高中数学等差数列公开课教学课件
合集下载
《等差数列》公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】
（2）由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为： an 5 4(n 1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-54（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
课时小结
①等差数列定义。[21 世纪教育网
即 an an1 d (n≥2) ②等差数列通项公式 an a1 (n 1)d (n≥1) 推导出公式： an am (n m)d
②
1 ; 2 ; 3 ; 4 ,1,;
③
5555
新课学习
对于数列① an n （1≤n≤6）； an an1 1（2≤n≤6）
对于数列② an 12 -2n（n≥1）
an an1 2 （n≥2）21 世纪教育网
对于数列③ an
Байду номын сангаас
n 5
（n≥1）
an
an1
1 5
（n≥2）
共同特点：从第 2 项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
n 5
（n≥1）
由上述关系还可得： am a1 (m 1)d
即： a1 am (m 1)d
则： an a1 (n 1)d = am (m 1)d (n 1)d am (n m)d
如： a5 a4 d a3 2d a2 3d a1 4d
新课学习
例1： （1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是， 是第几项？
再见
新课学习
解：（1）由 a1 8, d 5 8 2 5 3 n=20，得 a20 8 (20 1) (3) 49 （2）由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为： an 5 4(n 1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-54（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
课时小结
①等差数列定义。[21 世纪教育网
即 an an1 d (n≥2) ②等差数列通项公式 an a1 (n 1)d (n≥1) 推导出公式： an am (n m)d
②
1 ; 2 ; 3 ; 4 ,1,;
③
5555
新课学习
对于数列① an n （1≤n≤6）； an an1 1（2≤n≤6）
对于数列② an 12 -2n（n≥1）
an an1 2 （n≥2）21 世纪教育网
对于数列③ an
Байду номын сангаас
n 5
（n≥1）
an
an1
1 5
（n≥2）
共同特点：从第 2 项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
n 5
（n≥1）
由上述关系还可得： am a1 (m 1)d
即： a1 am (m 1)d
则： an a1 (n 1)d = am (m 1)d (n 1)d am (n m)d
如： a5 a4 d a3 2d a2 3d a1 4d
新课学习
例1： （1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是， 是第几项？
再见
新课学习
解：（1）由 a1 8, d 5 8 2 5 3 n=20，得 a20 8 (20 1) (3) 49 （2）由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为： an 5 4(n 1)
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
=2n
当n=1时，a1=0
0
(n 1)
an 2n (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
an
0 (n 1) 2n 1 (n 2)
an＝4n 5
第15页
在某个活动中，学校为衬托节日气氛， 在200米长校园主干道一侧，从起点开始， 每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列， 迎风飘扬。问最终一面旗子会插在终点处 吗？一共应插多少面旗子？
?
03 6 9
…
200
…
第16页
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面 彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？ 若是，是第几面旗子？
?
2 5 8 11 … 80
第17页
12
3
4 n
↓↓ ↓ ↓
↓
25
8
11
↓↓ ↓ ↓
↓
3 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3n 1
an 3n 2. 令 3n 1 80 ，得n 27
第8页
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们和为12，首尾二数 积为12，求此三数.
第9页
例.已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项
解：a1=1,
1
a2
1 1
2
a4
1
2 3
5 3
13 a3 1 2 2
第7页
例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
等差数列优质说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解：∵an是等差数列，且 1＋17＝13＋5＝2×9， ∴a1＋a17＝a5＋a13＝2a9. ∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
题型二 等差数列的综合应用
【例
2】
等差数列an
的第
5 项为
5，第
10 项
为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？
答案：仍是等差数列
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
预习测评
1．在等差数列an
中，
a3，a9
是方程
2x2－x－7＝0
的两根，则 a6＝
()
1 A.2
1 B.4
C．－72
D．－74
解析：由韦达定理 a3＋a9＝12＝2a6⇒a6＝14，故选 B.
答案：B
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
2．等差数列an中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
特别注意：“数列an中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的．
3．等差数列an中，若公差 d＞0，则数列an为递 增数列；等差数列an中，若公差 d＜0，则数列an为递 减数列．
()
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
题型二 等差数列的综合应用
【例
2】
等差数列an
的第
5 项为
5，第
10 项
为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？
答案：仍是等差数列
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
预习测评
1．在等差数列an
中，
a3，a9
是方程
2x2－x－7＝0
的两根，则 a6＝
()
1 A.2
1 B.4
C．－72
D．－74
解析：由韦达定理 a3＋a9＝12＝2a6⇒a6＝14，故选 B.
答案：B
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
2．等差数列an中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
特别注意：“数列an中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的．
3．等差数列an中，若公差 d＞0，则数列an为递 增数列；等差数列an中，若公差 d＜0，则数列an为递 减数列．
()
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
等差数列名师大课堂获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
8844.43米
高度(km) 1
2
3
45
…
减少6.5
9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2
…
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在（ ） 内填上适宜的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）. ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. (3) 1，4，7，10，（13 ），16，… (4) 2， 0， -2， -4， -6，（-8 ）…
在过去的三百 数年里，人们 分别在下列时 间里观察到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
主持人问: 近来的时间什么时 候能够看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左 右。
普通状况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表预计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
练一练
1.课本第39页 1 2.-2与10的等差中项为—————— 3.在等差数列{an}中,已知a3=21 ，a8=36 ,求通项公
式an 。
课堂小结
本节课学习的重要内容： 1.等差数列的定义； 2.等差中项的定义； 3.求等差数列通项公式。
课外作业
课本第40页A组 第1题
解得 n 100
例2 在等差数列an中，已知a5 10, a12 31,求： 数列an 的通项公式。
解：由题意得：
a1 4d 10 a1 11d 来自1解得：a1 2, d 3
等差数列的性质公开课PPT课件
};
(2
){an
2
};
(3
1 ){
an
};
(4){an
an1};
(5){a2k1}
第15页/共26页
第16页/共26页
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
第17页/共26页
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
第25页/共26页
感谢您的观看！
第26页/共26页
C．2
D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋ c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
第23页/共26页
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围． 错解：设an的公差为 d，第 n 项为 an，则 a9
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
公式2
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
《等差数列》PPT课件(公开课)
13
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a10.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12.
解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
2
2
2
2
公差d= 1
2H
6
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若
不是，说明理由？
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由？ 公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理 由？
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的 差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以 是正数，负数，也可以为0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
H
5
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
推导等差数列通项公式的方法：累加法
拓展与延伸
0，1，0，1，0，1，0，1，… ；
2，1，2，1，2，1，2，1，… ； 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等和数列。
高阶等差数列
… … … … … … … … … … … … n阶等差数列
④这个数列有多少项在2001到2014之间？
(2) 3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,
(3) 1 , 2 , 3 , 4 ,1 , 5555
an n 4 an n / 5
(4) 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,
an 2
等差中项
在如下的两个数之间，插入一个数，使得其成
等差数列：
(1) 2, ___3_, 4 ;
等差数列通项公式的推导
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a1=a1+0d a2=a1+d a3=a2+d =a1+2d a4=a1+3d 不完全归纳法
……
an=a1+(n-1)d 由此得到通项公式为：
an=a1+(n-1)d
等差数列通项公式的推导
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
函数特征
an=dn+(a1-d)
y=dx+c
10 （1）数列：-2，0，2●，4，6，8， 9 1
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
10 （2）数列：7，4，1，-2，…
9 8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 （3）数列：4，4，4，4，4，4， 9 4，…
an an1 d(n 2)
等差数列的历史
1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯 纸草上就记载着等差数列：
10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前 一人少1/8
春秋至战国时代楚国的铜环权：
公元5世纪《张邱建算经》记载着各种等差数列问题： 今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三 钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？
①若{an }为等差数列，求 an .
②
若
{
1 an
}为等差数列，求
an
.
小结提炼
定义：从都等第于2项同起一，个每常一数项与它的前一项的差
等差数列 公差：d an1 an an an1(n 2) 通项公式：an a1 (n 1)d ,an am (n m)d
等差中项：A a b 2
8
7 6
5
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【例1】指出下列等差数列的首项和公差，并求出通
项公式：
(1) 1 ,4 ,7 ,10 ,13 ,
an 3n 2
①求这个数列的第2014项
②若 bn 2an 1, 求 b2014
③ 2014是不是这个数列的项？
1，2，5，11，21，36，57 85 … ；三阶等差数列
1，3，6，10，15，21，28… ； 二阶等差数列
23 4 5 6 7
一阶等差数列
等差数列（一）
观察下列各数列，找找它们共同的特点：
⑴ 鞋的尺码，按照国家规定，有 23, 23.5, 24, 24.5, 25, 25.5, ;
⑵ 2014年3月日历表中星期五的日期为
7, 14, 21, 28; ⑶ 半径为正整数的圆的周长从小到大排列为
2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,12 ,14 , ;
(2) 12, __1_23_, 1 ;
4
(3) 2 , __3__, 2 ; 3
ab (4) a, __2__, b .
若三个数 a, A,b 成等差数列，则把 A 叫
做 a 和 b 的等差中项，且有A a b
2
【例2】 1）在1与7之间顺次插入三个数使这五个数成 等差数列，求此数列。
2）等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5， -10a-1，则该数列的通项公式
a2-a1=d （1）
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
（2） （3）
an-an-1=d（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：an-a1=（n-1）d
等差数列的通项公式： an=a1+（n-1）d
等差数列通项公式
a1 、d 、an、n
知三求一
推广
an=a1+(n-1)d
an=am+ (n-m)d
【例3】已知数列的通项公式是 an 6n问这1,个数列是不是
等差数列？若是，首项和公差分别是多少？
练3：已知数列{an满}, 足 a1 1, an 则 an1 4, a10 ____ .
判定和证明等差数列的依据
an1 an d
an an1 d(n 2)
an dn c
【例4】已知数列{an，} 并且 a3 2 1,a5 2 1,
× 1, 3, 5, 7, 12;
同一常数
× 1, 3, 4, 5, 6, 7;
第二项起
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列。 判断或证明等
差数列的依据
这个常数叫做等差数列的公差，一般用 d 表示。
符号语言表示 an1 an d
问题辨析
判断下列数列是否为等差数列?若是，则公差是多 少?若不是，说明理由
（1）1，3，5，7，9，11； d 2
（2）6，4，2，0, -2, -4； d 2
（3）a，a，a，…；
d 0
（4）a，2a，3a，4a,…，（a为常数）；d a
（归5纳）：0，1，0，1，0，1； 不是 （1、6）公1差0可，以20是，正40数，，6负0，数8，0也；不可是以是0！ 2、d>0时递增，d<0时递减，d=0时为常数列
拓展与延伸
0，1，0，1，0，1，0，1，… ；
2，1，2，1，2，1，2，1，… ； 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等和数列。
高阶等差数列
… … … … … … … … … … … … n阶等差数列
④这个数列有多少项在2001到2014之间？
(2) 3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,
(3) 1 , 2 , 3 , 4 ,1 , 5555
an n 4 an n / 5
(4) 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,
an 2
等差中项
在如下的两个数之间，插入一个数，使得其成
等差数列：
(1) 2, ___3_, 4 ;
等差数列通项公式的推导
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a1=a1+0d a2=a1+d a3=a2+d =a1+2d a4=a1+3d 不完全归纳法
……
an=a1+(n-1)d 由此得到通项公式为：
an=a1+(n-1)d
等差数列通项公式的推导
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
函数特征
an=dn+(a1-d)
y=dx+c
10 （1）数列：-2，0，2●，4，6，8， 9 1
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
10 （2）数列：7，4，1，-2，…
9 8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 （3）数列：4，4，4，4，4，4， 9 4，…
an an1 d(n 2)
等差数列的历史
1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯 纸草上就记载着等差数列：
10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前 一人少1/8
春秋至战国时代楚国的铜环权：
公元5世纪《张邱建算经》记载着各种等差数列问题： 今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三 钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？
①若{an }为等差数列，求 an .
②
若
{
1 an
}为等差数列，求
an
.
小结提炼
定义：从都等第于2项同起一，个每常一数项与它的前一项的差
等差数列 公差：d an1 an an an1(n 2) 通项公式：an a1 (n 1)d ,an am (n m)d
等差中项：A a b 2
8
7 6
5
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【例1】指出下列等差数列的首项和公差，并求出通
项公式：
(1) 1 ,4 ,7 ,10 ,13 ,
an 3n 2
①求这个数列的第2014项
②若 bn 2an 1, 求 b2014
③ 2014是不是这个数列的项？
1，2，5，11，21，36，57 85 … ；三阶等差数列
1，3，6，10，15，21，28… ； 二阶等差数列
23 4 5 6 7
一阶等差数列
等差数列（一）
观察下列各数列，找找它们共同的特点：
⑴ 鞋的尺码，按照国家规定，有 23, 23.5, 24, 24.5, 25, 25.5, ;
⑵ 2014年3月日历表中星期五的日期为
7, 14, 21, 28; ⑶ 半径为正整数的圆的周长从小到大排列为
2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,12 ,14 , ;
(2) 12, __1_23_, 1 ;
4
(3) 2 , __3__, 2 ; 3
ab (4) a, __2__, b .
若三个数 a, A,b 成等差数列，则把 A 叫
做 a 和 b 的等差中项，且有A a b
2
【例2】 1）在1与7之间顺次插入三个数使这五个数成 等差数列，求此数列。
2）等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5， -10a-1，则该数列的通项公式
a2-a1=d （1）
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
（2） （3）
an-an-1=d（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：an-a1=（n-1）d
等差数列的通项公式： an=a1+（n-1）d
等差数列通项公式
a1 、d 、an、n
知三求一
推广
an=a1+(n-1)d
an=am+ (n-m)d
【例3】已知数列的通项公式是 an 6n问这1,个数列是不是
等差数列？若是，首项和公差分别是多少？
练3：已知数列{an满}, 足 a1 1, an 则 an1 4, a10 ____ .
判定和证明等差数列的依据
an1 an d
an an1 d(n 2)
an dn c
【例4】已知数列{an，} 并且 a3 2 1,a5 2 1,
× 1, 3, 5, 7, 12;
同一常数
× 1, 3, 4, 5, 6, 7;
第二项起
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列。 判断或证明等
差数列的依据
这个常数叫做等差数列的公差，一般用 d 表示。
符号语言表示 an1 an d
问题辨析
判断下列数列是否为等差数列?若是，则公差是多 少?若不是，说明理由
（1）1，3，5，7，9，11； d 2
（2）6，4，2，0, -2, -4； d 2
（3）a，a，a，…；
d 0
（4）a，2a，3a，4a,…，（a为常数）；d a
（归5纳）：0，1，0，1，0，1； 不是 （1、6）公1差0可，以20是，正40数，，6负0，数8，0也；不可是以是0！ 2、d>0时递增，d<0时递减，d=0时为常数列