§16.1.1坐标轴平移(第1、2课时)

1 2 0 0

y y
-1 -1 -1 -1
0 1 -1 -1
(2, 1)是新坐标系原点O在原坐标系中的坐标.
坐标系xOy平移后得到新坐标系xOy，O在原坐 标系xOy中的坐标是(x0，y0)，则有
x x x0 y y y0 旧=新+原 x x x0 x x x0 或 y y y 0 y y y0
利用坐标轴平移化简下列曲线方程，并指出 新坐标原点在原坐标系中的坐标：
(2) x 4 x 3 y 2 0.
2
分析：将 x 2 4 x 3 y 2 0 变形为
令 x 2 x, y 2 y,
（x 2)2 3( y 2),
则曲线方程可化简为 x2 =y,
x x 1 y y 2
∴A、B两点在坐标系xoy中的坐标为A （2,4），B（-5,8）
平移坐标轴，点A（0,2）在新坐标系中的坐标 为（-2,3）， 求：（1）点B（6,1）在原坐标系内的坐标； （2）点Ｃ(3,-2)在新坐标内的坐标.
例3：平移坐标轴，把原点移到O′（2，-1），求下列曲线 在新坐标系中的方程： （1）x=2; (2)y=-1; (3)y=x+1.
解 (2)将图2-3中的 ox与 oy 轴擦除 ：
y
y 2 1 A 2 x x
B -3
-2 -1 O 1 -1 O D C 图2-3
得：
y
B -1 2
1 A 1
2
3
O D C
x
由此得:点A、B、C、D在坐标系 xoy 中的坐标：
点 坐标系xoy 中的坐标 A B C D
x ' x 3 x x x0 得： y y y 0 y ' y 1
进而各点在新坐标系中的坐标分别是：
A(-1，4) 、B(-4，0) 、C(0，5) 、D(-8，-2) 、E(-3，6)
已知点A在坐标系xOy中的坐标是(-3，1)，在新坐标 系xOy中的坐标是(4，2)，问坐标原点O移到了何处？ 解： x 3, y 1; x 4, y 2. x0 x x 3 4 7 x x x0 得 由公式 y0 y y 1 2 1. y y y0
6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2
–4
x2＋4x－y＋5＝0
y
6 5 4 3 2
y x2 4 x 5
y ( x＋2)2 1
–1
–1 –3 –2 –2
O'
1
–1
1
2
3
1
x'
2 3
O
–1 –2
x
y ax bx c
2
4ac b2 b 2 y a( x ) 4a 2a
D x x 2 令 y y E 2
D E 即将坐标原点平移到O （ , ）， 2 2
方程简化为
D E 4F x y 4
2 2 2 2
利用坐标轴平移化简下列曲线方程，并指出 新坐标原点在原坐标系中的坐标：
(1) x y 6x 8 y 0 ;
x x 2 y y 1 x=x 2 或 y y 1
–7 –6
y =x2＋4x＋5
y 1 ( x 2)
2
9y 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 12 3 –5 –4 –3 –2 –1O' 1 x' –1 x O –6 –5 –4 –3–2 –2 –1 –1 1 2 3
（3，1） （0，2） （2，0） （1，0）
点 坐标系xoy中的坐标 点
A
B
C
D
（1，0）（-2，1） （0，-1）（-1，-1） A B C D
坐标系xoy 中的坐标
（3，1） （0，2） （2，0） （1，0）
x
1 -2 0 -1
x
3 0 2 1
x x
-2 -2 -2 -2
y
y
A: 2
O 0 1 A 2
O
A: -1
x
3 0
-2 -1 图2-1
探究 （2）如图22，在xoy坐标系中， B点的坐标是什么？ 在 xoy 坐标系中， B点的坐标是什么？
B: (-1,2) (-3,1) B
-3
y
2
-2
y
1
-1
1
O
1 2 x
x
-1 O
图2-2
定义
只改变坐标原点位置，而不改变坐标轴方向 和单位长度的坐标系变换，叫做坐标轴平移．
新=旧-原
其中(x，y)为点在坐标系xOy中的坐标，(x，y)为 点在坐标系xOy中的坐标． 这个公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式．
记住公式的特征哦.
将坐标原点平移至O(1，2)，求下列各点在新坐标系 中的坐标： A(0，8)、B(1，2)、C(6，0)、D(-1，-2)、E(-5，7)． 解： 根据题意，x0=1，y0=2，
y
O′ y
( x 1) ( y 2) 4
2 2
将坐标原点平移到O′（-1,2），
x x 1，y y 2
2
x
-3 -2 -1 O 1 2
方程简化为
x
x2 y2 4
x y Dx Ey F 0
2 2
D 2 E 2 D2 E 2 4F D E D2 E 2 4F (x ) ( y ) （圆心( , )，半径 ） 2 2 2 2 2 4
2 2
分析：原方程化为 （x - 3） （y 4） 25 ;
2 2
y
-2 -1 O 1 2 3
x
令 x - 3 x, y 4 y,
则曲线方程可化简为 x y,
2
-4
O′
3，- 4）， 因此将坐标轴平移，使原点移至O （ 则曲线方程可化简为 x2 y 2 25.
x ' x 1 x x x0 由公式 y y y 得： 0 y ' y 2
进而各点在新坐标系中的坐标分别是： A(-1，6) 、B(0，0) 、C(5，-2) 、D(-2，-4) 、E(-6，5)
将坐标原点平移至O(3，1)，求下列各点在新坐标系 中的坐标： A(2，5)、B(-1，1)、C(3，6)、D(-5，-1)、E(0，7)． 解： 根据题意，x0=3，y0=1， 由公式
4ac b 2 y y 4a x x b 2a
b 4ac b 2 O( ， ) 2a 4a
y ax
2
2
平移坐标轴，使原点O移动到O′(-1，2)，求曲线 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0在新坐标系中的方程．
x x 1，y y 2 ( x 1)2 ( y 2)2 2( x 1) 4( y 2) 1 0
解：因为坐标系发生了改变， 曲线上每一点的坐标都相应 地改变，所以曲线的方程也 要改变. 设曲线上任意一点坐 标是 ( x '，y ')
y
4 3 2 1
y'
4 3 2 3 1 4 2 5 3
则x x 2，y y 1
代入原方程，得到新方程：
12 –4 –3 –2 –1 1 O –1 –4 –3 –2 –1 O' –2 –1 –3 –4 –2 –3 –4
y
y
A(x',y') A(x,y)
O x
O'(x0,y0)
x
例1 如图2-3，坐标系 xoy是原坐标系xoy o 在xoy坐标 平移后得到的一个新坐标系， 系中的坐标是（-2，-1），分别写出点A、 B、C、D在各坐标系中的坐标。
y 2 B -3 -2 -1 O D C -1 1 A
8 –3 –4
y'
y′ =x′2
平移坐标轴，化简曲线方程x2＋4x－y＋5＝0．
解：由 x2＋4x－y＋5＝0得 (x＋2)2＝y－1．
若令 x＋2＝x′，y－1＝y′，
则曲线方程可化为x′2＝y′．
因此将坐标轴平移，使原点O移到O′(-2，1)，
曲线方程可化为x′2＝y′．
y'
2 y x
1
2 x
o
图2-3
解 (1)将图2-3中的 o x 与
y
oy 轴擦除 ：
y 2 1 -1 O -1 C D
B -3 -2
O
A 1
2 x x
图2-3
y 2 B
1 -1 O D C -1
-3 -2
A 1
2 x
由此得：
点 A B C D
坐标系xoy中的坐标 （1，0） （-2，1） （0，-1）（-1，-1）
整理，得 y′ =x′2． 曲线在新坐标系中的方程是y′ =x′2．
平移坐标轴，使原点O移动到O′(-2，1)，求曲线 x2＋4x－y＋5＝0在新坐标系中的方程． x2＋4x－y＋5＝0 y =x2＋4x＋5 抛物线
y 1 ( x 2)
2
顶点(-2，1)
即平移坐标轴使原点移 动到抛物线的顶点，则
§16.1坐标轴平移
？
这是两幅意大利比萨斜塔的照片，你知道为什么第 二幅照片中的斜塔不斜了呢？
为什么 会这样 呢？
远 近 高 低 各 不 同
横 看 成 岭 侧 成 峰
题 西 林 壁
苏 轼
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处于不同位置的人对同一事物有不同描述
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