第5讲 系统的能控性和能观性
现代控制理论第三章5
c ( A )
T n1
C
T T m
n
上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可
取n个线性无关的行向量或其某种组合构成状态空间的基底下所具有的标准形式。
要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。
1、能观测标准I型
Ax bu x 如果单输出线性定常系统： 是能观测的， y Cx
Ax b u x y Cx
0 1 b To2 b 1 n 1
C CTo2 [0 0 1]
非奇异变换阵为：
对于能观标准II型也可以直接写出系统的传递函数
由上述定义可知:
能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即
其中：
0 0 0 1 n 1
非奇异变换阵为：
C CA 1 To1 N n 1 CA
C CTo1 [1 0 0]
证明思路：用对偶原理证明，能观测标准I型，就是其对偶系统 的能控标准II型。 以下两系统互为对偶系统：
1 0 0 1 1 0 1 1 Tc1 AB B 1 1 1 1 1 0 1 1
0 B 1 C CTc1 1 1
[例2]：写出以下传递函数的能控标准I型。
是 CTc1 相乘的结果
det[λI A] λn an1λn1 a1λ a0
对于能控标准I型，非奇异变换阵为：
0 1 n 1 1 Tc1 [ An 1b, An 2b, , b] 2 1 2 0 0 1
控制系统的能控性和能观性课件
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2. 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统:
3. 离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统:
3
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
导能观性条件。从式(1)，有:
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式:
16
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义, 可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
控制系统的能控性与能观性PPT课件
• 满秩，即rankM=n，否则系统为不能控的。
M B AB A2B
An1B
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• 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
a0 a1 a2 1
0
0
B 0
AB
1
1
a2
1
A2
B
a2
a1 a22
0 0 M 0 1
1 a2
▪ 系统的能控矩阵M的秩等 于3，即rankM=3，所以
期间的输 是能观测的。
t t [t , t ] y(t) 若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统能观。
f
0
0f
x(t0 )
x(t0 )
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• 二、定常系统的能观性判别
• 1. 图形判别法
•
例：
x
2
0
0 3
x
1 1
u
y 1 1 x
x
2
0
0 3
x
1 1
x2
，也就是说改变
即可改变系统的状态。因此，
u(t)
x1
u(t)
u(t)
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• 注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的 A是约当标准型，因此，可总结出系统能控性的 判别准则如下：
• （1）图形判别法：系统模拟结构图中如果没有孤 立部分，系统是能控的，否则是不能控的。
• （2）约当标准型系统能控性判据：若系统矩阵A 的 特征值互异，则系统能控性的充要条件为变换 为约当标准型之后的控制矩阵的各行元素没有全 为0的；若系统的特征值为重根，则系统完全能控 的充要条件是变换为约当标准型后的控制矩阵的 最后一行元素不全为第07。页/共38页
第四章：系统的能控性
全能控的充要条件是: 其输入----状态的传递函数
sI A
1
B
中无相消因子, 即无零极点相消现象.
§4.3 线性定常系统的能观性判据
一, 状态能观性判据的第一种形式 定理: 阶线性定常系统∑ A, , 即 C n
xt Axt
Q 的最后一列.
T 1 g
§4.6 系统能控性和能观性的对偶原理
考察以下的两个系统:
∑1:
x Ax Bu y Cx
∑2:
注意如下的符号表达:
z AT z C T v w BT z
AT T B
∑1:
A B C 0
其中,
Qk H GH G n1 H
二, 线性离散定常系统的能观性判据 定理: n阶线性离散定常系统∑ G, C 的状态完全能 观的充要条件为其能观性矩阵满足
T rankQg rankQg n
这里,
Qg C G C G
T T T
T n 1
nn
, BR , CR
n1
1n
一, SISO系统的能控规范型: 定理: 设SISO线性系统(1)状态完全能控, 则一定存 在非奇异变换 x Px或 x P 1 x 将线性系统(1)化 ,ˆ ˆ 为如下的能控规范型.
ˆˆ ˆ ˆ xt A xt B ut
∑2:
CT 0
关系: 系统∑1的能控阵=系统∑2的能观阵,
系统∑1的能观阵=系统∑2的能控阵.
所以,系统∑1状态能控等价于系统∑2状态能观, 系统∑1状态能观等价于系统∑2状态能控.
(整理)控制系统的能控性和能观测性
第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
现代控制理论线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料PPT课件
u(t)
x(t0 )
x2
x0 x(t f ) 0
所有非零状态
x0 在t0 时刻能控 系统在t0 时刻完全能控
所有时刻
系统一致能控
x1
x(t1)
t0
x(t2 )
t1
线性定常 系统的能 控性与 t0 无关
t
t2
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x(t0 ) 0 x(t1) 0 x(t0 ) 0 x(t1) 0
第1页/共45页
能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。
卡尔曼
能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
第2页/共45页
由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出 关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有 “能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能 控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初 态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到 的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
a2
1 a2 a1 a22
rankM 3 n 故系统的状态完全能控！
此形式的状态方程为能控标准型
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[例] 判别如下系统的能控性
x1 1 2 2 x1 2
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0 0 2
3
4 1 0
能控性及能观测性
第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。
能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。
换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。
能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。
”一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出）若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。
这说明：输入对状态的控制能力强，反之若G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。
说明输入对状态控制能力差。
可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。
1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ξt t ,0）（0t t 〉ξ）和定义在[]ξt ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。
则称系统在时刻是状态能控的。
如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。
()x u x 01011012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=考查能控性？状态变量图（信号流图）：y2由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。
某一状态不能控，则称系统不能控。
2．判据：u 1 ： y1：对线性定常系统=Ax+Bu ，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。
设： p输出 n n A *、p n B *、n m C *给出一定理：由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n ×np 阵的秩等于n 。
=BAB ……B A n 1-称为能控性阵。
换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性
控制系统的能控性和能观性
第4章 控制系统的能控性和能观性第1节 能控性和能观性的定义◆设线性连续时变系统为()()x A t x B t u =+ ()y C t x =如果在[f t t ,0]上，对任意初始状态00)(x t x =，必能找到控制作用()u t ，能使)(t x 由0x 转移到0)(=f t x ，则称系统在0t 时刻是状态完全能控的，简称系统能控。
如果由[f t t ,0]上的)t y （，能惟一地确定0t 时刻的初始状态00)(x t x =，则称系统在0t 时刻是状态完全能观的，简称系统能观。
注意：能控性描述入)(t u 支配状态)(t x 的能力，能观性描述)(t y 反映)(t x 的能力。
能控性和能观性的定义要求初始状态的任意性。
◆线性定常连续系统x Ax Bu =+ y Cx =的能控性和能观性与0t 无关，常取00=t 。
对线性定常系统，能控性实质上是描述)(t u 支配模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是)(t y 反映模态(1,2,,)i te i n λ=的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。
第2节 线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆矩阵判据n 阶线性时变连续系统((),(),())S A t B t C t 在0t 时刻能控的充要条件是能控性格拉姆（Gramian ）矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tC f t W t t t t B t B t t t t =ΦΦ⎰满秩；在0t 时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵000(,)(,)()()(,)d ft t tO f t W t t t t C t C t t t t =ΦΦ⎰满秩。
证明：1）能控性判据证明◆充分性证明。
假设),(0f C t t W 满秩，则),(01f ct t W -存在。
用构造法。
对任意的初始状态0()x t ，系统的状态解为00()()(,)(,)(()d tt x t t B u t t x t ττττ=-Φ+Φ⎰）]d )((),()()[,(0000ττττu B t t x t t tt ）⎰Φ+Φ-=选择0100((),)(,))ttCf u t B t t t t W t x t -=-Φ（）（代入系统状态解式并令f t t =，则有1000000()(,)[()(,)()()(,)(,)()d ]ft t tf f Cf t x t t t x t t t B t B t t t W t t x t t -=-Φ-ΦΦ⎰)()],(),()[,(00100t x t t W t t W I t t f Cf C f --Φ-=0)(])[,(00=-Φ-=t x I I t t f充分性得证。
第三章 系统的能控性和能观性
此式对t微分有：
T e At B 0 T e At AB 0
dt为奇异的
存在n维非零列向量，使得： 0 TWc (t f ) T e At BBT e A t dt
T
tf
T e At An 1 B
t 0, T [ B, AB, , An 1 B] 0 Rank Uc n, 矛盾
Bu( )d
[ e
T 0
tf
A( t f )
Bu( )d ]T 0
0与 0矛盾
2013-9-17 北京科技大学信息工程学院自动化系 14
线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性
结论2： (秩判据)系统( A, B)能控的充要条件是如下定义的n np能控矩阵U c ˆ 行满秩。U c [ B, AB, , An 1 B]
线性系统的能控性与能观性-问题的提出
• 结果：无论u(t)是什么，都会有x1(t)=x2(t)； • 提出问题：
–系统是否可以在控制的作用下从任意状态出发到达 任意指定的状态？ –如果有这样的系统，如何描述？ –如果有这样的系统，如何判断？ –不能任意控制的系统是否部分能控？
2013-9-17
北京科技大学信息工程学院自动化系
2013-9-17 北京科技大学信息 Nhomakorabea程学院自动化系 4
线性系统的能控性与能观性-问题的提出
duc2 (t ) duc1 (t ) u (t ) uc1 (t ) 2 RC RC dt dt RC duc1 (t ) u (t ) u (t ) 2 RC duc2 (t ) c2 dt dt
第5章 能控性和能观性_2
第五章线性动态方程的可控性和可观测性5.1 引言5.2 时间函数的线性无关性5.3 线性动态方程的可控性5.4 线性动态方程的可观测性5.5 线性动态方程的规范分解5.6约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性其中：11,,,−−====A PAP B PB C CP E E(1)(1)]][B AB AB P[B AB A B n n −−=而证完。
其可控性矩阵的秩为n 1<n (n 为x 的维数)，系统不可控，但可分解出n 1维的可控子系统，有以下定理c c c y x u=+C E 是可控的，且与原动态方程有相同的传递函数矩阵:1⎢⎥⎣⎦cn x定理的证明说明：(同时说明了变换矩阵的构造方法)11111[]−+=P""n n nq q q q 1)列写出动态方程的可控性矩阵U ，其秩为n 1；2)从U 中选取n 1个线性无关的列向量11+"n nq q 112,,,"n q q q 作为变换阵的逆矩阵的前n 1列，再补充n −n 1个n 维的列向量得到：1[]−##"#n B AB AB⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A0#1q A 0#2q A 0#1n q A *#11n q +A *#nq A c A 0⎢⎥⎢⎥⎣⎦B0#0#0#0c讨论： 1. 不可控状态不出现在系统的传递函数阵中，这进 一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不 能完全反映系统内部信息，它只能反映方程的可 控的部分;2. 经等价变换后系统的动态方程为：⎡ Ac x = ⎢ ⎣ 0tA 12 ⎤ ⎡B c ⎤ ⎥ x + ⎢ ⎥u Ac ⎦ ⎣ 0 ⎦该系统的零状态响应为：⎡e Ac (t −τ ) ∗ ⎤ ⎡B1 ⎤ x (t ) = ∫ ⎢ ⎥ ⎥ u(τ )d τ Ac (t −τ ) ⎢ e ⎥ t0 ⎢ ⎣ 0 ⎦⎣ 0 ⎦ t ⎡e Ac (t −τ ) B1 ⎤ = ∫⎢ ⎥ u(τ )d τ 0 ⎦ t0 ⎣ A c (t − τ ) 这说明，不可控制振型所对应的全部模式 e 与控制作用无耦合关系，这是为什么称不可控振型为 系统的输入解耦零点的原因。
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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Modern Control Theory
河海大学物联网工程学院 江苏常州 213022 倪建军 njjhhuc@
第3章 系统的能控性与能观性
本章主要内容
• • • • • • • 3-1 能控性定义 3-2 能控性判别 3-3 能观测性及其判据 3-4 能控性与能观测性的对偶关系 3-6 能控和能观测标准型 3-9 传递函数的实现（自学） 3-10 能控性和能观测性与零极点的关系
定理1 若系统A阵为对角形，且对角线上 的元素均不相同，则状态完全能控的充要条 件是B阵无全为零的行。
定理2 若A阵为约当标准形，且每个约当 块所对应的特征值均不相同，则状态完全能 控的充要条件是B阵中与每个约当块最后一 行所对应的各行，没有一行元素全为零。