第三章 回归分析预测方法
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第三章 回归分析预测法
(3)46
步骤：
(3)47
(3)48
(3)49
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 0 1 1 ˆ X 11 X 12 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k1 X k 2
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
5160.3 5425.1 5854.0 6280.0 6859.6 7702.8 8472.2
46.6 44.7 42.1 39.4 38.2 37.7 37.1
(3)20
(3)21
(3)22
三、一元线性回归模型的检验
进行预测是建立回归模型的目的， 只有当所建立的回归模型是正确的、显 著有效的时，才可以利用它来进行经济 预测
(3)7
• 回归分析(regression analysis)是研究一个变量 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算 方法和理论。 • 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计 和（或）预测前者的（总体）均值。
• 两类变量；
–被解释变量（Explained Variable）或应变量 （Dependent Variable）。
上式称为样本回归方程又称为经验方程315二一元线性回归模型参数的估计316317根据微积分中求极值的原理对上式中的求偏导并令其为零得到如下方319例31以我国城市居民家庭人均可支配收入和恩格尔系数的关系为例说明回归模型参数的估计方法资料见下表320年份人均可支配收入xi恩格尔系数yi年份人均可支配收入xi恩格尔系数yi198913739545199751603466199015102542199854251447199117006538199958540421199220266530200062800394199325774503200168596382199434962500200277028377199542830501200384722371199648389488321322323进行预测是建立回归模型的目的只有当所建立的回归模型是正确的显著有效的时才可以利用它来进行经济预测324经济检验是检验估计出来的参数的符号大小是否与经济理论和实际经验相符合即是否具有经济意义
回归分析预测方法
（3）
i 1
i 1
i 1
即对（3）求极值，有：
Q
n
a
2 ( yi
i 1
a bxi ) 0
（4）
Q
b
2
n i 1
( yi
a
bxi )xi
0
（5）
n
n
n
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1
i 1
i 1
（6）
n
n
n
由（5）得： xi yi axi xibxi 0 xi yi a xi b xi2 （7）
有数值对应关系的确定依存关系。换句话说，当 自变量的确定值为x，与其对应值为y。这是回归 分析法预测的前提。 ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关分析的主 要目的和主要内容。 3、建立回归预测模型
就是依据变量之间的相关关系，用恰当的数 学表达式表示出来。
4、回归方程模型检验 建立回归方程的目的是预测，但方程用于预测
第一节 回归分析预测法概述
回归分析预测法是在分析因变量与自变量之间的相互关 系，建立变量间的数量关系近似表达的函数方程，并进行参 数估计和显著性检验以后，应用回归方程式预测因变量变化 的方法。回归分析预测法是市场预测的基本方法，目前，这 种方法发展的很成熟了，回归预测方法种类繁多，按回归方 程的变量分，有一元、多元回归方程；按回归性质分有线性、 非线性回归等。本章专门讨论一元和二元线性回归问题。
回归分析起源于生物学的研究。英国的著名生物学 家达尔文在19世纪末，发现了一个非常有趣的现象，父 亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其子也 比较矮小。即父亲的身高与儿子的身高之间有密切的关 系。在大量的研究资料中，又发现身高有一种向平均身 高回归的倾向，这种身高倾向平均数的现象称为回归 （Regression）。经济学家经研究发现，生物界的这种 现象，在经济领域中也存在这种现象，例如，证券市场 的任何一支股票，无论是牛市或熊市股票的价格都向着 平均价格回归。也正因为如此，回归分析在许多领域中 都得到了广泛的应用，并且取得了很好的效果。
回归分析预测法
由lyy = U+Q推出Q = （1—R2） lyy 其中R称为相关系数。 当R=0为不相关，R →+1为强正相关， R→-1为 强负相关
14
这样，通过研究相关系数R，可作出两个因素之 间是否具有线性相关关系，且能判其相关程度。
相关程度的显著与不显著（即使相关性强，但某 因素对另一因素的影响不大，即不显著，那么这种因 素也是不重要的）有一个具体界限，这是R检验。
31
一. 指数曲线 y = a bx ( b>0) 取自然对数 ㏑y = ㏑a + x ㏑b 令 Y = ㏑y,A = ㏑a,B = ㏑b 则 Y = A + Bx 就构成一元线性方程。
利用原始数据 xi 及yi 求出 ㏑yi ，根据一元线性
回归公式，可以得到回归系数A，B。 同时考虑到A = ㏑a，a = eA
2
2.回归分析 研究变量之间的互相关系，把其中一些因素作为 控制的变量，而把另一些随机变量作为因变量，利用 适当的数学模型尽可能趋向于趋势变化的均值描述它 们的关系的分析，称为回归分析。 即假定 y 与 x 相关，应有 y = f ( x )
若 x1,x2, ‥‥‥ xn个变量影响y，应有 y = f (x1,x2, ‥‥‥xn)
27
2.若当日股价沿移动平均值前进，则BIAS在0值附近， 股价运行轨道不变，---------考虑继续持仓或减仓操作，
3.BIAS的数值表明了股价与市场平均成本的盈利或亏
损的百分比，即大多数投资者所据有的盈利或亏损空 间。
投资策略：
短线BIAS(5)
-3 ～ -5 +3 ～ +5
为买入时机 为卖出时机
5
二.方法分类 线性
一元 非线性
14
这样，通过研究相关系数R，可作出两个因素之 间是否具有线性相关关系，且能判其相关程度。
相关程度的显著与不显著（即使相关性强，但某 因素对另一因素的影响不大，即不显著，那么这种因 素也是不重要的）有一个具体界限，这是R检验。
31
一. 指数曲线 y = a bx ( b>0) 取自然对数 ㏑y = ㏑a + x ㏑b 令 Y = ㏑y,A = ㏑a,B = ㏑b 则 Y = A + Bx 就构成一元线性方程。
利用原始数据 xi 及yi 求出 ㏑yi ，根据一元线性
回归公式，可以得到回归系数A，B。 同时考虑到A = ㏑a，a = eA
2
2.回归分析 研究变量之间的互相关系，把其中一些因素作为 控制的变量，而把另一些随机变量作为因变量，利用 适当的数学模型尽可能趋向于趋势变化的均值描述它 们的关系的分析，称为回归分析。 即假定 y 与 x 相关，应有 y = f ( x )
若 x1,x2, ‥‥‥ xn个变量影响y，应有 y = f (x1,x2, ‥‥‥xn)
27
2.若当日股价沿移动平均值前进，则BIAS在0值附近， 股价运行轨道不变，---------考虑继续持仓或减仓操作，
3.BIAS的数值表明了股价与市场平均成本的盈利或亏
损的百分比，即大多数投资者所据有的盈利或亏损空 间。
投资策略：
短线BIAS(5)
-3 ～ -5 +3 ～ +5
为买入时机 为卖出时机
5
二.方法分类 线性
一元 非线性
第三章回归分析基本方法：最小二乘法
回归分析是研究因变量与自变量关系的一种统计方法，其中最小二乘法是参数估计的重要技术。在建立理论模型时，我们首先要确定研究的问题即因，运用最小二乘法进行参数估计，以最小化残差平方和为目标，求解回归系数。这一过程旨在找到最能代表数据关系的直线，从而揭示因变量随自变量变化的规律。文档还通过实例演示了最小二乘法的具体应用，展示了其在经济学等领域的实用价值。需要注意的是，在建立模型时，我们要合理取舍解释变量，确保模型的准确性和解释力。总之，最小二乘法作为回归分析的核心工具，为我们提供了一种科学、有效的数据分析方法。
15368可编辑ppt11假设检验中的两类错误检验决策错误第一类错误弃真错误后果往往较为严重出现第一类错误的概率为等于显著性水第二类错误存伪错误出现第二类错误的概率为可编辑ppt12实际情况实际情况h0为真h0为假决策不拒绝正确错误不拒绝第二类错误拒绝错误正确拒绝第一类错误检验能可编辑ppt13第三章回归分析的基本方法
15368可编辑ppt11假设检验中的两类错误检验决策错误第一类错误弃真错误后果往往较为严重出现第一类错误的概率为等于显著性水第二类错误存伪错误出现第二类错误的概率为可编辑ppt12实际情况实际情况h0为真h0为假决策不拒绝正确错误不拒绝第二类错误拒绝错误正确拒绝第一类错误检验能可编辑ppt13第三章回归分析的基本方法
资金需要量预测的回归分析预测法--注册税务师考试辅导《财务与会计》第三章讲义2
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注册税务师考试辅导《财务与会计》第三章讲义2
资金需要量预测的回归分析预测法
（二）资金需要量预测的回归分析预测法
资金需要量的回归分析预测法是假定资金需要量与销售额之间存在线性关系，然后根据历史资料，用最小二乘法确定回归直线方程的参数，利用直线方程预测资金需要量的一种方法。
其预测模型为： y ＝a ＋bx 式中：
y ——资金需要量 x ——销售额
a ——固定的资金需要量（即不随销售额增加而变化的资金需要量）
b ——变动资金率（即每增加1元的销售额需要增加的资金） 参数a 、b 的公式为：
式中 , 为x 和y 的平均值，即：
［例3］（教材P41）某企业20×7～2×12年6年的销售额及资金需要量如表3－5所示。
该企业的生产较稳定，若2×13企业计划销售额为500万元，利用回归分析预测法预测企业2×13年的资金需要量。
表3－5 单位：万元
利用回归分析法，假设资金需要量（y ）与销售额（x ）之间存在线形关系： y ＝a ＋bx
利用表3－6可以计算：
表3－6 单位：万元
[答疑编号6312030107] 『正确答案』
a ＝1480/6－0.49×2800/6＝18 即：y ＝18＋0.49x
当2×13年的销售额为500万元时，资金需要量为：。
03第三章 回归分析预测法
ˆ ˆ x )2 ˆi ) 2 ( yi Q ei2 ( yi y 0 1 i
第三章>>第一节
二、一元线性回归模型参数的估计
根据微分学求极值的原理，对上式求偏导，并令其为 零 得方程组:
yi n 0 1 xi 2 xi yi 0 xi 1 xi
即哪个或哪些是被解释变量哪个或哪些是解释变量将影响研究对象的最主要的定量的经常发生作用的有数据支持的因素作为解释变量纳入模型之中并确定解释变量和被解释变量之间的变动方向解释变量之间相关性研究建模用于经济结构分析时选用恰当的统计指标慎重使用虚拟变量4确定模型的数学形式依据数理经济理论由散点图相关图趋势图观察样本数据变动模式
随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
2
1
随机误差项 建立的数学模型 的形式不够完善
3
的影响因素
测量误差
5 4
经济变量之间的 合并误差
第三章>>第一节
一、一元线性回归模型的建立
• （二）随机误差项的意义和标准假定
– 随机误差项u是无法直接观测的，为了进行回归分析， 通常设其满足以下标准假定： – 古典线性回归模型（classical linear regression model,CLRM）基本假定： 1. 零均值假定：u i 的期望为0，即：
• 一致性：随着样本量的增大，估计量的 • 值越来越接近被估计的总体参数
ˆ) P(
较大的样本量
B A
较小的样本量
ˆ
最小方差性证明略。
第三章>>第一节
三、一元线性回归模型的检验
• （一）经济检验
预测与决策-回归分析预测法
17
一般值
|r|≥0.8，高度相关 0.8﹥|r|≥0.５，中度相关 0.5﹥|r|≥0.3，低度相关 0.３﹥|r|，不相关
注意事项
①r值很小，说明X与Y之间没有线性相 关关系，但并不意味着X与Y之间没有其 它关系，如很强的非线性关系。 如y=-x2+12x+4
②直线相关系数一般只适用于测定变量 间的线性相关关系，若要衡量非线性相 关时，一般应采用相关指数R。
xy nx y
x2 n(x)2
y2 n( y)2
xy x y (其中xy= xy )
x y
n
14
题目
15
编号 X
Y
X2
1 2 3 ……
合计
9 10 12 ……
339
1000 1100 1050 ……
30800
81 100 144 ……
6029
Y2
1000000 1210000 1102500 ……
社会的生产量与消费量，这时对何者为自变 量，何者为因变量就要根据研究目的来决定。 如果希望研究生产量的变化怎样影响消费量 的变化，则可将生产量定为自变量，消费量 定为因变量，反之亦然。
“你的头发怎么一天比一天少？”
“因为我天天都有忧虑的事。”
“你每天都忧虑什么呢？”
36
“我忧虑我的头发一天比一天少！”
R2 SR ST SE 1 SE
ST
ST
ST
R2 (YC Y )2 1 (Y YC )2
(Y Y )2
(Y Y )2
47
四、回归模型显著性检验
在上面的分析中，为了求得回归方程，我们曾假定x与y之 间存在着线性关系。在求得回归方程后，我们必须对这一 假定进行检验，以确定x与y是否的确存在线性关系。 经济理论检验 统计检验
一般值
|r|≥0.8，高度相关 0.8﹥|r|≥0.５，中度相关 0.5﹥|r|≥0.3，低度相关 0.３﹥|r|，不相关
注意事项
①r值很小，说明X与Y之间没有线性相 关关系，但并不意味着X与Y之间没有其 它关系，如很强的非线性关系。 如y=-x2+12x+4
②直线相关系数一般只适用于测定变量 间的线性相关关系，若要衡量非线性相 关时，一般应采用相关指数R。
xy nx y
x2 n(x)2
y2 n( y)2
xy x y (其中xy= xy )
x y
n
14
题目
15
编号 X
Y
X2
1 2 3 ……
合计
9 10 12 ……
339
1000 1100 1050 ……
30800
81 100 144 ……
6029
Y2
1000000 1210000 1102500 ……
社会的生产量与消费量，这时对何者为自变 量，何者为因变量就要根据研究目的来决定。 如果希望研究生产量的变化怎样影响消费量 的变化，则可将生产量定为自变量，消费量 定为因变量，反之亦然。
“你的头发怎么一天比一天少？”
“因为我天天都有忧虑的事。”
“你每天都忧虑什么呢？”
36
“我忧虑我的头发一天比一天少！”
R2 SR ST SE 1 SE
ST
ST
ST
R2 (YC Y )2 1 (Y YC )2
(Y Y )2
(Y Y )2
47
四、回归模型显著性检验
在上面的分析中，为了求得回归方程，我们曾假定x与y之 间存在着线性关系。在求得回归方程后，我们必须对这一 假定进行检验，以确定x与y是否的确存在线性关系。 经济理论检验 统计检验
回归分析预测方法
7
.
回归分析预测法
一、回归预测的一般步骤 （一）回归分析预测法的具体步骤 1、确定预测目标和影响因素 2、进行相关分析
r (x x )( y y) (x x)2 (y y)2
2
.
相关系数的取值范围为：，-1≤r≤1即 ≤r 1。当变量与呈线性相关时， 越r接近l， 表明变量间的线性相关程度愈高； 越r 接近0，表明变量间的线性相关程度愈 低。r>0表明为正相关，r<0表明为负相 关。
5
.
5、进行实际预测 运用通过检验的回归方程，将需要预测的自变量x代入方程并计 算，即可取得所求的预测值。 预测通常有两种情况，一是点预测，就是所求的预测值为一个 数值；另一是区间预测，所求的预测值有一个数值范围。通常 用正态分布的原理测算其估计标准误差，求得预测值的置信区 间。
6
.
二、一元线性回归预测方法 （一）一元线性回归预测的含义 （二）一元线性回归预测的实例
3
.
3、建立回归预测模型 线性回归方程的一般表达式为：
y a b1x1 b2 x2 bn xn
当线性回归只有一个自变量与一个因变量间的回归，称为 一元线性回归或简单线性回归、直线回归，可简写为：
y a bx
4
.
4、回归预测模型的检验 建立回归方程的根本目的在于预测，将方程用于预测之 前需要检验回归方程的拟合优度和回归参数的显著性， 只有通过了有关的检验后，回归方程方可用于经济预测， 常用的检验方法有相关系数检验、F检验、t检验和D—w 检验等。
.
回归分析预测法
一、回归预测的一般步骤 （一）回归分析预测法的具体步骤 1、确定预测目标和影响因素 2、进行相关分析
r (x x )( y y) (x x)2 (y y)2
2
.
相关系数的取值范围为：，-1≤r≤1即 ≤r 1。当变量与呈线性相关时， 越r接近l， 表明变量间的线性相关程度愈高； 越r 接近0，表明变量间的线性相关程度愈 低。r>0表明为正相关，r<0表明为负相 关。
5
.
5、进行实际预测 运用通过检验的回归方程，将需要预测的自变量x代入方程并计 算，即可取得所求的预测值。 预测通常有两种情况，一是点预测，就是所求的预测值为一个 数值；另一是区间预测，所求的预测值有一个数值范围。通常 用正态分布的原理测算其估计标准误差，求得预测值的置信区 间。
6
.
二、一元线性回归预测方法 （一）一元线性回归预测的含义 （二）一元线性回归预测的实例
3
.
3、建立回归预测模型 线性回归方程的一般表达式为：
y a b1x1 b2 x2 bn xn
当线性回归只有一个自变量与一个因变量间的回归，称为 一元线性回归或简单线性回归、直线回归，可简写为：
y a bx
4
.
4、回归预测模型的检验 建立回归方程的根本目的在于预测，将方程用于预测之 前需要检验回归方程的拟合优度和回归参数的显著性， 只有通过了有关的检验后，回归方程方可用于经济预测， 常用的检验方法有相关系数检验、F检验、t检验和D—w 检验等。
回归预测方法
1988
655
232
151960
53824
429025
1989
704
202
42208
40804
495616
合计
4720
1167
600566
175661
2190104
试配合适当的回归模型并进行显著性检验；若1990年该省回定资产投资完成额 为249亿元，当显著性水平α＝0.05时，试估计1990年国内生产总值的预测区间。
合计
2746
2964
1735
885986 301765 51682 821058 478
经济预测与决策方法
用接线性相关拟合回归预测模型。如果次年该所经费预算定为380万元， 科技人员增加到200人，预测其收入可能达到多少？
根据题意要求，此二元线性回归预测模型为：
Yˆ b0 b1 b2 X 2
7
289
311
178
96721 31684 55358 89879 51441
8
298
318
181
101124 32761 57558 94764 5393
9
304
327
184
106929 33856 60168 99408 559
10
310
341
ห้องสมุดไป่ตู้187
116281 34969 63767 108438 594
( yi yˆi )2
n2
经济预测与决策方法
实例
一元线性回归模型计算表
年份
国内生产总值y
固定资产投资完成额x
xy
单位亿元
x2
y2
计量地理学第三章——2 回归分析
例1
一元线性回归方法的基本公式为：
y a bx
式中：a，b为待定参数，其表达式如下：
b Lxy Lxx
n i 1
xi yi
1 n
n
(
i 1
xi )(
n i 1
n i 1
xi2
1 n
n
(
i 1
xi )2
yi )
a y bx
变差 来源 回归
误差
总和
平方和
自由度
n
SSR (Yˆi Y )2
地区编号 1 2 3 4 5 6 7 8
月平均销售收 入（万元）y
31
40
30
34
25
20
35
40
月平均广告支 出（万元）x
5 10 5
7
4
3
7
9
要求：对于不同的月平均广告支出预测月平均销售收入
解:由计算结果可知，回归方程为
SST=338.875 SSR=314.532 SSE=24.343
Y 14.669 2.753X
因此，对于不同的月平均广告支出，其月平均销售收入的预测 结果如下：单位：万元
月平均广告支出 平均收入的点预测 平均收入的区间预测
6
31.187
（25.956，36.418）
8
36.693
（31.296，42.090）
12
47.705
（40.872，54.538）
直线回归、相关分析的注意事 项：
1）相关分析只是以相关系数来描述两个变量间线性相关 的程度和方向，并不阐明事物间存在联系的本质，也不是两事 物间存在联系的证据。要阐明两事物间的本质联系，必须凭专 业知识从理论上加以论证。因此，把两个毫无关系的事物放在 一起作相关分析是毫无意义的。同样，回归分析也要有实际意 义。
回归分析预测方法
回归分析预测方法回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的观测数据。
在回归分析中，自变量被用来解释因变量的变化，并且可以使用回归方程来预测因变量的值。
回归分析有多种类型，例如简单线性回归、多元线性回归、多项式回归以及非线性回归等。
其中，简单线性回归是最简单且最常用的回归模型之一、它假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用一条直线来拟合数据。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X+ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归是简单线性回归的扩展，它允许多个自变量来预测因变量。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中n是自变量的数量。
多项式回归适用于自变量和因变量之间的关系非线性的情况。
通过将自变量的幂次添加到回归方程中，可以通过拟合曲线来逼近数据。
非线性回归适用于因变量和自变量之间的关系不能通过简单的线性模型来解释的情况。
这种情况下，可以使用其他函数来拟合数据，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
在进行回归分析之前，需要满足一些假设。
首先，自变量和因变量之间需要存在一定的关系。
其次，误差项需要满足正态分布和独立性的假设。
最后，自变量之间应该有一定的独立性，避免多重共线性的问题。
回归分析的步骤通常包括数据收集、数据预处理、模型建立、模型评估和模型使用等。
在数据收集和预处理阶段，需要收集并整理自变量和因变量的数据，并对数据进行处理，如缺失值处理和异常值处理等。
在模型建立阶段，需要根据问题的背景和数据的特点选择适当的回归模型，并使用统计软件进行参数估计。
在模型评估阶段，需要对模型进行检验，如检验回归系数的显著性、残差分析和模型的拟合程度等。
最后，在模型使用阶段，可以使用回归方程来预测未来的观测数据，或者进行因素分析和结果解释等。
回归分析预测方法的应用广泛，并且被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会科学以及医学等。
第3章回归预测法
第三章 回归预测法 第一节 一元线性回归预测法一元线性回归预测法是指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋势时，采用适当的计算方法，找到两者之间特定的经验公式，即一元线性回归模型，然后根据自变量的变化，来预测因变量发展变化的方法。
一、建立模型一元线性回归模型可表述为：i i i u x b b y ++=10，n i ,,1 =。
其中0b 、1b 是未知参数；i u 为剩余残差（或随机扰动）二、估计参数 三、进行检验 一元线性回归模型：⎩⎨⎧=++=.),0(...;,,1,210σN d i i u n i u x b b y ii i i 诸 ㈠标准误差∑=∧--=-==n i ii y y n n SSE MSE SE 12)(212 ㈡可决系数SSTSSESST SSR y yy y y y x x y y x x R ni ini ini i n i i n i i i -==--=--⎪⎭⎫⎝⎛--=∑∑∑∑∑==∧===1)()()()())((12121212212 ㈢相关系数∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr 12121)()())((说明：可查《概率论与数理统计教程》中的相关系数的临界值表。
㈣回归系数显著性检验0H ：01=b vs 1H ：01≠b ，由于，)2(~)2()2(112211---=--∧∧n t l n SSEb b n SSEl b b xxxxσσ，所以当0H 为真时，统计量)2(~)2(1--=∧n t l n SSEb t xx。
㈤F 检验（用于对回归模型作检验）0H ：回归方程不显著 vs 1H ：回归方程显著统计量)2,1(~)2()(1)(1212-=---=∑∑=∧=∧n F MSEMSRn y yy y F ni i ini i㈥德宾－沃森统计量（W D -）（用于检验i u 之间是否存在自相关关系） 如前所述，回归模型的剩余项i u 之间应该是相互独立的。
回归分析预测方法
经济预测与决策方法讲义
3
3.1 引言—回归分析和相关分析
（2）相关关系。相关关系反映的是客观事物之间的非严格、 不确定的线性依存关系。 特点： A. 客观事物之间在数量上确实存在一定的内在联系。表现 在一个变量发生数量上的变化，要影响另一个变量也相应 地发生数量上的变化。例如劳动生产率的提高会降低成本 等等。 B. 客观事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的 随机性。表现在当一个或几个相互联系的变量取一定数值 时，与之对应的另一个变量可以取若干个不同的数值。这 种关系虽然不确定，但因变量总是遵循一定规律围绕这些 数值的平均数上下波动。
整理可得
na b xi yi
a xi b xi2 xi yi
20
经济预测与决策方法讲义
3.2 一元线性回归预测法—参数估计
回归参数的估计值为：
b
n xi y i xi y i
i 1
n
n
n
n xi2 ( xi ) 2
i 1 i 1
n
i 1 n
22
经济预测与决策方法讲义
3.2 一元线性回归预测法—相关系数
离差平方和的分解 在一元线性回归模型中，观测值 yi 的数值会发生波动，这种波动称为 变差。变差产生的原因如下： （1）受自变量变动的影响，即 x 取值不同对 y 的影响； （2）受其他因素（包括观测和实验中产生的误差）的影响。 对每一个观测值， 变差的大小可以用该观测值 yi 与其算术平均数 y 的离差 yi － y 来表示，而全部 n 次观测值的总变差可由这些离差的平 方和来表示：
联系
是研究客观事物之间相互依存关系的两个不可分割 的方面。 一般先进行相关分析，由相关系数的大小决定是否 需要进行回归分析。 相关分析中，研究的是变量之间的相互依存关系，变 量间的关系是并列的，对等的，不必确定哪个是自变 量，哪个是因变量； 回归分析中，要确定哪个是自变量，哪个是因变量。 相关分析中，所涉及的变量都可以是随机变量，各自接受随机因素的 影响；回归分析中，自变量是可以准确测量或控制的非随机变量，因 变量的取值事先不能确定，是随机变量。
3
3.1 引言—回归分析和相关分析
（2）相关关系。相关关系反映的是客观事物之间的非严格、 不确定的线性依存关系。 特点： A. 客观事物之间在数量上确实存在一定的内在联系。表现 在一个变量发生数量上的变化，要影响另一个变量也相应 地发生数量上的变化。例如劳动生产率的提高会降低成本 等等。 B. 客观事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的 随机性。表现在当一个或几个相互联系的变量取一定数值 时，与之对应的另一个变量可以取若干个不同的数值。这 种关系虽然不确定，但因变量总是遵循一定规律围绕这些 数值的平均数上下波动。
整理可得
na b xi yi
a xi b xi2 xi yi
20
经济预测与决策方法讲义
3.2 一元线性回归预测法—参数估计
回归参数的估计值为：
b
n xi y i xi y i
i 1
n
n
n
n xi2 ( xi ) 2
i 1 i 1
n
i 1 n
22
经济预测与决策方法讲义
3.2 一元线性回归预测法—相关系数
离差平方和的分解 在一元线性回归模型中，观测值 yi 的数值会发生波动，这种波动称为 变差。变差产生的原因如下： （1）受自变量变动的影响，即 x 取值不同对 y 的影响； （2）受其他因素（包括观测和实验中产生的误差）的影响。 对每一个观测值， 变差的大小可以用该观测值 yi 与其算术平均数 y 的离差 yi － y 来表示，而全部 n 次观测值的总变差可由这些离差的平 方和来表示：
联系
是研究客观事物之间相互依存关系的两个不可分割 的方面。 一般先进行相关分析，由相关系数的大小决定是否 需要进行回归分析。 相关分析中，研究的是变量之间的相互依存关系，变 量间的关系是并列的，对等的，不必确定哪个是自变 量，哪个是因变量； 回归分析中，要确定哪个是自变量，哪个是因变量。 相关分析中，所涉及的变量都可以是随机变量，各自接受随机因素的 影响；回归分析中，自变量是可以准确测量或控制的非随机变量，因 变量的取值事先不能确定，是随机变量。
第三章 回归分析预测法 《统计预测与决策》PPT课件
• 回归古典假设检验(见第四节)
残差分析; 异方差及自相关检验(DW)
24
拟合优度
• 拟合优度是指样本回归直线对观测数据 拟合的优劣程度。
• 如果全部观测值都在回归直线上，我们 就获得“完全的”拟合，但这是罕见的 情况，通常都存在一些正ei或负ei。我们 所希望的就是围绕回归直线的剩余尽可 能的小。
(基本假定)
1) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值
为E ( y ) =b 0+ b 1 x
2) 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同
3) 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且 相互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
a. 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应 的ε与其他 x 值所对应的ε不相关
y
(xn ,yn)
yˆ bˆ0 + bˆ1x
(x2 ,y2)
｝
ei = yi＾-yi
(x1 ,y1) (xi , yi)
17
x
最小二乘估计式
• 根据最小二乘准则建立样本回归函数的 过程为最小二乘估计，简记OLS估计。
• 由此得到的估计值得计算式称为最小二 乘估计式。
18
双变量线性回归模型的最小二乘估计
36
▪ 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系
所解释的变异性
多元回归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的
方差2都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
即ε~N(0,2)，且相互独立
37
多元回归方程
残差分析; 异方差及自相关检验(DW)
24
拟合优度
• 拟合优度是指样本回归直线对观测数据 拟合的优劣程度。
• 如果全部观测值都在回归直线上，我们 就获得“完全的”拟合，但这是罕见的 情况，通常都存在一些正ei或负ei。我们 所希望的就是围绕回归直线的剩余尽可 能的小。
(基本假定)
1) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值
为E ( y ) =b 0+ b 1 x
2) 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同
3) 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且 相互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
a. 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应 的ε与其他 x 值所对应的ε不相关
y
(xn ,yn)
yˆ bˆ0 + bˆ1x
(x2 ,y2)
｝
ei = yi＾-yi
(x1 ,y1) (xi , yi)
17
x
最小二乘估计式
• 根据最小二乘准则建立样本回归函数的 过程为最小二乘估计，简记OLS估计。
• 由此得到的估计值得计算式称为最小二 乘估计式。
18
双变量线性回归模型的最小二乘估计
36
▪ 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系
所解释的变异性
多元回归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的
方差2都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
即ε~N(0,2)，且相互独立
37
多元回归方程
第三章回归分析预测方法课件
第一，模型不可能包含所有的解释变量。 第二，模型的设定误差。 第三，测量误差的影响。 第四，其他随机因素的影响。
简单线性回归方程的形式为 y b0 b1x e ,
也称为直线回归方程。其中， b0是回归直线在y轴上的截距； b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位 时，y的平均变动值。
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
-1
0
1
2
x
(c)
-2
-1
0
1
2
x
(d)
y 02468
y -2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
(a)
y -2 -1 0 1 2
不相关
-3
-2
-1
0
1
2
x
(c)
y -2 -1 0 1 2
(b)
正相关
-2
-1
0
1
2
x
(d)
y 02468
y -2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
负相关
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上， 德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道， 但迟至1809年才正式发表。
简单线性回归方程的形式为 y b0 b1x e ,
也称为直线回归方程。其中， b0是回归直线在y轴上的截距； b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位 时，y的平均变动值。
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
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x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
-1
0
1
2
x
(c)
-2
-1
0
1
2
x
(d)
y 02468
y -2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
x
-3
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1
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(a)
y -2 -1 0 1 2
不相关
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x
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y -2 -1 0 1 2
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正相关
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x
(d)
y 02468
y -2 -1 0 1 2
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负相关
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上， 德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道， 但迟至1809年才正式发表。
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ˆ b0 b1x y
其中， b0是估计的回归直线在y轴上的截距，b1是直线的 斜率。
二、参数b0和b1的最小二乘估计
对例3-1中两个变量的数据进行线性回归， 就是要找到一条直线来适当地代表图中的那 些点的趋势。 用数据寻找一条直线的过程也叫做拟合 一条直线。
1200 1000 800 600 400 200 0
回本章目录
一、一元线性回归模型
一元线性回归（Linear regression），只研究一个 自变量与一个因变量之间的统计关系。 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表 示为：
y b0 b1 x e
其中，b0和b1称为模型的参数；e是随机误差项， 又称随机干扰项，有 2
e
N 0,
b 1：
b1
n xy x y n x ( x )
2 2
,
b0
y x b n
1
n
例3-2：已知某种商品的销售量同居民的可支配 收入有关，现有如下表的统计数据，试建立回归 方程，并求出相应参数的最小二乘估计值。
年份
实际可支配 收入 x（单 位：10元） 522
539
三、回归模型的种类
(1)根据自变量的多少，回归模型可以分为一元回归模 型和多元回归模型。 (2)根据模型中自变量与因变量之间是否线性，可以分 为线性回归模型和非线性回归模型。 (3)根据回归模型是否带有虚拟变量，回归模型可以分 为普通回归模型和带虚拟变量的回归模型。
应用回归分析预测需满足条件：
商品的销售 量（单位： 件） 6700
7136
年份
实际可支配 收入x（单 位：10元） 741
769
商品的销 售量（单 位：件） 8158
8683
1983
1984
1991
1992
1985
1986 1987 1988 1989 1990
577
613 644 670 695 713
7658
7784 8108 7583 8002 8442
2 3 4 5 6 7 8 9 10
厂家 1
投入
产出
20
30
40
60
20
40
30
60
10
30
10
40
20
40
20
50
20
30
30
70
3、回归分析的基本思路
回归分析是研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个普通变量(自变量)之间的数量变 动的关系。其基本思路是：从一组样本数据出 发，确定变量之间的数学关系式，对这些关系 式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某 一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响 显著，哪些不显著。然后利用所求的关系式， 根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一 个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的 精确程度。
0
-3
2
4
6
8
-2
-1
0 x
1
2
3
(a)
(b)
2
1
0
y
-1
y
-1
0
1
2
正相关
-2 -1 x 0 1 2
-2
不相关
-3
-2
-1 x
0
1
2
(c)
-2
(d)
2
1
y
0
y
-1
2
4
6
8
相关但无 线性关系
-3 -2 -1 0 x 1 2 3
-2
-2
-1
0 x
1
2
负相关
0
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
最小二乘法
离差与离差平方
ˆt 离差：et yt y
ˆt ) 0 离差和： et ( yt y
t 1 t 1 n n
12
y6
10 8
e
ˆt ) 2 离差平方和 ei ( yt y
2 t 1 t 1
n
n
ˆ6 y
6
e
最小 拟合程度最好
4 2
0 1 2 3 4 5 6 7
最小二乘原理
Hale Waihona Puke 简单讲，使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而 求得模型参数的方法。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上， 德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道， 但迟至1809年才正式发表。 最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和 其他科学研究中有广泛应用。
第一节 引言
本章学习目的与要求：
通过本章的学习，了解回归分析预测法 的概念，掌握回归分析中各系数的计算方法 及回归预测方法，能够运用Excel工具来进行 预测。
回本章目录
案例：
有20户家庭，冬天 的取暖费用与3个因素 有关：日间户外的平均 温度，阁楼绝缘层的厚 度，以及炉子的使用年 数。如果某一家庭的平 均户外温度是F30度， 阁楼绝缘层的厚度为5 英寸，炉子已使用过10 年，它的冬天取暖费用 为多少？
设有两个变量x和y，y与x一起变化并完全依 赖于x，当x取某个数值时，y依确定的关系取 相应的值，则称y是x的函数，记作y=f(x)。 如，企业的原材料消耗金额y与产量x1、单位 产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示 为y=x1x2x3。例：圆面积对于半径的依存关 系，正方形的面积对于边长的依存关系等等。 变量间的函数关系是一一对应的确定关系。
1993
1994 1995 1996 1997 1998
801
855 842 860 890 920
9317
9675 8542 8584 9612 9719
第一步：绘制散点图
10000 9500
二、回归分析和相关分析
1、变量之间的关系 现实世界中，每一事物都与它周围的事 物相互联系、相互影响，反映客观事物运动 的各种变量之间也就存在着一定的关系。变 量之间的关系可以分成两类：函数关系和相 关关系。
（1）函数关系。函数关系反映客观事物之 间存在着严格的依存关系，是一种确定 性关系，亦即当其它条件不变时，对于 某一自变量或几个自变量的每一数值， 都有因变量的一个的确定值与之相对应， 并且这种关系可以用一个确定的数学表 达式反映出来。
相关分析 事物之间相互依存关系的两个不可分割的方面。在 联 实际工作中，一般先进行相关分析，由相关系数的 大小决定是否需要进行回归分析。在相关分析的基 系 回归分析 础上建立回归模型，以便进行推算、预测。
相关分析
相关关系 完全相关(R=±1) (即线性相关) 正相关 负相关
线性相关
非线性相关
不相关(R=0)
正相关
负相关
相关系数——对变量之间关系密切程度的度量
r
( x x )( y y ) ( x x ) * ( y ) ( y )
i i 2 2 i i i
2
完全相关 /完全正相关 /完全负相关 /不存在线性相关关 系 /负相关 /正相关 一般，︱r︱＞0.7为高度相关；︱r︱＜0.3为低度相关； 0.3＜ ︱r︱＜0.7 为中度相关。
设简单线性回归模型 y b0 b1 x e 中， b0和b1是b0和b1 的估计值。则y的估计值用 y ˆ b0 b1x 表示。 我们要求出这样的待估参数b0和b1，使因变量的观察值与估 计值之间的离差平方和达到最小，即使 2 2 Q yi y e i2 yi b0 b1 x 极小。为此，分别 求Q对b0和b1的偏导，就可以求出符合要求的待估参数b0和
（2）相关关系
相关关系。反映事物之间的非严格、不确定的线性依存
关系。有两个显著的特点： ①事物之间在数量上确实存在一定的内在联系。表现在一 个变量发生数量上的变化，要影响另一个变量也相应地 发生数量上的变化。 例： 劳动生产率 成本 ②事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的随机 性。表现在给定自变量一个数值，因变量会有若干个数 值和它对应，并且因变量总是遵循一定规律围绕这些数 值平均数上下波动。其原因是影响因变量发生变化的因 素不止一个。 例：影响工业总产值的因素除了职工数外，还有固定资产 原值、流动资金和能耗等因素。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之
间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与
其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
相关分析 研究变量都是随机变量，不分自变量与因变量
区 别
回归分析
明确的自变量和因变量，自变量是确定的普通变量， 因变量是随机变量。
例如：
施肥量
农作物亩产量 降雨量 气温
在研究某一社会经济现象的发展变化 规律时，经过分析可以找到影响这一现 象变化的原因。在回归分析中，把某一 现象称为因变量，它是预测的对象，把 引起这一现象变化的因素称为自变量， 它是引起这一现象变化的原因。而因变 量则反映了自变量变化的结果。
回归分析预测方法就是从各种经济 现象之间的相互关系出发，通过对与预 测对象有联系的现象变动趋势的分析， 推算预测对象未来状态数量表现的一种 预测方法。
1.数据量不能太少（以多于20个较好）； 2.预测对象与影响因素之间必须存在相关关系；
第二节 一元线性回归预测法