江西省南昌三中2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题 含答案

南昌三中2013—2014学年度下学期第一次月考
高一数学试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题中只有一项符合题目要求)
1、如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A ．A
B D
C = B. A
D AB AC += C. AB AD BD -= D. 0AD CB += 2．正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )
A ．0 B. .BE → C. .AD → D. CF →
3．在△ABC 中,3,5a b ==,1
sin 3
A =
,则sin B =（ ）
A ．
15 B ．59 C ．3
D ．1 4.已知向量)sin ,(cos αα=a
)sin ,(cos ββ=b ，下列结论中正确的是（ ）
A 、b a ⊥
B 、a ‖b
C 、)()(b a b a
-⊥+ D 、a 、b 的夹角为βα+
5. 若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ） A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形.
C.一定是钝角三角形.
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
6、在ABC ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的
面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．2
3 D ．2
7．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )
A. 3 B ．2 3 C.32 D.3
3
8．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与
它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
A ．5海里
B ．5 3 海里
C ．10海里
D ．10 3 海里
9．已知△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →.则△ABC 一定是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形 10．在△ABC 中，已知S ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为 A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)
.11已知向量(1,0),(1,1a b ==
,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为
_________;
(Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.
12.已知平面内三个向量：＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．则满足＝m b ＋n c 的实数m= ，n= 。

13. 已知→
a =(2,－1), →
b =(λ,3)，若→
a 与→
b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是______.
14.如图平面内有三个向量、、，其中与的夹角
为120°，OA 与OC 的夹角为30°＝1＝34.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 . 15.给出下列四个命题，其中正确的命题有 ． ①若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形； ②若sin cos A B =，则ABC ∆是直角三角形； ③若cos cos cos 0A B C <，则ABC ∆是钝角三角形；
④若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆是等边三角形
三、解答题(本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分10分）设、b 是不共线的两个非零向量，
(1)若OA →＝2－b ，OB →＝3＋b ，OC →
＝－3b ， 求证：A 、B 、C 三点共线；
(2)若8＋k b 与k ＋2b 共线，求实数k 的值；
17．（本小题满分10分）已知()()π,0,sin ,31
,cos ,1∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛==x x b x a （1）若//，求
x
x x
x cos sin cos sin -+的值； （2）若⊥，求x x cos sin -的值。

18.（本小题满分10分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=
．
（Ⅰ）若ABC △a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．
19. （本小题满分10分）如图，已知圆内接四边形ABCD 中，264A B B C A D C D ====，，， 求（1）四边形ABCD 的面积；
（2）圆O 的直径．
20. （本小题满分10分）如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，2OA ，点B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大．
南昌三中2013-2014学年度下学期第一次月
考 高一数学答卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题(本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分10分）设、b 是不共线的两个非零向量，
(1)若OA →＝2－，OB →＝3＋，OC →
＝－3， 求证：A 、B 、C 三点共线；
(2)若8＋k b 与k ＋2b 共线，求实数k 的值；
17．（本小题满分10分）已知()()π,0,sin ,31,cos ,1∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛==x x b x a （1）若//，求x
x x
x cos sin cos sin -+的值； （2）若⊥，求x x cos sin -的值。

18.（本小题满分10分）
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若ABC △a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．
19. （本小题满分10分）如图，已知圆内接四边形ABCD 中，264A B B C A D C D ====，，， 求（1）四边形ABCD 的面积； （2）圆O 的直径．
20. （本小题满分10分）如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，2OA ，点B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大．
南昌三中2013—2014学年度下学期第一次月考
高一数学试卷(教师版)
命题：江华平 审题：刘明和
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题中只有一项符合题目要求)
1、如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ C ）
A ．A
B D
C = B. A
D AB AC += C. AB AD BD -= D. 0AD CB += 2．正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( D )
A ．0 B. .BE → C. .AD → D. CF →
3．在△ABC 中,3,5a b ==,1
sin 3
A =,则sin
B =（B
）
A ．
15 B ．59 C D ．1 4.已知向量)sin ,(cos αα=a
)sin ,(cos ββ=b ，下列结论中正确的是（C ）
A 、b a ⊥
B 、a ‖b
C 、)()(b a b a
-⊥+ D 、a 、b 的夹角为βα+
5. 若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （C ） A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形.
C.一定是钝角三角形.
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
6、在ABC ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的
面积等于（ A ） A ．22 B ．42 C ．2
3 D ．2
7．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( A )
A. 3 B ．2 3 C.32 D.3
3
8．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( C )
A ．5海里
B ．5 3 海里
C ．10海里
D ．10 3 海里
9．已知△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →.则△ABC 一定是( D )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形 10．在△ABC 中，已知S ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为( D ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)
.11已知向量(1,0),(1,1a b ==
,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为
）;
(Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为_. 12.已知平面内三个向量：＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)． 则满足＝m ＋n 的实数m=
59 ，n=8
9。

13. 已知→
a =(2,－1), →
b =(λ,3)，若→
a 与→
b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是_
（3
(,6)(6,)2
-∞-⋃-__.
14.如图平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°
＝1
＝34.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 12 . 15.给出下列四个命题，其中正确的命题有 ②③④ ． ①若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形； ②若sin cos A B =，则ABC ∆是直角三角形； ③若cos cos cos 0A B C <，则ABC ∆是钝角三角形；
④若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆是等边三角形
三、解答题(本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分10分）设、是不共线的两个非零向量，
(1)若OA →＝2－b ，OB →＝3＋b ，OC →
＝－3b ，求证：A 、B 、C 三点共线；
(2)若8＋k 与k ＋2共线，求实数k 的值；
解：(1)证明：∵AB →
＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， 而BC →＝(－3b )－(3＋b )＝－2－4b ＝－2AB →， ∴AB →与BC →
共线．又有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线， ∴存在实数λ，使得
(8＋k b )＝λ(k ＋2b )⇒(8－λk ) ＋(k －2λ) b ＝0，
∵与b 不共线，∴⎩⎨⎧
8－λk ＝0
k －2λ＝0
⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.
17．（本小题满分10分）已知()()π,0,sin ,31
,cos ,1∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛==x x x
（1）若//，求x
x x
x cos sin cos sin -+的值； （2）若b a ⊥，求x x cos sin -的值。

解：（1）11
//sin cos tan 23a b x x x ⇒=⇒= ，11
sin cos tan 1321
sin cos tan 113
x x x x x x +++∴===----
（2）11sin cos 0sin cos 33a b x x x x ⊥⇒+=⇒=- 25
(sin cos )12sin cos 3
x x x x ∴-=-=
(0,)s i n c o s 0(,)s i n c o s 02
x x x x x x π
π
π∈<⇒∈⇒->且
sin cos 3
x x ∴-=
18.（本小题满分10分）
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △
求a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，224a b ab +-=，
又因为ABC △
1sin 2
ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，
解得2a =，2b =．
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得3a =
，3b =． 所以ABC △
的面积1sin 23
S ab C ==． 19. （本小题满分10分）
如图，已知圆内接四边形ABCD 中，264AB BC AD CD ====，，，
求（1）四边形ABCD 的面积；
（2）圆O 的直径．
（1）连接AC ，B B BC AB BC AB AC cos 2440cos 2222-=⋅⋅-+=
又B D D DC AD DC AD AC cos 3232cos 3232cos 2222+=-=⋅⋅-+=
37
4sin 71cos =⇒=
∴B B 38sin 2
1sin 21=⋅⋅+⋅⋅=∴D DC AD B BC AB S （2）7256cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ，77
16=∴AC ,所以直径=2134sin 2==B AC R 20. （本小题满分10分）
如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，2OA =，点B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大．
解：设,AOB α∠=在ABC ∆中，由余弦定理得()2221222cos 54cos ,0,AB αααπ=+-⨯=-∈，
3453sin 243sin 212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅=+=∴∆∆πααAB OB OA S S S ABC AOB .
当παπ
πα65,23==-，即π6
5=∠AOB 时， 四边形OACB 面积最大.。