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第一单元什么是罗素悖论？

约翰·T·鲍德温，奥利弗·莱斯曼撰胡志国译

罗素悖论是建立在这样的实例基础之上的：想象有一群理发师，他们（给所有，而且）只给不给自己刮胡子的人刮胡子。假设这个集体中有一个理发师，他不给自己刮胡子，那么，按照这个集体的定义，他就必须给自己刮胡子。但这个集体中的任何理发师都不能给自己刮胡子。（否则，他就是在给自己刮胡子的人刮胡子了。）

伯特兰·罗素1901年发现的这个悖论是对他的一位数学同行的打击。十九世纪晚期，戈特洛布·弗雷格试图通过符号逻辑为所有的数学建立一个基础。他在形式表达式（如x=2）和数学特征（如偶数）之间建立了一种对应关系。在他的推导中，人们可以随意使用任何特征为后来的特征定义。

罗素在他1903年出版的《数学原理》中公布了自己的悖论，证明了弗雷格系统存在根本缺陷。在今天看来，这类系统最好通过所谓的集的结构式用集合的概念来描述。例如，对于由数字4、5、6组成的集体，我们可以描述为：x是一个整数的集体，若用字母n表示这些整数，则n大于3小于7。对这一集合的描述，在形式上我们写作x={n: n为整数，3

很明显，对x的任何描述都可以填入冒号后的区域。但罗素（恩斯特·策梅洛也独立地）发现，x={a: a不属于a}会导致矛盾的结论，就像对理发师集体的描述一样。x自身是否属于x？无论是与否，结论都是矛盾的。

罗素发现这一悖论之后，弗雷格马上认识到他的系统被全盘推翻了。即便如此，他无法解决这个悖论，而为了绕开这个悖论，人们在二十世纪做了许多尝试。

罗素本人对这一悖论的回答是他的“类型论”。他分析道，之所以会产生悖论，是因为我们混淆了对数的集合的描述与对数的集合的集合的描述。于是罗素引入了对象的分级系统：数，数的集合，数的集合的集合，等等。这个系统曾被作为手段用于对数学基础的第一次形式化，并且在今天的某些哲学研究和计算机分支学科中仍有运用。

策梅洛解决罗素悖论的方法是用公理“对于每个公式A(x)和集合b，都有集合y={x: x属于b和A(x)}”代替公理“对于每个公式A(x)都有集合y={x: A(x)}”。

为所有数学建立逻辑基础的努力后来如何呢？现在数学家认识到，这个领域可以用一个称作策梅洛-弗兰克尔集合论的理论进行形式化。这种形式语言包括诸如用“e”表示“一个元素”、“=”指“等于”、“□”意为没有元素的集合之类的符号。于是人们就可以写这样的公式：B(x):如果y e x，那么y就是空集。用集的结构式可以将其写作y={x: x=□}或更简洁地写作y={□}。罗素悖论就成了：设y={x：x不属于x}，y是否属于y?

罗素与弗雷格关于发现罗素悖论的通信，收入了《从弗雷格到哥德尔: 数理逻辑原典读本（1879-1931）》一书，此书由吉恩·万·海耶诺特编辑，哈佛大学出版社1967年出版。

第二单元暗能量

暗能量是对一种未知排斥力的称谓。该排斥力不同于引力，它使得星系间加速的远离彼此。

暗能量大致可被看作“反引力”。在微观尺度上引力将物体聚集起来，而在更大的宏观尺度上暗能量将它们分开。

虽然暗能量的存在还没有被证实，但它是许多科学家解释宇宙不断加速膨胀这一令人困惑的观察的最好猜测。科学家们仍然不知道这种力是怎么产生的，但对于暗能量更多的探索和了解是宇宙物理学家的头等任务之一。

令人困惑的预期

发现暗能量的故事是科学中令人困惑的预期的典型案例。

在20世纪90年代中期，天文学家开始着手测量宇宙的膨胀速度。因为引力使大量物质吸引在一起的缘故，多数天文学家预期可能发现引力已经使宇宙膨胀速度减缓或者保持不变。

然而测量结果却是相反的：宇宙在加速膨胀。

澳大利亚国立大学（位于堪培拉）的Brian Schmidt说“实验数据并非我们所预期的那样，有许多令人紧张的笑话在里面”。1998年他带领一个研究团队与约翰霍普金斯大学的天体物理学家Adam Riess一起发现了暗能量。

证据来源于对超新星——种明亮的恒星爆炸现象的测量。天文学家还把超新星用作路灯柱来跟踪测量距离。通过对于遥远距离的观察，科学家们能够回溯过去，因为遥远物质发出的光经过数十亿年才到达地球。

科学家们观察了许多不同距离的超新星来确定它们加速远离我们的速度（测量物体的红移，或者由于多普勒效应它们发出的光的改变。多普勒效应是指当物体靠近或远离你时它们发出的光波的压缩或膨胀。与此类似的是救护车上警报器音频的改变，当它靠近你，经过你然后驶向另一方向时——它的波开始是压缩然后再是膨胀的）。通过观测数十亿光年以外爆炸的超新星，天文学家非常精确地描绘了宇宙的膨胀历史。

惊人的结果

研究人员同时还发现如今宇宙的膨胀速度比以往任何一个时候都还要快。

来自加州大学伯克利分校劳伦斯•伯克利实验室的天体物理学家Saul Perlmuter说“起初我们不愿去相信这个结果”，可他带领的研究小组发现的结果却与Schmidt 跟Riess发现的一样。“我们越是研究，就越是发现结果是那样的。”

为了解释这些疑惑，一些科学家重新运用爱因斯坦曾经被认为是错误而抛弃了的观点：真空并不空而是具有能量的，这些能量表现出排斥作用，并加速宇宙膨胀。爱因斯坦把这种观点称作为宇宙常数，而且他认为他犯的最严重的错误就是宇宙常数的引出。

而现在宇宙常数是研究宇宙为何像气球一样膨胀的主要理论之一。

暗物质

暗能量有时会和跟它相似的神秘的暗物质相混淆，尽管他们是两个单独的实体。

据猜测，暗物质是一种不与光发生相互作用的物质，所以它是不可见的。天文学家通过它对星系中星体产生的引力而推测出它的存在。

暗物质和暗能量加在一起占据了宇宙的大部分质量（根据爱因斯坦著名的公式E=Mc2，暗物质和暗能量被认为是同一事物的两种不同形式）。据说暗能量占宇宙质量的74%，而暗物质约占22%，其它普通的、可见的物质仅占4%。

仿佛暗能量的发现还不够惊奇，它还引发了大量问题。比如说，暗能量增加了多重宇宙论支持者们的热情，该理论认为我们存在的宇宙只是常量和条件不同的数不尽宇宙中的一个。宇宙学家们说，也许还有其它的宇宙，那里没有暗能量，宇宙的膨胀速度的确在减慢！或许这就是我们的世界如此特别的原因吧？！