答案与评分标准

闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题） 1．[]0,3；2．12； 3．23； 4．13； 5．3； 6．12-； 7．文16，理4； 8b ）； 9．文1P -，理30；10．文921112．9；13．文3x <-，理1x <-或3x >； 14．2012．二、（第15题至第18题） 15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p 得22(1)42524x x -+≤⇒-≤≤， （4分）由q 得3223100x x x -<2230x x ⇒--≤13x ⇒-≤≤， （8分）由[24][ 1 3]--，，Ý，即p q ⇒，但q p ⇒，∴命题“若p 则q ”是假命题（10分） 而其逆命题“若q 则p ”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB = （2分）∴12112ABC S =⋅⋅=△ （4分） 故121233P ABC V -=⨯⨯=. （7分） (2)∵//BC AD ,所以ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，（2分）又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴BC PB ⊥,于是在Rt CEB ∆中，2BC =，12BE PB ===， （4分）tan BE BC θ===， （6分）∴异面直线EC 和AD所成的角是arctan（或. （7分） EDB CAP（理）(1) 解法一：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42AD AB ==，，则各点坐标分别是 (0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，(0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==， （2分）设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则2sin 18||||EC n EC n α⋅===⋅（6分） ∴直线EC 与平面PAD 所成的角为arcsin（7分）解法二：∵PA ⊥平面ABCD ，∴C D P A ⊥，又C D A D ⊥,∴CD ⊥平面PAD ，取PA 中点G ，CD 中点H ，联结E G G H G D 、、，则EG AB CD////且1=12EG AB =，EGHC ∴是平行四边形，∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角. （2分）在Rt GAD ∆中，GD =在Rt GHD ∆中，tan HD HGD GD ∠===，（6分） ∴直线EC 与平面PAD 所成的角为arctan . （7分） (2)解法一：由（1）解法一的建系得，( 1 21)AF =，，,(0 4 0)AD =，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z =，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅=，0AD n⋅=得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-，∴22AP n d n⋅===（2分） 又6AF FD ==，∴2AFD S ==△（4分）∴1433P AFD V -=⨯=. （7分） 解法二：易证PE即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE = （2分） 底面AFD △边AD 上的高等于AE ，且AE =AFD S =△（4分） 1144323P AFD V -=⨯⨯=. （7分）解法三：依题意，//EF 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===（4分） 11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （7分）21. [解]（1）设两车距离为d ，则22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v=-+=+-+≤≤ （3分）210010002500v v v <<+，∴当21002500v t v =+时，min d = （7分）F EDB CA PH G（2）当两车相距最近时，02100100125002500v t v v v==≤++， （3分） 此时50v =千米/小时. （5分）即当车速50v =千米/小时，两车相距最近所用时间0t 最大，最大值是1小时.（7分） 22. [解]（1）由题可得1(2,0)F -，2F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则100(,)PF x y =-，200(2,)PF x y=-，∴22120021PF PF x y ⋅=+-=，（1分）∵点),(00y x P在曲线上，则220012x y +=，（2分）解得点P 的坐标为. （4分） （2）当直线PA 经过点(时，则PA 的斜率为1-，因两条直线PA PB 、的倾斜角互补，故PB 的斜率为1，由222131)20142y x x x yx -=-+⎧⎪-+++=⎨+=⎪⎩得，12xx ==即A x =，故A y =（2分）同理得Bx =，By =4分）∴直线AB 的方程为23yx =- （6分）(3) 依题意，直线PA PB 、的斜率必存在，不妨设BP 的方程为：1(0)y k x k -=>.由221(142y k x y x -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)41)420k x k x k +--+--=，（2分）设),(B B y x B ，则241)21B k x k -+=+，22421B k x k --=+，同理22421A k x k +=+， 则2821A B kx x k -=+，同理2(21A B A B y y k x x k -=-+-=+.（4分） 所以：AB 的斜率2A B AB A B y y k x x -==-为定值. （6分） 23. [解]（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且 ， （2分）311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A （4分）（2）由（1）的结论可得12231||||||n n A A A A AA -+++4412711931()()3223n n --=++++=- （2分） n A 点∴的坐标42911(0,())23n --， （3分） 1||||n n OB OB --=2,3,n =）且1||OB ={||}n OB ∴是以23为首项，22为公差的等差数列 （5分）||((2n OB n n ∴=-=+n B 的坐标为(21,21)n n ++.（6分） （3）（文）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ， 则111n n n n n n n A A B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 由1S ，n S ，k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列，332929292()(9)()23223n k n k--+=+++即123()36k n n k =⋅-，①（4分） ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139n n ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）当2n =时，得23k k -=，易知3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列. 即当3n ≥时，{}n S 中不存在1S ，n S ，k S 三项成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有1S ，2S ，3S 成等差数列. （8分） （理）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ，则111n n n n n nn A A B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()]2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ，，，、、成等差数列， 又12120,3n n n nS S +---=<,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项，即2n m k S S S =+，∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++，即2333n m k n m k=+1）当1m =,2n =时，得23k k -=,3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列（4分）2）当1m =，3n ≥时，即123()36k n n k =⋅-，① ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139n n ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）3）当2m ≥时，2n m k S S S =+不可能成立. ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴数列{}3n n 是递减数列，当2m ≥时，32(1)m m ≥+，由2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）知，1n m ≥+ ∴112(1)323333m m m n m m m n +++=≥≥（当且仅当23m n ==，时等号成立） ∴2333m k n m k n+>对任意2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）恒成立， 即当2m ≥时，{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有123S S S ，，成等差数列. （8分）。