第11章 压杆稳定(2016-1版)

σ cr
σ cr= a −bλ
σ σ
s p
σ cr=σ s
σ
cr=
π 2E λ2
O 小 λ0 中 λp 大 λ
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求λ
二、中柔度压杆的临界应力
2.适用范围
即：
σ p ≤ a − bλ = σ cr ≤ σ s
λ ≥ a−σs
b
= λ0
记：
λ0
=
a
−σ
b
s
与材料的力学性能有关
Байду номын сангаас中柔度压杆(中长压杆)—— 满足λ0≤λ≤λp的压杆
例如：Q235钢：σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa
λ0
=
304 − 235 1.12
注意： 临界压力是压杆所具有的维持稳定平 衡能力的一个力学指标。
第十一章 压杆稳定
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力 二、其他约束下细长压杆的临界压力 三、欧拉公式的统一形式
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
设： 压杆处于微弯状态，
iy
=
b 23
=
5.77 mm
y
z
λy
=
μ2l2
iy
=
66.7
Q λmax = λ y > λz
∴连杆在xz平面内失稳
查表：λp = 100 λ0 = 60 λ0 < λmax = λ y < λp 为中柔度压杆
§11.4 压杆的稳定条件及设计准性） 例（ 则
2 2.
例2 图示连杆，材料为优质碳素钢，最大压力F=60kN校核 ，
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围
1.临界应力 临界应力——单位横截面面积上的临界压力 (临界压力除以横截面面积)
且σ ≤ σp 由 EIy′′ = −M(x)
和 M( x)= Fy
得到 EIy′′ + Fy = 0
令
k2 = F
EI
则有 y′′ + k 2 y = 0
x
x
F
FN
M(x) l
y
y
x
x
y
y
F
F
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
微分方程： y′′ + k 2 y = 0
一、稳定条件
F ≤ Fcr nst
或
n=
Fcr F
≥ nst
F ——压杆的工作压力
Fcr——压杆的临界压力
n ——压杆的工作安全因数 (即实际的安全因数)
nst ——规定的稳定安全因数
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
二、稳定计算的三类问题
1.校核稳定性 2.选择截面尺寸 3.确定许用载荷
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
形状等因素对临界应力的综合影响
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围
2.适用范围 欧拉公式的适用范围：
π 2E λ2
=
σ cr
≤σp
即：
λ ≥π
E
σp
=
λp
记：
λp = π
E
σp
与材料的力学性能有关
大柔度压杆(细长压杆)—— 满足λ≥λp的压杆 例如：Q235钢：E = 203GPa，σp = 200MPa
y = Asin πx
l
——半正弦波曲线
A = y x= l = ymax 2
——是微小的、不却确定的量
l y x
y F
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
讨论：2.临界压力的精确解
− y′′ = M(x) EI
Fcr
=
π
2 EI l2
(近似解) 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
F
查表：i = imin = i y = 2.50 cm, A = 55.4 cm2
λ = μl = 0.5 × 3.5 ×102 = 70
i
2.50
查表：Q235钢 λp = 100, λ0 = 62
3.5m
λ0 < λ < λp 属于中柔度压杆 2.求Fcr 查表：a = 304 MPa b = 1.12 MPa
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围
临界应力为：
σ cr =
Fcr A
=
π 2 EI (μl)2 A
=
π 2E ⎜⎛ μl ⎟⎞2
= π 2E λ2
⎝i⎠
I = Ai 2
i = I ——最小惯性半径
A
令
λ = μl ——压杆的柔度或长细比， 是无量纲量
i
反映了杆端的约束情况、杆的长度、横截面的尺寸和
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 悬索桥中的立柱
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 桥墩
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 吊车的顶杆
§11.1 压杆稳定的概念
Fcr
Fcr
Fcr
=
π 2 EI
(2l )2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
Fcr
Fcr
Fcr
=
π
⎜⎛
2 EI l ⎟⎞2
⎝ 2⎠
FNcr= Fcr
l 4
l 2
FNcr
FNcr=Fcr FNcr
l 4
l 4
l l2
l 4
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克 尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超 载失稳，造成剧院倒塌，死98人，伤100余 人。
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
3.1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、 总重565.4kN大型脚手架失稳坍塌，造成5人死 亡、7人受伤。
μl——相当长度
μ——长度系数，反映不同杆端约束对临界压力的影响
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
三、欧拉公式的统一形式
Fcr
=
π 2 EI (μl )2
压杆的长度系数
压杆的约束条件
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
μ =2 μ =1
一端固定，另一端铰支
μ = 2 ≈ 0.7
3
两端固定
μ = 1 = 0.5
B
z y No.28a A
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 70 MPa = 226 MPa Fcr = σ cr A = 226 × 55.4 × 102 N = 1252 kN
第十一章 压杆稳定
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
一、稳定条件 二、稳定计算的三类问题
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
=
62
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
三、小柔度压杆的临界应力
小柔度压杆(粗短压杆)—— 满足λ≤λ0的压杆
这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。 临界应力
σcr = σs
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
四、临界应力总图
临界应力总图——压杆的临界应力随柔度的变化情况
=
4.35
>
nst
l 1=800
l1
l2
l 2=770
z
λ y = 66.7
∴ 连杆安全
第十一章 压杆稳定
§11.5 提高压杆稳定性的措施
一、合理选择截面形状 ——增大I(以I/A衡量)
二、增强压杆的约束——减小μ
三、减小压杆的长度——减小l
四、合理选择材料 ——增大E
Fcr
=
π 2 EI (μl )2
(1) x
边界条件： y(0)= 0， y(l)= 0
(2)
F
(1)的解为： y = Asin kx + B cos kx (3)
代(3)入(2)：⎩⎨⎧sin
0 kl
⋅ ⋅
A A
+ +
cos
1 kl
⋅ ⋅
B B
= =
0 0
0
A和B有非零解：
1 =0
sin kl cos kl
l
y x
即：
sin kl = 0
I =?
I = Imin
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公压杆 一、 式
的两
一、两端铰支细长压杆的临界压力
临端 界铰 压支
力细
长
讨论：1.失稳挠曲线
x
⎧ 0⋅ A+ 1⋅B = 0 ⎩⎨sin kl ⋅ A + cos kl ⋅ B = 0
F
因为
B = 0 且 sin kl = 0
所以
A≠0
故有
一、工程中的压杆： 压力机的压杆
二、压杆的失效形式
§11.1 压杆稳定的概念
强度不足 ——粗短压杆 σ = FN > [σ ]
A
失 稳 ——细长压杆
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
1.1907年加拿大圣劳伦斯河(St. Lawrence) 在架魁北克桥(Quebec Bridge)时，由于悬臂桁 架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨 钢材变成一堆废墟。
k = nπ (n = 0，1，2，…)
l
y F
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
k = nπ
l
(n = 0，1，2，…)
因
k2 = F
EI
所以
F
=
n2π 2 EI
l2
(n = 0，1，2，…)
故有临界压力：
Fcr
=
π
2 EI l2
——欧拉公式 Euler 1744
第十一章 压杆稳定
材料力学
§11.1 §11.2 §11.3
§11.4 §11.5
压杆稳定的概念 细长压杆临界压力的欧拉公式 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 压杆的稳定条件及设计准则 提高压杆稳定性的措施
第十一章 压杆稳定
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
5.2008年8月21日上午，甬台温铁路浙江 黄岩金寺堂特大桥工程项目38号墩0号块梁板 发生坍塌事故，240多吨的梁板掉落，埋住4 人，其中2人死亡。
据“8.21”事故情况通报，现初步查明事 故系施工人员擅自拆除翼板部位支撑钢管时 支架失稳导致。
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念
−(1 +
y′′ 1
y′2 )ρ3/2
= M(x) EI
精确解
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
F Fcr
O
精确解 欧拉解
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
例2 图示连杆，材料为优质碳素钢，最大压力F=60kN，
nst=4，试校核此连杆的稳定性。
解：1.求λ ，确定失稳平面
(1)若在xy平面内失稳时 μ1 = 1
x
Fx
F
iz =
Iz = h = 12.99 mm A 23
b=20
λz
=
μ1l1
iz
=
61.6
h=45
l1
l2
l 1=800
l 2=770
(2)若在xz平面内失稳时 μ2 = 0.5
§11.5 提高压杆稳定性的措施
工程中的压杆： 灯杆和广告牌的立柱
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
4.2000年10月25日上午10时30分，在南 京电视台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土 施工中，因脚手架失稳，造成演播厅屋顶模 板倒塌，死5人，伤35人。
三、压杆失稳的实例
第一§节11压.1杆压稳杆定稳的定的概概念念
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
nst=4，试校核此连杆的稳定性。
稳 定
解：1.求λ ，确定失稳平面
2.校核稳定性
x
Fx
F
查表： a = 461 MPa
b=20
b = 2.57 MPa
h=45
σ cr = a − bλ y = 290 MPa
Fcr = σ cr A = σ crbh = 261 kN
y
n=
Fcr F
=
261 60
F
F
§11.1 压杆稳定的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
F'
F
F
F
F
F
稳 定 平 衡——压杆 能 恢复到原来直线状态的平衡 不稳定平衡——压杆不能恢复到原来直线状态的平衡
§11.1 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念 失 稳——压杆丧失其直线状态平衡而过 屈 曲 渡到曲线状态平衡的现象
压临界杆压力的——压杆由稳定平衡过渡到不稳定 平衡的压力临界值(Fcr )
λp = π
203 ×109 200 ×106
= 100
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
二、中柔度压杆的临界应力
1.临界应力
当σp≤σcr≤σs时，也有理论分析结果
通常采用建立在试验基础上的经验公式： σ cr = a − bλ
a、b——与材料的力学性能有关的常数， 单位：MPa
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
拐点 拐点
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
3.一端固定、另一端铰支
Fcr
Fcr
Fcr
=
π 2 EI
⎜⎛ 2l ⎟⎞2
⎝3⎠
拐点
Fc'r
2l 3
l
拐点
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
三、欧拉公式的统一形式
Fcr
=
π 2 EI (μl )2