高三数学一轮复习概率与统计

2009届一轮复习概率与统计

高考要求:

概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法. 重难点归纳:

本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.

涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. 典型题例示范讲解:

例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下: ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.

命题意图:本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法. 知识依托:频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法. 错解分析:解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别. 技巧与方法:本题关键在于掌握三种表格的区别与联系. 解

(2)

例2袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3

1

，从B 中摸出一个红球的概率为p ．

(Ⅰ)从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率；

(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ)若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

2

5

，求p 的值． 命题意图:本题考查利用概率知识和期望的计算方法. 知识依托:概率的计算及期望的概念的有关知识.

错解分析:在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误. 技巧与方法:可借助n 次独立重复试验概率公式计算概率.

解:(Ⅰ)（i ）22

24

1218

33381

C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；

由n 次独立重复试验概率公式()()

1n k

k

k

n n P k C p p -=-，得

()5

05

132013243

P C ξ⎛⎫

==⨯-=

⎪⎝⎭； ()4

1511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=

⎪⎝⎭ ()2

3

25

11802133243

P C ξ⎛⎫⎛⎫

==⨯⨯-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32

3511173133243

P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （或()3280217

31243243

P ξ+⨯==-

=

） 随机变量ξ的分布列是

ξ的数学期望是:

32808017131012324324324324381

E ξ=

⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球.

由1

22

335

m mp

m +=，得1330p =.

例3如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工

作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2.

(N 2)

A

B C

(N 1)C

B A

解:记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0.80,.P (B )=0.90,P (C )=0.90.

(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648.

(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ⋅)］ =P (A )·［1－P (B )P (C )］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统N 2正常工作的概率为0.792. 学生巩固练习:

1.甲射击命中目标的概率是

21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是4

1

.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )

10

7 D. 54C. 32 B. 43A. 2.已知随机变量ζ的分布列为:P (ζ=k )=3

1

,k =1,2,3,则P (3ζ+5)等于

A 6

B 9

C 3

D 4

3.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________.

4.某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.

5.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算: (1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率.

6.已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f (x )=⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤-≤2 021 1 0x x a x x

(1)求常数a 的值，并画出ζ的概率密度曲线；