整理法向量的快速求法(1)

法向量的快速求法

在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。

新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。

结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r

＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n r

＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.

如果用二阶行列式表示，则

n r ＝(

112

2y z y z ，－1

122x z x z ，1

12

2

x y x y ) ，这更便

于记忆和计算.

结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略

去），但你可以验证 n r

一定满足0

m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u

r r ⇔111222

0x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r

.

怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.

例、向量a r ＝(1，2，3)，b r

＝(4，5，6)是平面

α内的两个不共线向量，求平面α的法向量

解：设平面α的法向量为n r

＝(x ，y ，z )，

则00

n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩ 令z ＝1，得n r

＝(1，－2，1).

注意：

① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.

② n r

的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右

边“草稿纸上演算过程”.

而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。

向量a r ＝(x 1，y 1，0 )，b r

＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，设平面α的法向量为n r

，先由0=⋅，直接设),,(11n z x y -=或),,(11n z x y -=；再通过0=⋅，可得等式022112=+-z z y x y x n 或022112=++-z z y x y x n ，从而求得n z ，再根据需要将法向量n

r

化简。

例、 向量a r ＝(1，2，3)，b r

＝(4，5，0)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向

量。

解：∵向量b r

中含有一个0，

∴设),4,5(z -=或),4,5(z -=，由0=⋅n a 得034215=⋅+⋅+⋅-z 或03)4(215=⋅+-⋅+⋅z 求得1-=z 或1=z 。

设)1,4,5(--=或)1,4,5(-=

此方法有一定局限性，当平面中的两个向量坐标中都找不到0的时候，此方法就难以用上。