核医学仪器与方法_迭代算法

FOV
pL

L
f ( x, y )dl
迭代算法眼中的世界
离散图像->离散投影数据
pj
fi
f ( x, y ) f i p j
投影: 图像像素值的加权线性组合
FOV
X
pj
c
i
ij i
f
解析类重建方法
投影:
Y
pL

L
f ( x, y )dl
L
f ( x, y)
X
重建: 滤波反投影算法，…
f
ML-EM 算法
ML-EM 算法 = 极大似然(Maximum Likelihood)代价函数 + 期望最大化（Expectation Maximization) 优化算法 极大似然代价函数：
( f ) p j log ci j fi ci j fi
j



i
i

j j
pj e
pj
pj
pj !
高斯噪声模型：
p j ci j f i ,
i
Gaussian( p j ), E ( p j ) Variance( p j ) p j ci j f i
i
g( p j | f )
( p j p j )2 exp 2 2 j
选择合适的噪声模型
泊松噪声模型：
pj
c
i
ij i
f,
pj
pj
pj
Poisson( p j ), E ( p j ) Variance( p j ) p j ci j f i
i
g( p j | f )
pj e
pj !
pj 1 2 j 2
, g( p | f ) g( p j | f )
方法：
极大似然估计 最大后验估计 最大熵估计。。。 —— 统计迭代重建算法
世界观与方法论
真实的成像过程：
连续图像 连续图像 离散投影数据 连续投影数据 —— 解析重建算法 离散图像 离散投影数据
—— 代数迭代重建算法
离散图像 带噪声的离散投影数据 —— 统计迭代重建算法
Reconstruction
Which one is better?
统计迭代重建算法的技术关键点
Y pj + noise
fi
p j ci j fi + noise
i
图像的数学模型
X
fi
cij
FOV
代价函数： 定义 likelihood( P | f ) 优化算法：
成像系统的物理模型
测量数据的统计模型 noise
求解 f arg max likelihood( P | f )
E ( ( f ) | p, f k ) 获得极值的 f k+1。
Dempster A. P., Laird N. M., and Rubin D. B. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J. Roy. Stat. Soc., Series B, 39:1–38, 1977. Shepp L. A. and Vardi Y. Maximum likelihood reconstruction for emission tomography. IEEE Trans. Med. Imag., MI-1:113–122, 1982. Lange K, Carson R. EM reconstruction algorithms for emission and transmission tomography. J Comput Assist Tomogr., 8:306-316,1984.
测量数据的统计模型
• 核素衰变产生γ 光子过程的统计涨落 • γ 光子的发射方向选择
• γ 光子在人体中的吸收，如：光电效应，康普顿散射等 • γ 光子在准直器及闪烁探测器晶体中的作用
• 在晶体产生闪烁光子的统计涨落
• 光电倍增管对闪烁信号的倍增过程
• 电子学噪声/事件堆积 • 数据校正/预处理
近似泊松分布
泊松噪声：极大似然代价函数
5.重建中的优化算法
优化：通过迭代的步骤，找到使代价函数取得极值时对应的 图像最优估计值
f arg max ( f )
常见的优化算法： • 穷举搜索算法
• 梯度算法（最速下降法，共轭梯度(CG)法...) • EM算法 • 神经网络、模拟退火、蚁群...... 好的优化算法应当： 快 准 狠 稳 • 全局收敛（从任意初值出发均能收敛到全 局极值） • 收敛速度快（所需迭代次数少） • 计算速度快（每一步迭代计算时间短） • 稳定性好（对数值计算误差不敏感） • ......
似然函数的条件期望
E ( ( f ) | p, f k )
理论上可以证明，EM算法的 每一次迭代获得的 f k+1 均使 得对数似然函数值 ( f ) 单调 增大，并最终收敛到 ( f ) 的全局极大值。
ML-EM 算法
EM算法由E步（求期望）和M步（极大化）组成。 E步：已知上一次图像估计值 f k ，求似然函数的条件期望 E ( ( f ) | p, f k ) M步：求得使
线模型
假设像素中的放射性活度在像素内 均匀分布
投影线定义为通过探测器单元中心 的直线
cij定义为第 j 条投影线在第 i 个像 素内的相交长度 在X-CT常用，但在核医学中，事 实上并不存在这样的“投影线”； 在实际应用中同样存在较大的误差
带模型
假设像素中的放射性活度在像素内均 匀分布 根据探测器单元的宽度定义投影带
uniform Poisson
FBP vs MLEM
Poisson
FBPБайду номын сангаас
MLEM
uniform
代价函数的选择要适合测量数据的统计特性。 对泊松噪声数据，选择极大似然代价函数。
ML-EM算法的重建图像
noise-free data
noisy data
对无噪声的数据：随着迭代的进行，图像细节逐渐清晰。（分辨率提升） 对有噪声的数据，随着迭代的进行，图像细节逐渐清晰，但噪声也越来越严重。 分辨率 VS 噪声的折衷
FOV
迭代类重建方法
投影: 重建:
Y pj
pj
ci j fi
i
fi
求解线性方程组 —— 代数迭代重建算法
FOV
X
投影数据测量过程中的噪声
p j ci j fi noise
i
基于统计理论的重建算法
p j Random ci j fi i
图像: 参数 fi 未知的一组随机统计模型 投影: 对统计模型进行一次测量，得到测量值 P = { pj } 重建：从一组测量值 P 估计模型参数 fi
ML-EM 迭代公式
图像
fi
k 1

c
j
fi
k
ij
c
j
ij
f
i
pj
k i
投影
cij
传输 矩阵
Iterative Reconstruction
likelihood iteration
MEASUREMENT
COMPARE UPDATE RECON
iteration
REPROJECTION
FBP vs MLEM
cij定义为第 j 条投影带与第 i 个像素
的重叠面积
优点：模型更精确，能提高成像质量 缺点：计算复杂
不同模型的图像重建效果比较
更加精确的模型：更全面地考虑成像系统中的各种几何和物理因素，如准直 器的空间响应特性，正电子自由程，非共线性，衰减效应，康普顿散射效应， 飞行时间，作用深度，心脏和呼吸运动。。。
——学术前沿问题
Go Akamatsu, Kaori Ishikawa, Katsuhiko Mitsumoto, et al. Improvement in PET/CT Image Quality with a Combination of Point-Spread Function and Time-of-Flight in Relation to Reconstruction Parameters, J Nucl Med 2012; 53:1716–1722.
f arg max log(probability( P | f ))
f
4. 重建中的代价函数
代价函数 ( f ) 是图像估计值 f 的函数，定义了在已知测量数据 p 和系统 模型{cij}的条件下，由 f 根据系统模型计算出的测量数据估计值 p 与 p 之间 的匹配程度。 迭代重建算法的目标是找到使代价函数取得极值时的图像值。 极大似然代价函数：从 f 得到测量数据 p 的概率（或其对数） ( f ) log g ( p | f )
——学术前沿问题
2. 成像系统的几何和物理模型
Y
pj
fi
X
系统传输矩阵{cij} 表示第i个图像单元对第 j 个探测器 单元的贡献，由图像的数学模型和
FOV
成像系统的几何和物理模型共同决定。
δ函数模型
假设像素中的放射性活度均集中于 像素的中心
根据探测器单元的宽度定义投影带
如果第 i 个像素的中心通过第 j 条 投影带，则cij=1；否则 cij=0 优点：计算最简单，计算速度快 缺点：近似误差较大
第七章 断层成像方法（下） 迭代重建算法
医学成像系统的数据测量过程
Y pj
连续图像 ->离散投影数据