中心极限定理

则对于任意实数 x ,
limP
n k1
Xk
n
x1
t2
x e 2 dt (x)
n
n
2
n
注
X k n
记 Yn k 1 n
lim
n
PYn
x
(x)
Yn
1 n
n
Xk
k 1
/ n
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态的分布函数
近似
n
Xk 近似服从 N (n , n 2 )
谢 谢！
设有N条外线。由题意有 P( X N ) 0.95
由棣莫弗-拉普拉斯定理有
P(
X
N
)
N np np(1
p)
N
Biblioteka Baidu 40 32
.
查表得(1.65) 0.95. 即 N 50,即至少要安装50 条外线。
这一讲我们介绍了中心极限定理，中心 极限定理在实际应用中具有极高的价值，除 了今天研究的概率近似计算，在后续的数理 统计部分，研究区间估计和假设检验时，还 可以用作各种分布的近似分布.
第四章 随机变量的数字特征 第七讲 中心极限定理
主讲教师 叶宏 副教授
大家好，这一讲我们介绍中心极限定理。
大家知道，正态分布是概率统计中最重要 的分布，不仅自身应用广泛，而且在特殊条件 下，可以用作其他分布的近似分布，中心极限 定理就描述了这一现象。
先来看一下它的客观背景:
中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例 某单位有200台电话分机，每台分机使用外线的概率 为0.2, 假定每台分机是相互独立的，问要安装多少条外 线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B(200, 0.2),
其中 n 200,p 0.2,np 40,np(1-p) 32.
50
近似
由中心极限定理
Xi ~ N (2.5, 2.5)
i 1
50
50
P( Xi 3) 1 P( Xi 3)
i1
1 i(13 2.5 ) 0.375
2.5
例 设某种汽车的碳排放量为0.9g/km，标准差为1.9g/km，某 出租公司有这种车100辆，以 X 表示这些车辆的碳排放量的 算术平均值，问当L为何值时，X 大于L的概率不超过0.01？
观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个因素 在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般 都服从或近似服从正态分布.
定 列维-林德伯格中心极限定理
理 一
[ 独立同分布的中心极限定理 ]
设随机变量序列 X1, X 2 ,, Xn ,
独立同E分(X布k ) ,且有, D期(X望k 和) 方 差2 ：0 , k 1,2,
定 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 理 二 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ]
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P
n
Yn np np(1 p)
x
1
2
t2
x
e 2 dt (x)
即 n 足够大时，
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
设Xi 表示第i辆车的碳排放量，则EXi 0.9，DXi 1.9 2
由中心极限定理
X
1 n
n k 1
Xk
近似服从 N ( ,
2
n
)=N (0.9,
1.92 100
)
P( X L) 0.01
1 P( X L) 1 ( L 0.9) 0.19
( L 0.9 ) 0.99 L 1.3427 0.19
Y n ~ N ( 0 ,1 )
k 1
X
1 n
n k 1
Xk
近似服从
N ( , 2 )
n
它表明: 当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的
随机变量之和或者平均值近似服从正态分布.
例 设有50个寻呼台，每个寻呼台收到的呼叫次数服从 P(0.05)，求收到的呼叫次数总和大于3次的概率.
Xi ~ P(0.05) EXi DX i 0.05