人教版初三(上)数学：概率(学生版)
人教版数学九年级上册25.概率(共22张)
概率
适用 对象
等可能事件，其特点： （1）有限个；（2）可能性一样.
计算 公式
P( A) m （m是事件A包含的结果种数， n
n是试验总结果种数）.
课后作业
见本课时练习
(1)事件B:抽出数字为偶数； 解：（1）点数为奇数有3种可能，即点数为2，4，6
因此P（B）= 3 1 62
(2)事件C: 抽出数字大于1小于6.
（2）点数大于1且小于6有4种可能，即点数为2，3，4, 5
因此 P（可能的结果，并
且它们产生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结
合作探究
实验2：有6张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别
标有1，2，3，4，5、6现将它们的背面朝上，从中任意抽出 一张卡片
(1) 可能出现哪几种结果？
(2) 6个数字的出现可能性完全相同吗？
(3) 能否用一个具体数值来表示各个数 字出现的可能性吗？这个数值是多少？
思考:
以上三个实验有什么共同的特点：
D．1．
4、某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是 0.2,0.3,0.1，那么此射手在一次射击中不够8环的概率为（ A ）
A. 0.4
B 0.3
C 0.6
D 0.9
课堂小结
定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其产生可能性 大小的数值，称为随机事件A产生的概率，记为P（A）.
果，那么事件A产生的概率
P( A) m n
事件A产生 的结果种数
实验的总共 结果种数
例1：话说唐僧师徒超出石砣岭,吃完午饭后,三徒弟商量着今天 由谁来刷碗,可半天也没个好主张.还是悟空聪明,他灵机一动, 扒根猴毛一吹,变成一粒骰子，对八戒说道:我们三人来掷骰子： 如果掷到2的倍数就由八戒来刷碗；
新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
第25章+++概率初步(知识点及考点精讲)课件+2024—2025学年人教版数学九年级上册
箱1
箱2
小结
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的， 不同的随机事件发生的可能性大小可能不同
2
概率
情景引入 小白将一枚硬币抛向空中，落地后出现正面的可能性 有多大，出现背面的可能性多大？
概率 一般地，对于一个随机事件A，刻画其发生可能性大 小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 【注意】 ①每一次试验中，可能出现的结果只有有限个。 ②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
频率
概率
试验值或统计值
理论值
区别
与试验次数变化有关
与试验人、时间、地点 有关
与试验次数变化无关
与试验人、时间、地点 无关
联系
试验的次数越多，频率越趋向于概率
一般地，如果在一次试验中,有n种可能的结果,且它们
发生的可能性相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A
发生的概率为：
P(A) m n
不
可 能
0
事
件
事件发生的可能性越来越小
事件发生的可能性越来越大 (概率的值率
列表法
当问题涉及两步试验(如一个骰(tou)子掷两次)或 一次试验要涉及两个因素(如同时掷两个骰子),且可能 出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的 结果，通常采用列表法。
思考 抽奖箱中有5个黄球，3个红球，摸出一个球是红球， 这一事件是随机事件吗？
不是。 原因:若红球比黄球大的条件下摸红球是必然事件
思考：增加什么限定条件，这一事件是随机事件？ 这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色 外无差别。
思考 小白、小黄分别从箱1、箱2各抽取一球,两人摸出黄球 和红球的可能性一样大吗(除颜色外无差别)？
例：同时掷两个质地均匀的骰子,观察向上一面的点数, 求下列事件的概率： ①两个骰子点数的和是9.
人教版九年级上册数学《概率》概率初步PPT教学课件(第2课时)
（1）.
练习巩固
练习3 已知：在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白 两种小球，其中红球3个，白球n个，若从袋中任取一个球，摸出白 球的概率为四分之三，求n 的值.
解：P(摸出白球).
根据题意得n=9.
经检验，n=9是原分式方程的解.
做一做
小明和小刚想通过抽取扑克牌的方式来决定谁去看电影， 现有一副扑克牌，请你设计对小明和小刚都公平的抽签方案.
解：（1）指向红色有1种结果， P(指向红色) =.
变式训练
例1变式 如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红 黄两种，红色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由 停止，指针会指向某个扇形，（指针指向交线时当作指向右边的扇形 ）求下列事件的概率：（1）指向红色；（2）指向黄色.
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？
以四边形为例
A
已知：如图， O 中内接四边形
ABCD ，
AB=BC=CD=DA .
B
求证：四边形ABCD是正方形.
D O
C
思考
已知：如图， O 中内接四边形ABCDE,
AB=BC=CD=DA .
A
D
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： AB BC CD DA ，
你能设计出几种方案？
课堂小结
（1）在计算简单随机事件的概率时需要满足两个前 提条件：
每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； 每一次试验中，各种结果出现的可能性相等． （2）通过对概率知识的实际应用，体现了数学知识 在现实生活中的运用，体现了数学学科的基础性．
作业
1.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字 “1”“1”“2”“4”“5”“5”.掷小正方体后， 观察朝上一面的数字.
25.1.2 概率(2)(数学人教版九年级上册)
面向上”．它们出现的可能性相等．“正面向上”有 1 种可能，因此
P
(正面向上)
=
1 2
．
实际问题
每次
事件 试验
可能出现的结果只有有限个 各种结果出现的可能性相等
事件 A 的概率 0≤P(A)≤1
A 为必然事件 P ( A ) = 1
A 为不可能事件 P ( A ) = 0
A 为随机事件
m
P(A)=n
绿红 绿
红 黄红黄
例 2 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 7 个大小相同的扇形，颜色分为红、
绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所
指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
解：按颜色把 7 个扇形分别记为：红 1 ，红 2 ，红 3 ，绿 1 ， 绿 2 ，黄 1 ，黄 2 ，所有可能结果的总数为 7 ，并且它们出现的 可能性相等．
（1）指针指向红色； （2）指针指向红色或黄色； （3）指针不指向红色．
思考：问题中所有可能出现的结果有几种？各种结果出现 的可能性相等吗？
绿红 绿
红 黄红黄
例 2 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 7 个大小相同的扇形，颜色分为红、
绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所
指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色； （2）指针指向红色或黄色； （3）指针不指向红色．
分析：问题中可能出现的结果有 7 种，把 7 个结果分别记 为：红 1 ，红 2 ，红 3 ，绿 1 ，绿 2 ，黄 1 ，黄 2 ，指针指向每个 扇形的可能性相等．
新人教版九年级数学(上)——概率初步
知识点一、概率的有关概念1.概率的定义： 某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生，我们把这类事件称为随机事件。
知识点二、概率的计算1、概率的计算方式：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n 种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 发生的概率P(A)=nm 。
在求随机事件的概率时，我们常常利用列表法或树状图来求其中的m 、n ，从而得到事件A 的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为0；即P(不可能事件)=0； 必然事件发生的概率为1；即P(必然事件)=1； 如果A 为不确定事件；那么0<P(A)<1.概率初步类型一：随机事件1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生 思路点拨： 举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高【变式2】在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )A.251 B.41 C.1001 D.201类型二：概率的意义2．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50； 事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中； 事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数. 在这几个事件中，发生的概率恰好等于21的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨：事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的，所以有100个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是1001.举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.类型三：概率的计算1.列表法3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.红黄蓝白红黄蓝解：所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)=举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?【变式2】在生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用X和Y来表示，母亲的基因用X和X来表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?【变式3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?【变式4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有A、C、C；第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率是多少？2.树形图法4．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？3.用频率估计概率5投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？举一反三射击次数10 20 30 40 50 60 70 80射中8环以上的频数 6 17 25 31 39 49 65 80射中8环以上的频率(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)类型四：概率的思想方法6．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.7．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼________条，总质量为________千克.类型五：概率的综合应用8．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗？(2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些？(2)出生人数最多的是几月份？(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？一、选择题1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是( )． A ．让比赛更富有情趣 B ．让比赛更具有神秘色彩 C ．体现比赛的公平性 D ．让比赛更有挑战性2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是( )． A ．0 B ．1 C ．0.5 D ．不能确定 3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( )． A ．频率等于概率B ．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近C ．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近D ．试验得到的频率与概率不可能相等 4．下列说法正确的是( )．A ．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B ．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 5．下列说法正确的是( )．A ．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B ．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C ．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D ．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )．A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( )． A ．31B ．32C ．61D ．918．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为( )．A ．32 B ．41 C ．51 D ．101 9．下面4个说法中，正确的个数为( )． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大 (2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50％” (3)小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％ (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．下列说法正确的是( )．A ．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B ．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C ．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D ．不可能事件在一次试验中也可能发生 二、填空题11．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件：_______ __________．12．掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是______，7点向上的概率是______．13．设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随机地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B 为“取出的是黄球”，事件C 为“取出的是蓝球”，则P (A )＝______，P (B )＝______，P (C )＝______．14．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______．15．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．16．从下面的6张牌中，一次任意抽取两张，则其点数和是奇数的概率为______．17．在一个袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．18．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为32，则n ＝______． 三、解答题19．某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下：被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m999998100210021000m满意频率n(1)计算表中各个频率；(2)读者对该杂志满意的概率约是多少?(3)从中你能说明频率与概率的关系吗?20．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由．。
人教版九年级数学上册概率初步《用列举法求概率(第1课时)》示范公开课教学课件
3
(1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4
(1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5
(1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6
(1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
解：（2）两枚骰子的点数和是 9（记为事件 B）的结果有 4 种
16 4
归纳
有放回选取和无放回选取在列举法求概率中的区别 有放回选取和无放回选取是两种完全不同的选取方 式．一般来说，有放回选取允许有重复的事件结果，无 放回选取则不能有重复的事件结果，在列举时，要注意 这两种选取方式的不同造成的结果的差异．
例 2 一个不透明的盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的 六个小球，这些小球除标号数字外其余都相同．甲、乙两人用这六 个小球玩摸球游戏．规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标 号数字后放回盒里．充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球， 并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数， 则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．试 判断这个游戏对甲、乙两人是否公平．
解：（1）两枚骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 种
（表中的红色部分），即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，
(6，6)，所以
P(A)＝
6 36
＝
1 6
．
第1枚 第2枚
1
2
3
4
5
6
1
(1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2
(1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
人教版九年级数学上册25.概率(共50张)
向交线时当作指向其右边的扇形）求下列事件的概率.
（1）指向红色；
（2）指向红色或黄色；
（3）不指向红色.
解：一共有7种等可能的结果.
（1）指向红色有3种等可能的结果，
3
P(指向红色)=_____；
7
（2）指向红色或黄色一共有5种等可能的结果，
P(
5
7
指向红或黄）=_____;
（3）抽到的序号会是0吗？
抽到的序号不会是0；
想一想：能算出抽到每个数字的可能数值吗？
学习目标
1. 理解一个事件概率的意义.
2. 会在具体情境中求出一个事件的概率.
3. 会进行简单的概率计算及应用.
合作探究
新知一 概率的定义
活动1：抽纸团
从分别有数字1、2、3、4、5的五个纸团中随机
抽取一个，这个纸团里的数字有5种可能，即1、2、3、
2
故抽得红球这个事件的概率为：P(抽到红球)= .
3
巩固练习
袋子里有1个红球，3个白球和5个黄球，每一个
球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则
P(摸到红球)=
P(摸到白球)=
P(摸到黄球)=
1
9
1
3
5
9
;
;
.
典例精析
简单转盘的概率计算
例3 如图所示是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，
颜色分为红黄绿三种，指针固定，转动转盘后任其自
的可能性大小.
1
6
表示每一种点数出现
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻
画其产生可能性大小的数值，称为随机事件A
产生的概率，记为P（A）.
第二十五章概率初步(单元解读)九年级数学上册(人教版)
命题趋势： 概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必
然事件、不可能事件及随机事件的区别，用列表、画树状图法求简单事件发生的 概率以及用频率估计概率.
1.能正确指出实际生活中的一些必然事件、不可能事件、随机事件. 2.了解概率的意义,能用列举法(包括画树状图法和列表法)求简单事件的概率. 3.能通过试验获得事件的频率,知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率 的估计值.
本章重点内容： 1)理解随机事件的特点； 2)在具体情境中了解概率意义； 3)运用列表法或树状图法计算事件的概率. 本章难点内容： 1)对生活中的随机事件作出准确判断； 2)对频率与概率关系的初步理解： 3)能根据不同情况选择怡当的方法进行列举，解决较复杂的事件概率的 计算问题.
第六课时 用频率估计概率（第二课时）的内容解析 在上一节课中，学生已经通过试验认识到用频率估计概率的合理性和必要
性，由于用频率估计概率不受试验结果种数有限和各种结果等可能条件的限制， 本节课将运用这种方法来解决Байду номын сангаас际生活中的问题．确定某种树木移植成活率是 一个概率问题，但无法用概率的古典定义获得，需要用频率估计概率，培养学 生根据频率的稳定趋势估计概率的能力．估计柑橘的损坏率并利用这个估计来 帮助决策柑橘的销售价格，让学生感受到概率在问题决策中的重要作用．
yax 2
第三课时 用列举法求概率（第一课时）的内容解析 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大
小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种 求概率的方法叫做列举法. 当每次试验涉及两个因素时，为了更清晰、不重不漏地 列举出试验的所有结果，教科书给出了以表格形式呈现的列举法——列表法．这种 方法适合列举每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多的情形．相对于 直接列举法，用表格列举体现了分步分析对思考较复杂问题时起到的作用．将试验 涉及的一个因素所有可能的结果写在表头的横行中，另一个因素所有可能的结果写 在表头的竖列中，就形成了不重不漏地列举出这两个因素所有可能结果的表格．这 种分步分析问题的方法，将在下节课树状图法中进一步运用．
第25章 概率初步 人教版数学九年级上册章末复习课件(34张PPT)
列举法 列表法
概率求法 面积法 画树状图法
频率估计概率
知识梳理
1.事件的概念 （1）在一定条件下，可__能__发__生__也__可__能__不__发__生_ 的事件，叫做随机事件. （2）确定事件包括＿必＿然＿事件和＿不_可＿能＿事件.
知识梳理
2.概率的意义 （1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结 果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包m含其中 的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝ n .
规则如下： ①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球 （西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四 个球除颜色不同外，其余完全相同； ②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球， 父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小 英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色； ③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅 游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两 人所摸出球的颜色相同为止.
按照上面的规则，请你解答下列问题： （1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机 各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
解:(1)画树状图得
延安
西安
共有16种等可能的结果,均摸出白球的只有
一种可能，其概率为 1
16
.
汉中 安康
（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲 随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？ 解: (2)由树状图得
2.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件中，属于 随机事件的为（ B ）
A. 点数的和为1 C. 点数的和大于12
B. 点数的和为6 D. 点数的和小于13
考点二：概率的意义
3.从-1，0，
人教版义务教育教科书《数学》九年级上册25.1.2概率(共17张PPT)
1
2
3．随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜外完
全一样），那么这粒豆子停在黑色方格二：乘胜追击
4.在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果 袋中有3个红球且摸到红球的概率为1/4 ，那么袋中球的总个数为（ ）
BA．15个 B．12个
想一想：
你能用今天的知识解释这两个问题吗？
8
课堂热身
题组一：牛刀小试
1．从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10从这十个数中随机抽出一个 数，取出的数是3的倍数的概率（ ）
2 ．若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“ 让
更美好”中的两个 内（每个 只放1张卡片），则其中的文字恰
好组成“城市让生活更美好”的概率是（ ）
P(点数大于2小于562)==
1 3
2、概率P(A)的取值范围
不可能发生
0
∵0≤m≤n
事∴件发0 生≤ 的mn可≤能1性越来越小
0 ≤ P(A) ≤ 1
必然发生
1
概率的值
当A为必然事件时， P(A) =1；
当A为事不件可发生能的事可件能时性越，来P越(A大) =0。
7
问题回顾
世界杯掷硬币选边问题和刚才我 们玩的游戏：投掷六面标有1、2、3、 4、5、6的骰子，数字2朝上你们赢， 否则，老师赢。
试验可能出 现的结果
（多少种）
6种 1 23 4 56
质地均匀 构造相同
事件可能 性大小
111111 666666
4
试验方案
从分别标有1，2，3，4，5号的五根纸签（形状、 大小 相同）中随机抽取一根。
试验探究
试验1 （掷骰子）
人教版数学九上25.4 概率初步小结(共2课时)(新版课件)
或 a=-b，故是随机事件
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
弦不是直径，故是随机事件
C．抛出的篮球会下落
D．四边形的内角和是180°
360°，故是不可能事件
3.下列事件中，不可能事件的是( C )
A．投掷一枚均为的硬币10次，正面朝上的次数为5次
随机事件
意摸出1个球，则摸到红球的概率是( D )
A.
1
4
B.
3
4
C.
1
5
D.
3
5
课后作业
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题.
25.4 概率初步小结
第2课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识梳理
直接列举法
用列举法
求概率
列表法
画树状图法
求法
用频率估
计概率
概率
应用
抽奖问题、游戏是否公平问题等
直接列举法
个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次
摸到的球颜色相同的概率是(
A.
2
5
B.
3
5
)
C.
8
25
D.
13
25
第1次
第2次
黑1
黑2
白1
白2
白3
黑1
黑2
白1
—
(黑1，黑2)
(黑1，白1)
(黑1，白2)
(黑1，白3)
(黑2，黑1)
—
(黑2，白1)
(黑2，白2)
(黑2，白3)
(白1，黑1)
(白1，黑2)
A. 布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
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概率1．随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：_________．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．4.求概率的方法（1）用_______求概率（2）利用________概率5.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．1.事件与概率【例1】下列事件是必然发生事件的是（）A.打开电视机，正在转播足球比赛B．小麦的亩产量一定为1000公斤C.在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球D.农历十五的晚上一定能看到圆月【解析】必然事件的定义是一定会发生的事，可选出答案。
【答案】C练习1.下列事件中，属于必然事件的是（）A. 篮球队员投篮一次，未投中；B.种子发芽；C. 抛一枚硬币，正面朝上；D.一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，有1个是红球练习2. . 下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例2】一只小狗在如图1的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）A．154B.31C.51D.152【解析】阴影部分面积占全部面积的概率即为小狗听阴影部分的概率。
【答案】B练习3.气象台预报“本市明天降水概率是80%”．对此信息，下列说法正确的是（）A.本市明天将有80％的地区降水B．本市明天将有80％的时间降水C.明天肯定下雨D.明天降水的可能性比较大练习4.小晃用一枚质地均匀的硬币做抛掷试验，前9次掷的结果都是正面向上，如果下一次掷得的正面向上的概率为P(A)，则（）A.P(A)＝1 B．P(A)＝12 C. P(A)＞12 D. P(A)＜122. 利用面积求概率【例3】如图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是多少？图1【解析】圆形分成6部分，其中3部分是红色，就可以求出概率。
【答案】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有三种可能结果，所以指针指到红色的概率是36，也就是12。
练习5. 小明和小亮用如下（图4）的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平。
练习6. 小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜。
这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图加以分析。
3.列举法求概率【例4】有两个可以自由转动的均匀转盘A B，，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A B，；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平。
123A4 65B图2蓝黄红绿【解析】（1）求两个转盘的数字之积的问题，可以把所有情况罗列出来，再找相应的结论所占的概率即可。
（2）分别确定每种情况的概率，再确定是否公平。
转盘B 的数字 转盘A 的数字4 5 6 1（1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，4） （2，5） （2，6） 3（3，4）（3，5）（3，6）表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为59；数字之积为5的倍数的有三种，其概率为39。
（2）这个游戏对双方不公平。
小亮平均每次得分为510299⨯=（分），小芸平均每次得分为393199⨯==（分）。
1019≠，∴游戏对双方不公平。
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之 积为5的倍数时，小芸得5分即可。
练习7．小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色” 成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率。
练习8. 如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）。
（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”。
按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少?（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法(例如：树状图，列表)说明其公平性。
4. 频率法估算概率【例5】小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20000次，结果发现两个朝上面的点数红蓝 蓝红红和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等)？并说明理由。
【解析】本题可通过分别计算出现两个朝上面点数和为7的概率和实验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率，然后依据大量重复实验时事件发生频率与事件发生概率的差距将很小，来确定质量是否都合格。
【答案】解：两枚骰子质量不都合格．同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况：2、3、4、5、6、7；3、4、5、6、7、8；4、5、6、7、8、9；5、 6、7、8、9、10；6、7、8、9、10、11；7、8、9、10、11、12。
∵抛两枚骰子两个朝上面点数和有36种情况，出现两个朝上面点数和为7有6次情况。
∴出现两个朝上面点数和为7的概率为610.167366=≈。
而试验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率为200.00120000=。
因为多数次试验的频率应接近概率，而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量不都合格。
练习9．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.表是活动进行中的一组统计数据：⑴ 请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；⑵ 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ； ⑶ 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?⑷ 解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如 何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品．．．．．．．．．．．)？请你应用统计与概率的思想和方法．．．．．．．．．．．．． 解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。
练习10．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是25，可以怎样放球： （只写一种）。
1．从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水路、2.条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ） A ．20种 B.8种 C. 5种 D.13种 2．下列事件发生的概率为0的是（ ）A ．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；B ．今年冬天黑龙江会下雪；摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率nm 0.580.640.580.590.6050.601C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。
3.某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。
若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（）A.1001B.10001C.100001D.100001114.有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图2），从中任意一张是数字3的概率是（）A.61B.31C.21D.325.在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．15B．29C．14D．5186.如图3,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是( )A.21B.83C.41D.317.（2014湖北南昌一模）如图4，一小鸟受伤后，落在阴影部分的概率为（）A．21B．31C．41D．18.连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（）A.61B.41C.161D.3619. （2014福建福州一模）在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是____________10.小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小明被选中的概率为______,小明未被选中的概率为______11.在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是．图4图3图212.从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为；抽到黑桃的概率为 ；抽到红心3的概率为_______ 13.任意翻一下2007年日历，翻出1月6日的概率为 ;翻出4月31日的概率为。