高三理科数学数列求和裂项相消法分享资料

{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
21
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、 第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
1 2n 1
1 2n1
1
1 2
1 3
1 2n1 1
1 6
。
20
能力提高
1.(2014·临沂模拟)已知等比数列{an}的首 项为 1,公比 q≠1,Sn 为其前 n 项和,a1,a2,a3 分别为某等差数列的第一、第二、第四项.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
信宜一中 高三28 张乐
1
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
例 3.已知 an
2n
1令 bn
an
1 an1
，
Tn 是数列bn 的前 n 项和，
证明： Tn
1 6
．
19
证明：
bn
1 2n 1 2n1 1
1 2n
1 2n 1
1 2n1 1
1 2
1 2n 1
1 2n1 1
Tn b1 b2 b3
bn
1 2
1 3
1 5
1 5
1 9
n)
n 1
n,
所 以 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn=( -1)+( - )+ …
+(
- )=
-1,
因为 Sn=10,所以
-1=10,
所以 n+1=121,所以 n=120.
18
类 型 三 ： a n2 n b1 2 n 1 b 2 1 n(2 n 1 b 2 n 1 1 b )
n
项和为
Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 ( )
A.110 B.120 C.130 D.140
17
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
所以
1 an
1 n 1
n1 n
n ( n 1 n)( n 1
Sn
1(1111 1 1 ) 2 1 3 3 5 2n1 2n1
1(1 1 ) 2 2n1
6
（3） a n
1 n 1
n
n1 n
( n 1 n )( n 1 n )
n1 n
sn21 3243 n 1 n n 1 1
7
（3） 变 式 an
1 nk
n
an k(
nk n nk n)( nk
9
（ 5） a n
2n 2 n b 2 n1 b
1 2n
b
1 2 n1
b
Sn2 1b221b221b231b2n1b2n1 1b 2 1b2n1 1b
10
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
Байду номын сангаас
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3 an1 an
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
14
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 an1 an
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
n 2 n n 1 n 1 n n 2
1 (1 1 1 1 ) 2 2 n 1 n 2
15
【易错警示】使用裂项相消法的易错点
使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了
哪些项，保留了哪些项，切不可漏写或写错未被消去的项，
未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
1 1 Sn= n 1 .
变式：数列{an}中,an
1 11 1
n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
(1 ).
Sn= 2 2 n 1 n 2 .
13
1.
an
1 n(n 1)
答案： B 思 考 ： a n 1 2 3 1 n ， 如 何 求 S 5 .
2
裂项相消：把数列的通项拆成两项 之差求和，正负相消剩下首尾若干 项．
注：1.裂项相消法求和的形式,即什么时候用.
2.如何裂项，裂项后是否与原式相等. 3.如何提系数，消去之后余项是什么， 即怎么用.
3
常见的裂项：
此法的根源与目的，如求
{ 的前1 n项} 和时，剩下的是
n(n 2)
1(11 1 1 ).
2 2 n1 n2
16
类 型 二 a nn k 1nk 1(n kn)
例 2.(2014·沈阳模拟)已知幂函数 y=f(x)过点(4,2),令
an=f(n+1)+f(n),n
∈
N*,
记
数
列
{
1 an
}
的
前
（1）
an
1 n(n k)
（2）
an
1 4n2 1
an
（3）
1 n 1
n
（4）
an
loga (1
1) n
an
（5）
2n 2n b 2n1 b
4
(1)an
1
nn k
1 (1 1 ) k n nk
5
(2)an
1 4n2 1
1
(2n 1)(2 n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
变式：数列{an}中,a n
n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
Sn=
.
11
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
1 1 Sn= n 1 .
变式：数列{an}中,a n
n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
Sn=
.
12
n)
1 ( n1 n) k
sn1 k( 21 3 2 4 3 n1 n)
1( n11) k
8
（4）an
n1 loga( n )
loga(n1)loga
n
S n lo g a 2 lo g a 1 lo g a 3 lo g a 2 lo g a ( n 1 ) lo g a n lo g a ( n 1 )