基于Matlab可视化界面的单缝衍射仿真分析
基于MATLAB的光学实验模拟
光学模拟计算实验报告班级：物理学122班姓名：学号：实验目的：利用MATLAB软件编程实现了用衍射积分的方法对单缝衍射、杨氏双缝干涉、黑白光栅衍射的计算机模拟；以及用傅立叶变换方法对简单孔径衍射、黑白光栅及正弦光栅夫琅和费衍射的模拟。
实验仪器及软件：MATLAB；衍射积分；傅立叶变换；计算机模拟实验原理：大学教学课程中引入计算机模拟技术正日益受到重视，与Basic、C和Fortran相比，用MA TLAB软件做光学试验的模拟，只需要用数学方式表达和描述，省去了大量繁琐的编程过程。
下面来介绍利用MATLAB进行光学模拟的两种方法。
（一）衍射积分方法：该方法首先是由衍射积分算出接收屏上的光强分布，然后根据该分布调制色彩作图，从而得到衍射图案。
1．单缝衍射。
把单缝看作是np个分立的相干光源，屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果的合成，对每个光源，光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0(Σcosα)2+(Σsinα)2，其中α=2Δ/λ=πypys/λD编写程序如下，得到图1lam=500e-9;a=1e-3;D=1;ym=3*lam*D/a;ny=51;ys=linspace(-ym,ym,ny);np=51;yp=linspace(0,a,np);for i=1:nysinphi=ys(i)/D;alpha=2*pi*yp*sinphi/lam;图1 单缝衍射的光强分布 sumcos=sum(cos(alpha));sumsin=sum(sin(alpha));B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2;endN=255;Br=(B/max(B))*N;subplot(1,2,1)image(ym,ys,Br); colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B,ys); 2． 杨氏双缝干涉两相干光源到接收屏上P 点距离r 1=(D 2+(y-a/2)2)1/2, r 2=(D 2+(y+a/2)2)1/2,相位差Φ=2π（r 2-r 1）/λ,光强I=4I 0cos 2（Φ/2） 编写程序如下，得到图2 clear lam=500e-9 a=2e-3;D=1;ym=5*lam*D/a;xs=ym;n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); for i=1:nr1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2); r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2); phi=2*pi*(r2-r1)./lam;B(i,:)=sum(4*cos(phi/2).^2); end N=255;Br=(B/4.0)*Nsubplot(1,2,1) image(xs,ys,Br); colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B,ys) 3． 光栅衍射公式：I=I 0（sin α/α）2（sin(λβ)/sin β）2α=(πa/λ)sin Φ β=(πd/λ)sin Φ编写程序如下：得到图3clearlam=500e-9;N=2; a=2e-4;D=5;d=5*a; ym=2*lam*D/a;xs=ym; n=1001;ys=linspace(-ym,ym,n); for i=1:nsinphi=ys(i)/D;alpha=pi*a*sinphi/lam; beta=pi*d*sinphi/lam;B(i,:)=(sin(alpha)./alpha).^2.*(sin(N*beta)./sin(beta)).^2; B1=B/max(B);end图2 杨氏双缝干涉的光强分布 图3 黑白光栅衍射光强分布NC=255;Br=(B/max(B))*NC; subplot(1,2,1) image(xs,ys,Br); colormap(gray(NC)); subplot(1,2,2) plot(B1,ys);（二）傅立叶变换方法：在傅立叶变换光学中我们知道夫琅和费衍射场的强度分布就等于屏函数的功率谱。
衍射的Matlab 模拟
二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式（确定了C、K()) 基尔霍夫 (Kirchhoff) 从波动方程出发，用场论得出了 比较严格的衍射公式。
A expik l expik r cosn, r cosn, l E P ＝ d i l r 2
菲涅尔假设： 当 = 0 时，K()=Max, p/ 时，K()=0.
（实验证明是不对的） 若S发出的光源振幅为A（单位距离处）,整个波面’的贡献
CA expikr ~ E P expikR K d R r
求解此公式主要问题：C、K()没有确切的表达式。
设
l
x sin x , f
a b
m
y sin y f
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 my1 dx1 dy1
2 2
28
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 my1 dx1 dy1
2 2
P0 E
17
r z1
2 2 x x1 y y1
2 z1
称为菲涅耳近似。
得到菲涅耳衍射：
e ikz1 ~ E x, y iz1
k ~ 2 2 E x1 , y1 exp i x x1 y y1 2 z1 y y
~ 和E0 abC
则
~ ~ sin sin E x, y E0
子波的复振幅与 cosn, r cosn, l 2 成正比，与波长成反比。 K ( )
1 p i exp[ i ] i 2 表示子波的振动位相超前于入射波90。
12
当光线接近于正入射时
基于Matlab-GUI的衍射图像分析
Ｔｈｅ ｐ ｉ ｃｐ ｅ ｏ ｈ ｏ ｒ ｅ ｒ ｉｓ ｉ ｅ ａ ｅ， ａ ｅ， ｏ ｅ ｓｏ ｈｅｅ ｐｅ ｉ ｎ ｏ ｅｈｅ ｔ ｈ ｎ ｌｓｓｒ ｓ ｔ ｒ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ ｉ ｈ ａ ｅ ． ｔ ｒｎ ｉｌ ｆｔ ｅ ｃ ｕ ｓ ｗａ ｅ，ｔ ｎｔｒ ｃ ｕｓ ｇ ｐｒ ｃ ｓ ｆｔ ｘ ｒｍｅ ｔｔｇ ｔ ｒｗｉｈ ｔ ｅ ａ ａｙ ｉ ｅ ｕｌｓａ ｅ ｉｔｏ ｕ ｅ ｎ ｔ ｅ ｐ ｐ ｒ Ｉ ｆ
ｉ ｇ ｓｈ ｓｄ ｒ ｃ ｅａ ｉｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｉ ｆ ｈ ｅ ｅ ｒ ｈ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｈ ｉ ｒ ｃ ｉｎ ｉ ｇ ｎ ｌｓｓ ｉ ｒ ａｉｅ ｔ ｔ ｂ ＧＵＩ ｒ ｇａ ｍａ ｅ ａ ｉ ｔ ｌｔ ｔ ｅ ｖ ｒｃ ｔ ｏ ｅｒ ｓ ａｃ ． ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｅ ｄｆ ａ ｔ ｅ ｒ ｏ ｏ ｙ ｔ ｔ ｆ ｏ ｍａ ｅ ａ ａ ｙ ｉ ｓ ｅ ｌ ｄ ｗｉ Ｍａ ｌ — ｓ ｈ ａ ｏ ｒｍｍｉ ｇ ｐ ｎ．
ｔ ｅ ｒｔｃ ｌｏ ｅ ． ｈ ｏｅ ｉａ ｎ ｓ
Ｋｅ ｗｏ ｄｓ ｙ ｒ
Ｄｆ ａ ｔ ｎ Ｉ ｇ ｎ ｌｓｓ Ｍａｌｈ Ｇ ａ ｈｃ ｌｕｅ ｎｅｒｃ ＧＵＩ ｉｒｃｉ ｍａｅａ ａｙ ｉ ｆ ｏ ｔ ｒｐ ｉａ ｓｒｉｔｒａ ｅ（ ａ ）
基于matlab的衍射系统仿真 -
成绩：《工程光学》综合性练习二题目：基于matlab的衍射系统仿真学院精密仪器与光电子工程学院专业测控技术与仪器年级20**级班级**班姓名20**年**月综合练习大作业二一、要求3-4人组成小组，对下面给出的各题目利用Matlab等工具进行仿真。
练习结束时每组提交一份报告及仿真程序。
在报告中应注明各仿真结果所对应的参数，如屏与衍射屏间距、孔径形状尺寸等。
二、仿真题目1.改变观察屏与衍射屏间距，观察观察屏上发生的衍射逐渐由菲涅耳衍射转为夫琅和费衍射1)原理图：S点光源发出的波长lam=500纳米S点发出光线经过单缝，缝宽a；单缝到衍射屏的距离L'2)Matlab代码clear;clcl=10;%l=input('单缝到衍射屏的距离L=');a=0.2;%a=input('单缝的宽度(mm)a=');lam=500e-6;%lam=input('波长(nm)');x=-1:0.001:1;%接收屏边界y=x./sqrt(x.^2+l^2);z=a.*y/lam;I=1000*(sinc(z)).^2;%计算接受屏某点光强subplot(2,1,1)%绘制仿真图样及强度曲线image(2,x,I)colormap(gray(3))title('单缝衍射条纹')subplot(2,1,2)plot(x,I)title(光强分布)3)初始仿真图样（d=10）4)改变d之后的图样(d=1000)5)变化规律根据衍射屏以及接受屏的相对位置不同，由此产生菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的区别，根据我们模拟的情况得到菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的明显不同是夫琅禾费衍射条件下：中央有一条特别明亮的亮条纹，其宽度是其他亮条纹的两倍；其他亮条纹的宽度相等，亮度逐渐下降。
2.改变孔径形状、尺寸，观察图样变化1）原理图矩孔衍射：透镜焦距：1000mm;照射光波长：500nm;孔高：a（mm）；孔宽：b（mm）；圆孔衍射：圆孔直径：r（mm）；照射光波长：500nm;照射光波长：500nm;2）matlab代码矩孔衍射：focallength=1000;lambda=500;a=2.0;b=2.0;resolution=64;center=(resolution)/2;A=zeros(resolution,resolution);for i=1:1:resolutionfor j=1:1:resolutionif abs(i-center)<a*10/2&abs(j-center)<b*10/2 A(j,i)=255;endendendE=ones(resolution,resolution);k=2*pi*10000/focallength/lambda;imag=sqrt(-1);for m=1:1:resolutionx=m-center;for n=1:1:resolutiony=n-center;C=ones(resolution,resolution);for i=1:1:resolutionp=i-center;for j=1:1:resolutionq=j-center;C(j,i)=A(j,i)*exp(-imag*k*(x*p+y*q)); endendE(n,m)=sum(C(:));endendE=abs(E);I=E.^2;I=I.^(1/3);I=I.*255/max(max(I));L=I;I=I+256;CM=[pink(255).^(2/3);gray(255)];Colormap(CM);edge=(resolution-1)/20;[X,Y]=meshgrid([-edge:0.1:edge]);x=linspace(-edge,edge,resolution);y=linspace(-edge,edge,resolution);subplot(1,2,1);surf(x,y,L);axis([-edge,edge,-edge,edge,0,255]);caxis([0,511]);subplot(1,2,2);image(x,y,I);axis([-edge,edge,-edge,edge,0,511]);view(2);axis square;圆孔衍射：clearlmda=500e-9;%波长r=1.2e-3;%f=1;%焦距N=19;K=linspace(-0.1,0.1,N);lmda1=lmda*(1+K);xm=2000*lmda*f;xs=linspace(-xm,xm,2000);ys=xs;z0=zeros(2000);[x,y]=meshgrid(xs);for i=1:19s=2*pi*r*sqrt(x.^2+y.^2)./(lmda1(i));z=4*(besselj(1,s)./(s+eps)).^2;%光强公式z0=z0+z;endz1=z0/19;subplot(1,2,1)imshow(z1*255);%平面图xlabel('x')ylabel('y')subplot(1,2,2)mesh(x,y,z1)%三维图colormap(gray)xlabel('x')ylabel('y')zlabel('光强')3）仿真图样：矩孔衍射：a=1，b=2a=2，b=2可知：矩孔在一个维度上展宽一定倍数将导致衍射图样在相同维度上缩短相同倍数，同时能量会更向中心亮斑集中。
matlab作业(衍射实验)
基于MATLAB 模拟演示衍射实验阚亮亮 李宗景 吴小龙 尹岩 将matlab 应用与以前学习过的课程是学习该课程的最重要的意义，通过matlab 演示衍射实验效果好，简洁，直观。
下图是单缝衍射是matlab 所得到的图像-0.025-0.02-0.015-0.01-0.0050.0050.010.0150.020.025附上MATLAB 程序：lamda=500e-9; %波长N=1; %缝数 ，可以随意更改变换a=2e-4;D=5;d=5*a;ym=2*lamda*D/a;xs=ym;%屏幕上y 的范围n=1001;%屏幕上的点数ys=linspace(-ym,ym,n);%定义区域for i=1:nsinphi=ys(i)/D;alpha=pi*a*sinphi/lamda;beta=pi*d*sinphi/lamda;B(i,:)=(sin(alpha)./alpha).^2.*(sin(N*beta)./sin(beta)).^2;B1=B/max(B);endNC=256; %确定灰度的等级Br=(B/max(B))*NC;subplot(1,2,1)image(xs,ys,Br);colormap(hot(NC)); %色调处理subplot(1,2,2)plot(B1,ys,'k');衍射现象的模拟结果与讨论在实验时改变N的值可以得到单缝以及多缝衍射的输出结果，并可以得到这样的结论:(1)当入射光波长一定时,单缝宽度a越小,衍射条纹越宽,衍射现象越显著;(2)单缝越宽,衍射越不明显,单缝宽度逐渐增大,衍射条纹越来越窄;(3)当缝宽a>>λ时,各级衍射条纹向中央明纹靠拢,而无法分辨,这时衍射现象消失。
结束语利用MATLAB对抽象物理现象进行计算机仿真时,首先必须对物理过程进行数学抽象,建立适合程序实现的数学模型,其次利用MATLAB软件包中的有关工具编制m文件,最后对物理过程和物理现象进行模拟,从而可以把抽象的物理问题进行简明、直观的动态展现。
基于MATLAB的矩孔、单缝、圆孔夫琅和费衍射概诉
课程设计任务书学生姓名：专业班级：指导教师：工作单位：信息工程学院题目: 夫琅和费矩孔、单缝、圆孔衍射图样一、设计目的了解MA TLAB软件的基本知识，基本的程序设计，软件在高等数学和工程数学中的应用，学会使用软件进行数值计算和控制工程中的应用。
二、设计内容和要求1．绘制弗朗禾费矩孔、单缝和圆孔衍射图样，可以是二维的或三维的，也可以两种都有。
改变矩孔、单缝和圆孔的参数，比较衍射条纹的变化。
2. 学习Matlab语言的概况和Matlab语言的基本知识。
3．学习Matlab语言的程序设计。
三、初始条件计算机；Matlab软件。
四、时间安排1、2015年01月19日，任务安排，课设具体实施计划与课程设计报告格式的要求说明。
2、2015年01月20日，查阅相关资料，学习Matlab语言的基本知识，学习MATLAB语言的应用环境、调试命令，绘图功能函数等。
3、2015年01月21日至2015年01月22日，Matlab课程设计制作和设计说明书撰写。
4、2015年01月23日，上交课程设计成果及报告，同时进行答辩。
指导教师签名：2015年01 月19日系主任（或负责教师）签名：2015年01 月19日目录摘要 (I)1.设计的内容及要求 (1)1.1设计的目的 (1)1.2设计任务要求 (1)2.设计原理及设计思路 (1)2.1夫琅和费干涉理论 (1)2.1.1夫琅和费圆孔衍射 (2)2.1.2夫琅和费矩孔衍射 (2)2.1.3夫琅和费单缝衍射 (2)2.2设计思路 (3)3.仿真及分析 (4)4.心得和体会 (8)参考文献 (8)摘要物理光学理论较为复杂抽象，实验现象的演示对条件要求高。
采用MATLAB7.0强大的函数作图功能对矩孔、单缝、圆孔的夫琅和费衍射进行模拟,建立直观形象并且精确完整的理论模型,并附上程序代码,将干涉理论联系起来,分析衍射和干涉的本质。
从而加深对夫琅和费原理、概念、和图像的理解。
通过使用MATLAB编写程序，不仅理解了物理思想，而且了解了运用软件解决物理问题的方法。
Matlab演示夫琅禾费单缝衍射强度分布
Matlab演示夫琅禾费单缝衍射强度分布作者：王晶宜等来源：《科学与财富》2015年第27期摘要：研究单缝夫琅禾费衍射条纹强度分布及各参量之间的关系是光学领域非常重要的研究内容。
本文基于光的衍射理论，用Matlab软件程序实现了单缝夫琅禾费衍射中各相关参量之间的关系，并可视化不同缝宽和不同入射波长条件下的衍射条纹强度分布。
关键词：Matlab；单缝夫琅禾费衍射；衍射强度分布1.引言鉴于夫琅禾费单缝衍射的物理规律较为抽象、难以理解及数学表达式求解复杂、耗费时间，故利用MATLAB软件进行仿真演示，实现数据及物理现象的可视化，促进对物理规律更深层次的理解。
遵循MATLAB平台程序设计特性，编制MATLAB平台正确运行的程序。
需要的软件运行环境也很简单：1、硬件平台：计算机处理器主频要求为528MHz 以上；2、内存要求256MB RAM 以上；3、软件平台：操作系统：Windows XP Professional Edition；4、编程平台：MATLAB R2009a。
2.夫琅禾费单缝衍射理论与MATLAB编程障碍物、孔或缝的大小与波长相当是，光通过这一障碍物时，其后空间会发生光的衍射，衍射屏上能接收到有规律光强分布的衍射条纹。
按照光源、障碍物和观察屏三者的位置关系，障碍物到光源和观察屏距离为无限远的，称为夫琅禾费衍射，属于远场衍射，它的分析计算比较简单，同时又有很多实际应用。
衍射光强分布公式为：（1）其中中间因子u为：（2）a=8e-6；lambda=5e-7；theta=（-0.1*pi：0.00001：0.1*pi）；u=pi*a*sin（theta）./lambda；I=sinc（u）.^2；根据可得描述次级条纹的超越方程：（3）k=3；um=（k+1）*pi；uu=linspace（0，um，1000）；figureplot（[0；um]，[0；0]，uu，uu，'k'）hold onplot（uu，tan（uu），'LineWidth'，2）不同缝宽的单缝夫琅禾费衍射强度与衍射角关系曲线及干涉条纹可视化 lambda=400e-9；a1=0.001*1e-3；a2=0.01*1e-3；theta=（-0.1*pi：0.00001：0.1*pi）；u1=pi*a1/lambda.*sin（theta）；u2=pi*a2/lambda.*sin（theta）；I1=sinc（u1）.^2；I2=sinc（u2）.^2；figureColorMap（[r，r*0，r*0]）image（I1*3000）axis off3. 总结基于光的衍射理论，计算单缝夫琅禾费衍射中各相关参量之间的关系，具体包括超越方程u=tanu求解，衍射相对光强与中间因子u的关系，不同缝宽条件下的衍射光强，不同入射波长的单缝夫琅禾费衍射强度与衍射角的关系，最后可视化不同颜色的衍射条纹。
Matlab数字衍射光学实验讲义(一)
2015 级光电工程专业综合实验-信息光学专题实验
imagesc(z) figure(2) mesh(z) %%---------------------matlab 代码-------------------------
改变参数 a，b 的取值，观察模拟结果变化。 4）第一类贝塞尔函数 besselj（v,z）
1. 实验目的:
掌握基本的 Matlab 编程语言，了解其编程特点；模拟几种常用函数，了解其编 程过程及图像显示命令函数，掌握 Matlab 画图方法；通过设计制作一系列光学 研究物体掌握其编程方法； 掌握光波的 matlab 编程原理及方法， 初步了解 Matlab
2
2015 级光电工程专业综合实验-信息光学专题实验
4
2015 级光电工程专业综合实验-信息光学专题实验
figure(4) surfl(x,y,z)%三维 %%---------------------matlab 代码-------------------------
改变变量 a，b 观察模拟图像变化。
x 2 x 3）高斯函数：一维高斯函数 Gauss exp a a
二维高斯函数： sinc
x y x y , sinc sinc ，a，b 为正数。 a b a b
2 2 x y x y x y Gauss , Gauss Gauss exp a b a b a b
二维 sinc 函数： sinc
x y x y , sinc sinc ，a，b 为正数。 a b a b
%%---------------------matlab 代码------------------------clear %清除内存 close all %关闭所有窗口 [x,y] = meshgrid(-2:.05:2, -2:.05:2); %设置二维网格 z=sinc(x).*sinc(y); %sinc 函数 figure(1) imshow(z) %二维灰度图 figure(2) imagesc(z) %二维彩色 figure(3) mesh(z)%三维
光的干涉和衍射的matlab模拟
光的干涉和衍射的matlab模拟单缝夫琅和费衍射是光的衍射现象之一，如图2所示。
当单色光波通过一个狭缝时，光波会向周围扩散，形成一系列同心圆环。
这些圆环的亮度分布是由夫琅和费衍射公式描述的，即。
其中为入射光波长，为狭缝宽度，为衍射角。
夫琅和费衍射公式表明，随着衍射角的增大，圆环的半径会减小，而亮度则会逐渐减弱。
在MATLAB中，可以通过输入实验参数，如光波长和狭缝宽度，来观察圆环的亮度分布和半径随衍射角的变化情况。
同时，还可以探讨不同波长和狭缝宽度对圆环亮度和半径的影响。
4双缝衍射双缝衍射是光的干涉和衍射现象的结合，如图3所示。
当一束单色光波通过两个狭缝时，光波会在屏幕上形成一系列干涉条纹和衍射环。
干涉条纹的亮度分布与___双缝干涉相同，而衍射环的亮度分布则由夫琅和费衍射公式描述。
在MATLAB中，可以通过输入实验参数，如光波长、双缝间距和双缝宽度，来观察干涉条纹和衍射环的亮度分布和条纹间距、环半径随实验参数的变化情况。
同时，还可以探讨不同实验参数对干涉条纹和衍射环的影响。
5衍射光栅衍射光栅是一种利用衍射现象制成的光学元件，如图4所示。
当一束单色光波通过光栅时，光波会被分为多个衍射光束，形成一系列亮度不同的衍射条纹。
衍射条纹的亮度分布与夫琅和费衍射公式描述的圆环类似，但是条纹间距和亮度分布会受到光栅常数的影响。
在MATLAB中，可以通过输入实验参数，如光波长和光栅常数，来观察衍射条纹的亮度分布和条纹间距随实验参数的变化情况。
同时，还可以探讨不同实验参数对衍射条纹的影响。
总之，通过MATLAB模拟光的干涉和衍射现象，可以更加直观地理解和掌握这些重要的光学现象，同时也可以为实验设计和数据分析提供有力的工具和支持。
本文介绍了___双缝干涉、单缝夫琅禾费衍射和衍射光栅光谱的计算机模拟。
当一束单色平行光通过宽度可调的狭缝，射到其后的光屏上时，形成一系列亮暗相间的条纹。
单缝夫琅禾费衍射的光强分布可以通过惠更斯-费涅耳原理计算。
基于Matlab的光学衍射实验仿真
基于Matlab的光学衍射实验仿真（）摘要通过Matlab软件编程，实现对矩孔夫琅和费衍射的计算机仿真，结果表明：该方法直观正确的展示了衍射这一光学现象，操作性强，仿真度高，取得了较好的仿真效果。
关键词夫琅和费衍射；Matlab；仿真1引言物理光学是高校物理学专业的必修课，其中，光的衍射既是该门课程的重点内容，也是人们研究的热点。
然而由于光学衍射部分公式繁多，规律抽象，学生对相应的光学图像和物理过程的理解有一定的困难，大大影响了教学效果。
当然，在实际中可以通过加强实验教学来改善教学效果，但是光学实验对仪器设备和人员掌握的技术水平要求都较高，同时实验中物理现象容易受外界因素的影响，这给光学教学带来了较大的困难1【-5】。
随着计算机技术的迅速发展，现代化的教育模式走进了课堂，利用计算机对光学现象进行仿真也成为一种可能。
Matlab是一款集数值分析、符号运算、图形处理、系统仿真等功能于一体的科学与工程计算软件，它具有编程效率高、简单易学、人机交互好、可视化功能、拓展性强等优点[6-8]，利用Matlab编程仿真光学现象只需改变程序中的参数，就可以生成不同实验条件下的光学图像，使实验效果更为形象逼真。
在课堂教学中，能快速的验证实验理论，使学生更直观的理解理论知识，接受科学事实。
本文以矩孔夫琅和费衍射为例，介绍了Matlab在光学衍射实验仿真中的应用。
2 衍射基本原理衍射是光波在空间或物质中传播的基本方式。
实际上，光波在传播的过程中，只要光波波面受到某种限制，光波会绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。
根据障碍物到光源和考察点的距离，把衍射现象分为两类：菲涅尔衍射和夫琅和费衍射。
研究不同孔径在不同实验条件下的光学衍射特性，对现代光学有重要的意义。
如图1所示，衍射规律可用菲涅尔衍射积分表示，其合振幅为[9]：(1)其中，K是孔径平面，E是观察平面，r是衍射孔径平面Q到观察平面P的距离，d是衍射孔径平面O到观察平面P0的距离，cosθ是倾斜因子，k=2π／λ是光波波数，λ是光波波长，x1，y1和x，y分别是孔径平面和观察平面的坐标。
基于Matlab的夫琅和费单缝衍射的仿真分析
（ ａ ｇ ｈ ｕＵ ｉ ｒｉ ｏ ｔｎＣｏ ｅ ｅＧ ａ ｇ ｈ ｕ ５ ７ ， ｉａ Ｇｕ ｎ ｚ ｏ ｎｖ ｓｙＳ ｎａ ｌ ｇ ， ｕ ｎ ｚ ｏ １ ０Ｃｈ ） ｅ ｔ ｏ １ ３ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔＦ ｅ ｎ ｌ ｎ ｅ ｒ ｌ ｍｅｈ ｄ ｔ ｄ ｒ ｅ ｓ ｇｅ ｓｉ Ｆ ａ ｎ ｏ ｅ ｉｆ ｃｉ ｎ ｉｔｎ ｉ ｉｔ ｂ ｔ ｎ ｆ ｒ ｌｓ ｎ ｉ ａ ｓｒ ｃ ： ｒ ｓ ｅ ｉｔｇ ａ ｔｏ ｏ ｅ ｖ ｉ ｌ－ｌ ｒ ｕ ｈ ｆｒ ｄ ｆ ａ ｔｏ ｎ ｅ ｓ ｙ ｄ ｓ ｉ ｕｉ ｏ ｍｕ ａ ， ｄ ｖｓ ｌ ｉ ｎ ｔ ｒ ｔ ｒ ｏ ａ ｕ
衍 射 分为 菲涅 尔衍射 与 夫琅禾 费 衍射 。一 般将 满足 远场 近似 鱼 Ｐ 椭 ｆ 条 件 的衍射 称 为夫 琅禾 费衍射 ，满 足 近场 近似 条件 的衍 射称 为 菲 ｂ 涅 耳衍 射 。研 究夫 琅禾 费单缝 衍射 的方法 用传 统 的半波 带理 论及 所 以 由惠一 菲原理 可得 沿 ０ 向传 播 的所 有 次波 在 Ｐ点叠 加 方 振 幅矢 量 叠加 法 ， 只 能给 出某些 特 定平 面上光 场 的近似 分 布 。 但 的合 振 幅为 本 文用 菲 涅尔积 分 法得 出衍射 屏 上 的光强 分布 公式 并 结合计 算机 仿 真技 术研 究 夫琅和 费衍 射 的光 强分 布 问题 ，给 出 了衍 射光 场 复 ４ ｄ Ｅ 振 幅及 强度 在任 意 平面上 的详 细分 布 ， 并用 Ｍ ｔａ 拟 出光学 成 ａｌｂ模 像 过程 ，给 出指定 光学元 件 的衍射 特性 或成 像特 性 。 鱼８ 令ｕｘ ／ ＝－２ ｂ 山 ｂ 。 单缝衍 射理 论 推导 单 缝衍 射 如示 意 图 １ 所示 ，平 行光 束垂 直入射 ，光强 均匀 。 ｒ 鱼Ｐ （ ８ ｆ 啪 等 设 在缝 平 面时初 相 为 ０ ，整个 缝所 发此 波在 ０＝０ 向上 的总振 幅 方 ｔｎ ｂ ｂ 为 。 惠更 斯一 涅耳 原理 ， 们把 缝 内的波 前 Ｂ 分割 为许 多 按 菲 我 Ｂ。 等 宽 的窄 条 ， 们 是振 幅相 等 的次波源 ， 多个 方 向发 出次 波 。 它 朝 接 收屏 位 于透镜 厶的 后方 ，角度 ０ 相 同 的衍 射 光线 会聚 于观 察
MATLAB／GUI仿真在波动光学演示实验中的应用
在该点叠加产生的光强度为 ： 的大 型科学计算软件 ，可以对波动光学 中的各种光 学实 验进行模拟仿真 ，并将实验结果 以图像 的方式清晰直观
地显示出来 ，特别是Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 的图形用户 界面（ Ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕｓ ｅ ｒ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｓ ，Ｇ Ｕ Ｉ ） 具有 良好的交互性能【 ２ ］ ，可以在界 面上直接进行参数修改 ，得到动态 的仿真图像 。 本文利用ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ Ｇ ＵＩ 设计 了经典 的杨氏双缝干涉
Ｔ Ｅ Ｃ ＨＮ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ 技术应用
ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ ／ Ｇ Ｕ Ｉ 仿真在波动光学演示实验中的应用
◆ 施继红 杨 晶晶
摘要 ：为 了提 高波动 光学的教 学效果 ，本文利 用Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ Ｇ ＵＩ 的 良好 的交互功能 ， 设计 了杨氏双缝 实验和 夫琅禾 费单缝衍 射 实验 的仿真程序 ，在计算机屏幕上很好地再 现 了光的干涉和衍射现 象及规律 ，对学生加 深波动光 学的物理意义的理 解起到 了良好
分 ，无疑是相 干的，它们在接 收屏处相遇 ，会 出现亮暗
相 间的干 条纹 。假设 双缝间距ｄ ，双缝 和屏 之间的距 离为Ｄ，则对于在屏上距离原点ｘ 的Ｐ 点有 ：
念的产生 、物理原理 的建立和物理规律 的发现都有其坚
实 的实验基础 Ｊ 。波动光学是大学物理学 的重要组 成部
分 ，波动光学 中包含有重要的光学原理 、现象和规律 ，
奠定 了基础 。
根据２ ． １ 所述 的双缝 干涉的原理 ，为了方便用户分 析各个实验参数对干涉条纹 的影响 ，设计 了仿真模 拟实
验的 图形用户 界面 （ Ｇ ｕ Ｉ ） ，编制 了相应 的回调 函数 ，可
用MATLAB语言模拟光衍射实验
第14卷第4期大 学 物 理 实 验 V ol.14N o.42001年12月出版PHY SIC A L EXPERI ME NT OF C O LLEGE Dec.2001收稿日期:2001-07-30文章编号:1007-2934(2001)04-0047-02用MAT LAB 语言模拟光衍射实验周 忆(安徽省科学技术培训中心,合肥,230031) 梁 齐(合肥工业大学,合肥,230009)摘 要:用M AT LAB 语言模拟编写了光衍射的模拟实验程度,给出了五种元件的夫琅和费衍射图。
关键词:衍射;模拟;M AT LAB 语言中图分类号:O4-39 文献标识码:A光的衍射现象是光具有波动性的重要特征,衍射无论在理论研究还是在大学物理教学中都占有较重要的地位。
笔者利用MAT LAB 较强的绘图和图像功能,针对多种衍射元件(单缝、双缝、光栅、矩孔、圆孔)编写了光衍射的模拟实验程序。
在计算机的模拟光的衍射,条件限制较少,对于衍射的实验教学是一种较好的补充。
程序首先根据衍射强度分布的理论公式及实验参数建立衍射相对强度的数据矩阵B (x ,y )然后利用image (B )和colormap (gray )命令绘出衍射图样。
同时,也绘制了衍射光强分布的二维或三维图。
单缝夫琅和费衍射的模拟结果见图1。
衍射光强公式为I =I 0(sin u/u )2,u =(πa sin θ/λ),a 是缝宽,λ是入射光的波长,θ是衍射角。
设观察屏位于单缝后正透镜的焦平面上,f 为透镜的焦距,x 为屏上横向坐标。
θ=arctan (x/f )。
模拟分成三组:第一组,λ=600nm ,f =600mm ,(a )a =0.20mm ;(b )a =0.10mm ;(c )a =0.05mm 第二组,a =0.10mm ,f =600mm ,(d )λ=500nm ;(e )a =600nm ;(f )λ=700nm第三组,a =0.10mm ,λ=600nm ,(g )f =300mm ;(h )f =600mm ;(i )f =900mm以下内容中,取λ=600nm ,f =600mm ,衍射图样横坐标x 和纵坐标y 的范围均为[-20,20]mm 。
基于MATLAB的单色光单缝夫琅禾费衍射现象的模拟
＿ பைடு நூலகம் — —
， ２４ － ＋ ．６
Ⅱ
， ３４ － ＋ ．７
Ⅱ
…：
（ ）上面的讨论假 设光源是完全 的单色 光 ， ４ 若用 白光
‘
Ｐ
—
照射 ， 不同波长 的光 会单独产生 自己的条 纹， 中央为 白色 ，
Ｐ ０
／
／ ／
向两侧依次为紫色 到红色 ， 产生彩色条纹 。
的典 型 示 意 图 。
（ ） 两 相 邻 暗 纹 问 存 在 次 级 明纹 ， 求 极 值 ｄｄＵ＝ ３在 有 Ｉ ／ ０ 可 得 中央 明纹 两 侧 ， 次 级 明纹 的 角 位 置满 足 超 越 方 程 ， 各
ｔｎ ａ Ｕ：Ｕ， 用图解法解此方程可求出次级明纹角位置 ：
ｓｎ ０： １４ ｉ ± ． ３
Ｔｈ ｉ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｍ ｏ ｅ ｏ ｓＬｉ ｈ ｆｒ ｃ ｉ ｎ Ｔｈｒ ｕ ｈ Ｓ ｎｇ ｅｓｉ ｙ Ｍ ＡＴＬＡＢ ｅＳ ｍ ｌ ｔｏ ｆ Ｈｏ ｇ ｎｅ ｕ ｇ ｔ Ｄｉ ａ ｔｏ ｏ ｇ ｉ ｌ－ｌｔ ｂ
Ｇ ｎ ｈ ｎｈ ｎ ｅ ｇ Ｓ ｕ ｓａ
衍 射 现 象 进 行计 算 机模 拟 的方 法 。
关 键 词 ： ＭＡ Ｌ Ｂ 单 色 光 ＴＡ
中图分 类 号 ： Ｔ ３ １９ Ｐ ９ ．
单 缝衍 射
模 拟
文章 编 号 ： ０ ２ ２ ２ ２ ０ ０１ ０ ２ — ２ １ ０ — ４ ２（ ０ ８） － ０ ０ ０
文献 标识 码 ： Ａ
ｍｅ ｈ ｄ ｔ ｉ ｌｔ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｌ ｈ ｉ ｒ ｃｉ ｎ ｔ ｒｕ ｈ ｓｎ ｌ － ｌ ｙ ＭＡ ＡＢ． ｔｏ ｏ ｓ ｍｕ ａｅ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｉ ｔ ｄｆ ａ ｔ ｈ ｏ ｇ ｉｇ ｅ ｓｉ ｂ ｇ ｆ ｏ ｔ ＴＬ Ｋｅ ｗｏ ｄ ＭＡ ＡＢ ｙ ｒ： ＴＬ Ｈｏ ｇ ｎ ｏ ｓ Ｌ ｇ ｔ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｉｈ Ｌ ｇ ｔ Ｄｉ ｒ ｃｉ ｎ ｔ ｒ ｕ ｈ Ｓ ｎ ｌ — ｌ ｉ ｈ ｆ ａ ｔ ｈ ｏ ｇ ｉｇｅ ｓｉ ｆ ｏ ｔ Ｓ ｍｕ ａｉ ｎ ｉ ｌｔ ｏ
基于Matlab的光单缝衍射的图样表现
（3） 式中 r0 是 O 点到 P 点的光程。波面上任意一点 C，宽度为 dx 的细带在 P 点引起的振动为
（4） 式中 Δ 为 O 点和 C 点光线到 P 点的光程差，它仅决定于 C 点距 O 点的距离 x 和衍射角 θ，Δ= xsin (θ)，代入上述（4） 式，
（5） 所有细带在 P 点引起的振动，必须对（5）式积分计算，便可得到光强的 分布公式。单缝衍射的实验装置的示意图如图 1 所示：
图 1 单缝衍射示意图 波长为 λ 的平面波射向缝宽为 AB=a 的狭缝，衍射后经透 镜 L 会聚在焦平面上。设坐标原点 O 在缝的中心。将狭缝分成 许多平行于缝的细带，首先考虑位于 O 点，宽度为 dx 的细带在 P 点引起的振动。在近轴条件下，忽略倾斜因子和振幅与距离的 反比关系，并取系数为 1，则（1）式简化为
Matlab 是一种高效能的、用于科学和工程计算的计算机语 言，它通过简单编程，能使复杂计算变得相当容易，并能实现计 算和图象一体化，从而使数学分析和计算成为轻松和有意义的 事情。本文应用 Matlab 的数值计算和绘图功能，根据夫琅禾费 衍射场的理论公式，计算得出光强分布矩阵并绘制出光强分布 曲线及其衍射图样。
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则 P 点光强与中央零级光强之比为： （10）
3.2 运用 Matlab 模拟单缝衍射 由图 1 中的几何关系可得单缝衍射角 θ=arctan(y/f),再根据 （8）、（10）即可算出单缝衍射的相对光强矩阵 I，用 Matlab 实现 如下： Theta=atan (y./f); %计算衍射角 θ，y 为设定的衍射场的范 围，f 为透镜焦距 U=(pi*a/lambda)*sin(theta); %计算 U，a 为单缝宽度，lambda 为波长 I=(sin(U)./U).^2; %生成光强分布矩阵 Plot(U,I) %绘制单缝衍射强度分布图，以 U 为横坐标 Image(I) %画单缝衍射图样 由图 2 光强分布和衍射图样可以得出单缝衍射图样的主要 特征。单缝衍射图样是在中央最大值两侧对称排列着明暗相间 的一系列光强度递减的条纹。另外，缝宽 a，波长 λ，焦距 f 的改 变均可影响图样的改变。当给定波长，单缝宽度的改变会影响半
单缝衍射的matlab分析报告
单缝衍射的MATLAB分析学院：精密仪器与光电子工程学院专业：生物医学工程班级：1班：单缝衍射的MATLAB分析摘要:在光的衍射概述和发展历史的基础上，说明了单缝衍射的图样特点，介绍了夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强、条纹分布特点。
并利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。
关键字：单缝衍射夫琅禾费单缝衍射光强分布条纹分布一、光的衍射概述1.光的衍射现象物理光学中，光的衍射现象是指光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈现光强的不均匀分布的现象。
通常将观察屏上的不均匀的光强分布称为衍射图样。
光的衍射是光的波动性的主要标志之一。
光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。
几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。
但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区，也使得几何照明区出现某些暗斑或暗纹。
1.1衍射现象的基本问题1.已知照明光场和衍射屏的特征，求屏幕上衍射光场的分布；2.已知衍射屏及屏幕上衍射光场的发布，去探索照明光场的某些特性；3.已知照明光场及屏幕上所需的衍射光场发布，设计、计算衍射屏的结构和制造衍射光学元件。
1.2衍射现象的分类根据光源、衍射物（衍射屏）和衍射场（观察屏）三者之间的位置确定1．夫琅和费衍射：(远场衍射)光源和衍射场都在衍射物无限远处的衍射。
2．菲涅耳衍射：（近场衍射）光源和衍射场或二者之一到衍射物的距离比较小时的衍射。
1.3衍射现象及单缝衍射图样让一个足够亮的点光源S发出的光透过一个圆孔∑，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影，随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应的变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环，当使用单色光源时，是一组明暗相见的同心环带，当使用白色光源时，是一组色彩相间的彩色环带；此后再使圆孔变小，光斑及圆环不跟着变小，反而会增大起来。
利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真
利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真储林华（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011）指导教师：张杰摘要：光的衍射是光的波动性的一种重要表现，因此对光的衍射现象的研究，不仅具有重要的理论意义，而且在光学仪器研制和成像分析等诸多实际应用方面均有重要价值，但是其衍射光强的计算非常复杂，对实验条件的要求非常高，通常情况下很难得到满意的效果，严重影响了光学的教学。
本文从衍射的相关理论知识出发，首先介绍了惠更斯--菲涅耳原理及其数学表示形式，然后重点讨论了单色光经各种对称光学衍射元件（单缝，双缝，光栅，圆孔）的夫琅和费衍射情况，并分别给出了它们在焦平面上的衍射光强计算公式，最后利用科学计算软件MA TLAB对光的衍射现象进行了仿真，所得到的图样细致逼真，使整个物理过程变得直观形象，且与实验所得到的衍射图样进行了比较，两者吻合得很好，从而为光学的理论分析和实验教学提供了一种新的途径。
关键词：光的衍射，光栅衍射，圆孔衍射，Matlab，计算机仿真0 引言光的衍射现象是光具有波动性的重要特征，因此对衍射现象的研究无论在理论上还是在实践中都有很重要的意义。
对光的衍射现象的研究，始于17世纪，当时著名的荷兰科学家惠更斯提出了光是一种波的假说，并根据波动理论提出了光的传播理论——即惠更斯原理[1]，根据这一原理，他解释了光的反射定律和折射定律，给出了折射率的意义，光在两种介质中的速度比。
到了19世纪，法国年轻的科学家菲涅耳，根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化，给出了光在传播过程中光强学计算公式，这就是著名的惠更斯-菲涅耳原理[2]。
但由于在实际应用过程中，障碍物形状的不规则性，导致光强的计算公式几乎无解析解，只能进行一些数值计算。
针对衍射计算中出现的困难，近代的研究人员想到运用科学的计算软件MA TLAB，利用其较强的绘图和图象功能，编写计算程序，使得多种衍射元件（单缝，双缝，光栅，矩孔，圆孔）下的衍射现象得以在计算机中形象地被模拟仿真。
基于Matlab的菲涅尔衍射仿真
南京航空航天大学高等光学期末报告题目：基于Matlab的单缝菲涅尔衍射实验仿真学院专业姓名学号2014 年12 月30 日基于Matlab的菲涅尔衍射仿真摘要光学试验中衍射实验是非常重要的实验. 光的衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时能够绕过障碍物的边缘前进的现象, 光的衍射现象为光的波动说提供了有力的证据. 衍射系统一般有光源、衍射屏和接受屏组成, 按照它们相互距离的大小可将衍射分为两大类, 一类是衍射屏与光源和接受屏的距离都是无穷远时的衍射, 称为夫琅禾费衍射, 一类是衍射屏与光源或接受屏的距离为有限远时的衍射称为菲涅尔衍射。
本文用Matlab软件主要针对单缝菲涅尔衍射现象建立了数学模型，对衍射光强分布进行了编程运算，对衍射实验进行了仿真。
关键字：Matlab；单缝菲涅尔衍射；仿真;光学实验AbstractOptical diffraction experiment is a very important experiment. is the diffraction of light propagation of light in the obstacles encountered in the process to bypass the obstacles when the forward edge of the phenomenon of light diffraction phenomenon of the wave theory of light provides a strong Evidence. diffraction systems generally have light, diffraction screen and accept the screen composition, size according to their distance from each other diffraction can be divided into two categories, one is the diffraction screen and the light source and the receiving screen is infinity when the distance between the diffraction Known as Fraunhofer diffraction, one is diffraction screen and the light source or accept a limited away from the screen when the diffraction is called Fresnel diffraction.In this paper, Matlab software on a typical phenomenon of a mathematical model of single slit Fresnel diffraction, the diffraction intensity distribution of the programming operation, the diffraction experiment is simulated.Key word: matlab；single slit Fresnel diffraction; simulation; optical experiment1.菲涅尔衍射的基本原理 1.1菲涅尔衍射的实验原理光在传播的过程中经过障碍物，如不透明物体的边缘、小孔、狭缝等时，一部分光会传播到几何阴影中去，产生衍射现象。
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［ ６］Ｇ ｌ ａ ｅ Ｓ， ｉ ａ ． ｌｏ ｌ ｒ ｅ ｃｎ ｅ ｕ ￣ ｒ ｉ ［ ］／ ｏ ｗ ｓ ｒ Ｋｌ Ａｍ ｓ ａ ｉ ｓ ａ ｉ ｙｃ ｔ ｅ Ｃ ／ ｄ ｓ ｌＪ ｉ ｔ ｌｐ ｍ ｂ ｑ ｃ ｅｉ ｄ ｆ
．
件 的点 ， Ｋ算法失效 ， Ｇ 由此得 知本算 法有一 定的实际 应用 的价
值 ， 以上定理相吻合 。 与
ｒ ｌ ）ｌ Ｐ十１＋２ ≤ （ ＋１ ≤ 帖 （ ≤ ）
≤ （／ ＋１ ＝（ ＋１ ￣ ） ）
与假设矛盾 ， 即证 。
４ 结
＋曰
语
定理 ３ 设 ｎ为大于 ３的整数 ， Ａ， ａ ｂａ 均 为模 ｎ的 有 Ｂ， ， ， 整数 ， ｂ 为整数 ， 得 （ ，）， 使 ａ ｂ 为椭 圆曲线 Ｅ：。； Ｙ ＋ （ ｏ ） ｏ ｒ ｄｎ 上阶为 ｒ 的点 ， （ ｂ） 点 ａ， 为椭圆曲线 Ｅ： Ｙ ＋４ 』 ＋
Ｈ ｓｅ 理 有 ： ａｓ 定
来判 断阶的时候 ， 现很容 易找 到满足 条件 的点 （ ４ ７ ） 发 ９ ，３ 阶为
３ （ １阶的点有很 多个 ） 又存 在 阶为 ４的 点（ ６ ８ １４） 即可 １３ ， （２ ，２ ，
以 判定 ９ １ 拟 素 数 ， ７ 为 而用 ｒ＞ （ 彳 ｎ１＋１ ｚ一４ ３， 有 满 足条 ） ３ 没
那么如果 ｒ 为素数 ， ｎ为拟素数。 则
证明
（ ）椭 圆 曲线 的素 性检 验都 需 要构 造 ｚ ２ ／ ｚ上 的椭 圆曲
１
假 设 ｎ至 少 可 分 解 为 三 个 互 不 相 同 的素 因 子 之 积 ，
线， 满足 ＞（ 亍 ＋１ ， １ 常大时 ， 也需要非 常大 ， ｎ ） 当 ７ ， 非 ｒ 要寻
第 ７期
吴 长虹等 ： 于椭 圆 曲线 的拟 素数检 验 方法 基
２３ ９
上的阶为 ｒ ， 点 由于 ｒ 是素数 ， 以 （ ，）在 Ｅ 上的阶仍然为 ｒ 所 ａｂ ，
其点对定 义 的运 算构 成 Ａ ｅ 群 ， 中 的点数 ＃ Ｅ （ ）即 为 ｂｌ 群 （ Ｆ ） 群的阶 ， 由有限群 中的 Ｌ ｇ ｎｅ定 理 有 ｒ 把 ）， ａｒ ｇ ａ ｌ （ 再根据
点 （ ｂ）的阶为 ４并且 ｇｄ ｂ ， ＝ｌ 所以有 ｇｄ ｂ，）＝１ ａ， ｃ （ ｎ） ， ｃ （ Ｐ
，
（ ）由以上可知此算法对所有的输入都可以在多项式时间 ３
内完成测试 。本 定理虽然未 确定 ｎ是 否是素数 ， 有一定 的局 限 性， 但是 条件更广 ， 使用 范围更大 ， 更容易应 用在强伪 素数的环 境 中， 如果拟 素数是两个足 够大 的素数之 积 ， 则恰好可以用在 当 今热 门的 Ｒ Ａ系统中。 Ｓ
砷 ｌ
上的点 ， 由于 ｒ 是素数 ，（ ，）在 Ｅ ａ６ 上的 阶仍 然为 ｒ该 点对定 ， 义 的加 法运算 构成 Ａ ｅ 群 ， 中的点数 舟 Ｅ （ ）即为群 的 ｂｌ 群 （ 。Ｆ ）
放大 ｒ 至 ＞ （ ＋１ 以后 ， ｎ ） 即为 Ｇ Ｋ定理 。
阶 ， 根据有 限群 中的 Ｌｇａｇ 定理 ， ｒ ＃ ｐ Ｆ ）， 再 ａｒｎｅ 有 Ｅ （ ｐ 又因为 Ｉ
即不存在 １阶和 ２阶的点 ， 则必有 ４Ｉ Ｅ （ ｐ 再有 Ｈａｓ ＃ ｐ Ｆ ）， ｓ ｅ定
理 有 ：
４ ≤Ｉ Ｅ（ ｌ ｒ ＃ ｐＦ ） ≤Ｐ十２ ｐ＋１≤ （ｐ＋１ √ √ ）
≤ （／ ＋１ ￣ ） ＝（ ＋１ ）
即 ，≤ 与假设矛盾 ， 证毕。
—
参
中 国科 技 大 学 ，０ ８ ２０ ．
［５］卢开澄 ． 计算机密 码学 ［ ． Ｍ］ ３版．北京 ： 华大学 出版社 ，０ ８： 清 ２０
１ １—２ ４． ８ ｏ
证 明 若 ｎ不是素数 ， ｎ 在一个素因子 Ｐ Ｐ≤ 则 存 且 ， 点
（ ，）为椭 圆曲线 Ｅ ： ｎｂ 。ｙ ２ ＋Ａ ｘ＋Ｂ ｒ ｄＰ （ ｏ ）上的点 ， ｏ 因为 ｒ
１ ． ４８
考
文
献
［１］裴定 一 ， 跃 飞． 法 数 论 ［ ． 京 ： 学 出 版 社 ，０ ２ １１ 祝 算 Ｍ］ 北 科 ２ ０ ： ２
推论 １ 设 ， 为大于 ３的整数 ， Ｂ， ，， ｂ 均为 模 ｒ Ａ， ａ ｂａ ， 的整数 ， 得点 （ ，）为椭圆曲线 Ｅ： ＝ 使 ａｂ Ｙ ＋ ＋Ｂ ｍ ｄｎ （ ｏ ） 上 的点 ， （ ｂ） 点 ａ ， 为椭 圆曲线 Ｅ： 一 ＋ ｘ＋Ｂ ｍ ｄｎ Ｙ 。 Ａ （ ｏ ）的阶 为 ４的点 ， ｇｄ 且 ｃ（ 则 １ 素数 。 １ ， 为 ） ， ：１如果有 ， ＞ 且， 为素数 ，
１ ｌ
由定理 １ 可知存在素数 Ｐ且 Ｐ≤ ， 对于 （ ，）是椭 圆曲线 ： ｏｂ
： 三 ｙ ＋Ａ ＋Ｂ（ ｏ ） ｏ ｒ ｄｎ
找到 阶数如此大 的点显然不容易 ， 当缩小 ｒ＞（ 寺＋１ ＞（ 言 ｎ ） ｎ
１
－
ｉ
４） － ＞÷ （言＋１。 １ ｎ ） 以后 ， 显然更容易找到满足条件的点。当
，
（ ）Ｇ ｌｗ ｓｅ— ｉａ １ ｏｄ ａｓｒ ｌ ｎ定理 并非充分必要条件 ， Ｋｉ 即如 果没
有 找到一个 满足条件 的点时 ， 无法判断 ｎ是否是素数 ， 具有一定 的盲 目性 ， 而本定理可 以更容易找到符合条件的点 ， 而做， ） １ ＞ ÷ （。 的 为４ 点， ｃ ６ ： 和， 笪 ｄ ，
［ ２］陈恭亮． 信息 安全数 学基 础 ［ ： 京 ： Ｍ］ 北 清华 大学 出版社 ， ０ ４ ２０ ：
１ ３—１ ４． ３ ３
［ ３］冯登 国， 裴定 一． 密码 学导 引 ［ ． 京 ： 学 出版 社 ，１９ ６ Ｍ］ 北 科 ９９： １
—
６ ９．
［ ４］于飞．对于有限域上椭圆曲线 的一些算术 问题 的研究 ［ ． Ｄ］ 北京 ：