
12．先化简，后求值，其中21==-xy y x ，（12分）
（1）3
2
2
3
2xy y x y x +- （2）2
2y x +
13．利用分解因式方法计算：31414.04.314.514.332⨯+⨯+⨯ （7分）
14．在三个整式xy x 22
+，xy y 22
+，2
x 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，
使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
（7分）
15．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(222
2
2
=+-++c a b c b a ，
试判断此三角形的形状。
（7分）
16．对于任意整数，()2
2
11n n -+能被11整除吗？为什么？（8分）
6.3223129y x y x +中各项的公因式是_______ ___.
7.()m
bm am =+；()-=--1x ；()-=+-a c b a .
8.多项式92-x 与962++x x 的公因式是 . 9.利用因式分解计算：=-22199201 .
10、若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。
三、分解因式（每小题6分）
11.（1）x x 422- （2）222y y x -
（3）3632+-a a （4）()()x y y y x x -+-
四、解答题
12.已知2,1==-xy y x ，求下列各式的值（12分） （1）32232xy y x y x +- （2）x 2+y 2
13.在一个边长为13cm 的正方形纸板内，割去一个边长为8 cm 的正方形，剩下部分的面积是多少？（7分）
三、把下列各式因式分解（10×4′=40′）
（1）c b a c ab b a 233236128+- （2）)(6)(4)(8a x c x a b a x a ---+-
（3）5335y x y x +- （4）22)(16)(4b a b a +--
（5）228168ay axy ax -+- （6）m mn n m 222--+
（7）2244c a a -+- （8）2224)1(a a -+
（9）22)34()43)(62()3(y x x y y x y x -+-+++ （10）27624--a a
四、解答题（4×5′=20′）
31、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
32、设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.
33、一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数.如2864=，64就是一个完全平方数；若a=29922
+29922
×29932
+29932
. 求证a 是一个完全平方数.
34、设n 为大于1正整数，证明:n 4+4是合数.。