导数中的函数构造问题

导数中的函数构造问题

[解题技法]

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现．

一、利用f (x )进行抽象函数构造

(一)利用f (x )与x 构造

1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x

，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当

导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先

考虑构造u v .

例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．

思路点拨 出现“＋”法形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可． 答案 (－∞，－4)∪(0,4)

解析 构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．

例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．

思路点拨 出现“－”法形式，优先构造F (x )＝f (x )x

，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析 构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2

，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

2．xf (x )，f (x )x

是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．

F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －

1[nf (x )＋xf ′(x )]；

F (x )＝f (x )x n ，F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －

1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1

； 结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.

例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．

思路点拨 满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．

解析 构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3

，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，∴F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．

(二)利用f (x )与e x 构造

1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，

另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x

的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )

A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)

B ．f (2)e 2 019f (0)

C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)

D f (2)

思路点拨 满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造 F (x )＝

f (x )e x

，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．

2．同样e x f (x )，f (x )e x 是比较简单常见的f (x )与e x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？

F (x )＝e nx f (x )，F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；

F (x )＝f (x )e nx ，F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx

； 结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；

(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 我们根据得出的结论去解决例5，例6.

例5 若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，f (0)＝1，则不等式f (x )>e 2x 的解集为________．