2017高考精选高难度压轴填空题----平面向量
高考数学真题汇编---平面向量(有解析)
高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。
15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移， 使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点 对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （ ，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为 （ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得， 所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。
2017高考精选高难度压轴填空题----平面向量
1.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝_____________【答案】27- 解析：27)(21)()()()(-=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅2.设(,mOA nOB m n =+∈[x ,(030=AOC 故x y 30tan 0==法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈两边同乘或得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=⋅=⇒=⋅n n mm 333两式相除得3=n m 3.在△ABC 中，若4=∙=∙CB AB AC AB ，则边AB 的长等于22解析：4=∙=∙88)(2=⇒=+⇒AB CB AC AB4.已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________)1,32(33322OA BC +=22OB CA +=22OC AB +，则点解析：22OA BC +=22OB CA +=⇒02=OC ，可知AB OC ⊥，其余同理则·的取值解析：()1122=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b7.在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， ABCO33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于_____32 解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅，即22=⋅+⋅+⋅+。
因为12=AB ，1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅AB AC ，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅BC BF 。
设与BC 的夹角为θ，则有|||⋅28.若对每一确定的β,||γ的最大值和最小则对任意β,m n -的最小值是 2=γ=AC 9.10.设1e P M N ∆是以M 11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则OC OB ⋅的最大值为________212sin ))((+=++θ12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0120。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
高中数学压轴题解析：平面向量
平面向量一、单选题1．设向量a ，b ，c 满足1a b，12a b ⋅=-，,60a c b c <-->=°，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．22．已如平面向量a 、b 、c ，满足33a =，2b =，2c =，2b c ⋅=，则()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为（ ）A ．B ．192C ．48D ．3．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a ab b +||AB =，则这样的点A 个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44．已知P 是函数()e xf x =（112x ≤≤）图象上的动点，点()2,1A ，()1,1B -，O 为坐标原点，若存在实数λ，μ使得OA OP OB λμ=+成立，则λμ-的最小值是（ ）A ．1 BC ．2e 1e -+D ．()22e 1e-+5．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足||||||OA OB OC ==，2OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，Q 满足1AP =，PQ QC =，则2437BQ -的最大值是（ ）．A ．12B ．6C ．D ．6．如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为1595157．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．2,2]D ．2,2]8．已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．149．已知C ，D 是半径为1的圆O 上的动点，线段AB 是圆O 的直径，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,0-C ．14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,0-10．已知平面向量a ，b ，c ，对任意实数x ，y 都有a xb a b -≥-，a yc a c -≥-成立．若2a =，则()b c a ⋅-的最大值是（ ）A ．12B C ．2D 111．在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A ．B ．C ．8D ．212．梯形ABCD 中AB 平行于CD ,2,1,4AB CD DAB π==∠=，P 为腰AD 所在直线上任意一点，则32PB PC +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．13．已知1F 、2F 是椭圆22143x y+=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=A ．B ．4C ．3D ．114．如图，在等腰梯形ABCD 中，3BC =，45C ∠=︒，高为a ，E 为AD 的中点，P 为折线段C D A --上的动点，设BE BP ⋅的最小值为()f a ，若关于a 的方程()1f a ka =-有两不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．711,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．)+∞15．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2212y -=1B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=16．已知单位向量a ，b 满足22a b -=，若存在向量c ，使得()()20c a c b -⋅-=，则c 的取值范围是（ ）A ．1⎤⎥⎣⎦B ．-⎣⎦C ．1⎤-+⎥⎣⎦D ．1⎤⎦17．记{},,max ,,.a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩在AOB 中，90,AOB P ∠=︒为斜边AB 上一动点．设max{,}M OP OA OP OB =⋅⋅，则当M 取最小值时，||||AP PB =（ ）A B ．||||OA OBC ．2||||OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3||||OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭18．已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ）A ．12B ．1312C D ．119．在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，O 为ABC 的外心，且有3AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A C A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则x y -=A ．2-B ．2C D ．20．已知向量a ，b 满足||2a =，4a b ⋅=，且对任意的0x ≠，||a xb -的最小值为1，向量c 满足||1c b -=，记1I a c =⋅，2I b c =⋅，则下列说法正确的是（ ）． A ．存在c ，使得10I = B ．存在c ，使得12I I = C ．对任意的c ，恒有12I I <D ．对任意的c ，恒有12I I >21．已知ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，I 是BAC ∠的平分线上一点，且AI =若ABC内（不包含边界）的一点D 满足12ID xAB AC =+，则实数x 的取值范围是 A ．11,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭22．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A ､B ，(),M x y 是()f x 的图象上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，([]0,1λ∈)，向量()1ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞23．已知D 、E 、F 分别是ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足34AE AC =，23AF AB =，||cos ||cos AB ACAD AB B AC C λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin cos ||||BD B AD B DF BD AD μ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(,)R λμ∈DE DA DE DC ⋅=⋅，则||||EF BC =（ ）A ．12B ．23C ．2D 24．已知a ，b 是非零向量，若对任意的实数t ，有1||2b ta b a +≥+，则（ ） A ．||||a a b >+ B ．||||a a b <+C ．||||b a b >-D ．||||b a b <-25．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．18,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．316,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]8,1- D ．[]16,1-26．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为A ．(-∞ B ．)+∞C ．(-∞D ．)+∞27．在三角形OAB 中，M 、N 分别是边OA 、OB 的中点，点R 在线段MN 上（不含端点），且OR xOA yOB =+，则代数式ln x ey +的最大值为（ ）A ．22e- B ．21e-C ．12e - D ．22e -28．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为A ．712+B ．12C ．43D ．512+29．已知单位向量e ，向量(1,2)i b i =，满足i i e b e b -=⋅，且12xb yb e +=，其中1x y +=，当12||b b -取到最小时，12b b ⋅=A ．0B ．1C D ．1-30．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．0D ．32-二、多选题31．下列说法正确的是（ ）A ．若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形 B ．已知,,,OA a OB b OC c OD d ====，且四边形ABCD 为平行四边形，则0a bc d +--= C ．已知正三角形ABC 的边长为圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅的最大值为1D ．已知向量()()()2,0,2,2,2cos OB OC CA αα===，则OA 与OB 夹角的范围是5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦32．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A ．27+B ．37+C ．37+ D ．47+33．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行，点,A B 是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P 在“六芒星”上（内部以及边界），若OP xOA yOB =+，则x y +的取值可能是（ ）A ．6-B ．1C ．5D ．934．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )A ．2AC AC AB =⋅B ．2BC BA BC =⋅C ．2AB AC CD =⋅D ．()()22AC AB BA BC CDAB⋅⨯⋅=三、填空题35．半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足0OA AB AC ++=，点P 是圆内一点，则PA PO PB PC ⋅+⋅的取值范围为______36．已知||||1OA OB ==，若存在,m n R ∈，使得mAB OA +与nAB OB +夹角为60，且()()12mAB OA nAB OB +-+=，则AB 的最小值为___________.37．已知ABC 是边长为2的正三角形，平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++（1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥）．若1OP=，则OA OB ⋅的最大值为__________．38．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．39．已知1e ，2e 是平面内两个夹角为23π的单位向量，若()()12222a te t e t R =+-∈，则12222e e a a e +-+-的最小值为________.40．已知三点,,T P Q 到点()1,0D 的距离都是它到直线:3l x()2,OT OP OQ R λμλμ=+∈，当直线OP 与OQ 的斜率之积为23-（其中O 为坐标原 点）时，则点(),N λμ与点,G H ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的距离之和NG NH +的值为____________41．已知平面向量,,,a b c d 满足：||||2,8a b a b a c ==⋅=⋅=.若对满足条件的任意c ，||d c -的最小值恰为||d a -.设d xa yb =+，则2x y +的最大值为_______________________.42．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b c ===，10a ba cbc a d-⋅⋅=⋅=>⋅，0c d ⋅=，若平面向量s xa yb =+（,0x y >且1xy=），则2s c s d++-的最小值是______.43．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111mOM OP OQ m m =+++，定义点集FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若对于任意的3m ≥，当1F 、2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为________.44．圆M 的方程为()()()2225cos 5sin 1x y R θθθ--+-=∈，圆C 的方程为()2224x y -+=，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值为__________.45．在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅的值为________.46．给出以下几个结论： ①若0a b >>，0c <，则c c a b<； ②如果b d ≠且,b d 都不为0，则111221n n nn n n nd b d db db dbb d b++----+++⋅⋅⋅++=-，*n N ∈； ③若1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则122a e e ，1232be e 的夹角为60；④在ABC 中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则()22cos cos c a B b A a b -=-； 其中正确结论的序号为______．47．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于,M N ，若,AM x AB AN y AC ==，其中,x y R ∈，则4x y +的最小值是_____．48．如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．49．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.50．在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________【挑战满分】压轴小题3：平面向量答案解析1．D 【分析】由题设知a ，b 的夹角为23π，又,3πa c b c <-->=，若,,OA a OB b OC c ===，则,,,O A C B 四点共圆或,,A C B 在以O 为圆心的圆上，求两种情况下c 的最值，再确定其最大值即可. 【解析】由12a b ⋅=-，知：a ，b 的夹角为23π，又,3πa c b c <-->=，∴若,,OA a OB b OC c ===，即23AOB π∠=，3ACB π∠=，1、如上图，当,,,O A C B 四点共圆，而222||||()23AB b a b a b a b a =-=-=-⋅+=，设圆的半径为R ，则||22sin AB R ACB==∠，即1R =∴当且仅当OC 为圆的直径时，有最大值||||22OC c R ===.2、如上图，当,,A C B 在以O 为圆心的圆上，此时||||1OC c ==， 综上：c 的最大值为2. 故选：D. 【小结】将平面向量转化为点共圆，根据a ，b 的夹角为23π，又,3πa c b c <-->=，讨论位置关系，进而应用圆的性质确定c 的最大值. 2．B 【分析】作OA a =，OB b =，OC c =，取BC 的中点D ，连接OD ，分析出BOC 为等边三角形，可求得OD ，计算得出()()()()()22222ABC a ba c ab ac S ⎡⎤-⋅---⋅-=⎣⎦△，利用圆的几何性质求出ABC 面积的最大值，即可得出结果. 【解析】如下图所示，作OA a =，OB b =，OC c =，取BC 的中点D ，连接OD ， 以点O 为圆心，a 为半径作圆O ，1cos cos ,2b c BOC b c b c⋅∠=<>==⋅，0BOC π≤∠≤，3π∴∠=BOC ， 所以，BOC 为等边三角形，D 为BC 的中点，ODBC ，所以，BOC 的底边BC 上的高为2sin3OD π==，a b OA OB BA -=-=，OA OC a c CA --==，所以，()()cos a b a c BA CA AB AC AB AC BAC -⋅-=⋅=⋅=⋅∠，所以，()()()()()222222cos a b a c a b a c AB AC AB AC BAC ⎡⎤-⋅---⋅-=⋅-⋅∠⎣⎦()()22sin 2ABC AB AC BACS =⋅∠=△，由圆的几何性质可知，当A 、O 、D 三点共线且O 为线段AD上的点时，ABC 的面积取得最大值，此时，ABC 的底边BC 上的高h 取最大值，即max 43h AO OD =+=，则()max 122ABC S =⨯⨯=△因此，()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为(24192⨯=.故选：B. 【小结】结论小结：已知圆心C 到直线l 的距离为d ，且圆C 的半径为r ，则圆C 上一点到直线l 距离的最大值为d r +. 3．D 【分析】根据题设中的等式可得3AOB π∠=或23AOB π∠=，所以OAB 外接圆C 的半径2R =，故A 的个数记为圆心(),C m n 的个数，根据O 到直线1yx =+的距离可判断出圆224x y +=上存在4个不同的点到直线1y x =+的距离为1，故可得正确答案.【解析】因为12122||a a b b +=2OA OB OA OB ⋅=⨯， 故1cos 2AOB∠=，故1cos 2AOB ∠=±， 而()0,AOB π∠∈，故3AOB π∠=或23AOB π∠=. 因为||AB =，故OAB 外接圆的半径R 满足2R =2R =. 故OAB 外接圆的圆心在圆224x y +=，设OAB 外接圆的圆心为(),C m n ，则,A B 为直线1y x =+与圆()()22:4C x m y n -+-=的两个交点， 故A 的个数即为圆心(),C m n 的个数.因为||AB =，故圆心(),C m n 到直线1y x =+的距离1d ==，因为O 到直线1y x =+的距离为2d =，而212->， 故圆224x y +=上存在4个不同的点到直线1y x =+的距离为1，故这样的点A 个数为4个. 故选：D.【小结】关键小结：根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系，从而计算出三角形的外接圆的半径，再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题. 4．D 【分析】设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+把,λμ用x 表示出来，则得出λμ-关于x 的函数，再利用导数的知识求得其最小值． 【解析】解析：设(),P x y ，由OA OP OB λμ=+得21e x x λμλμ=+⎧⎨=-⎩，解得3e 3e 1e xxxx x λμ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，()31e1e xxx λμ--=++，记()()31e1e xxhx x -=++，则()()23e 30e x x x h x x --'=<+，所以()h x 单调递减， 所以()()()min 22e 11eh λμ--==+. 故选：D ． 【小结】本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把λμ-表示为x 的函数．5．A 【分析】可证明点O 是△ABC 的垂心，又点O 是△ABC 的外心，可知△ABC 是正三角形，则201AOB BOC AOC ︒∠=∠=∠=，进而建立直角坐标系，可求得2π43712sin()3BQ θ=-+，进而可求出最大值.【解析】0OA OB OB OC ⋅-⋅=，即()0OB OA OC OB CA ⋅-=⋅=，所以OB CA ⊥，同理可得OC AB ⊥，OA BC ⊥，所以点O 是△ABC 的垂心. 又||||||OA OB OC ==，所以点O 是△ABC 的外心，故△ABC 是正三角形，且201AOB BOC AOC ︒∠=∠=∠=， 建立如图所示的直角坐标系，||||cos1202OA OB OA OB ︒⋅==-，所以||||||2OA OB OC ===，则()0,2A ，()1B -，)1C-，设(),P x y ，由1AP =，可设cos ,2sin x y θθ==+，[)0,2πθ∈，因为PQ QC =，所以Q 为PC 的中点，所以1sin )2Q θ+， 则33cos 3sin (,)22BQ θθ+=，22233sin 2BQ θ⎛=+⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以222π4cos )(3sin )3712sin()3BQ θθθ=++=++，所以当π6θ=时，π12sin()3θ+取得最大值12，即22π43743712sin 3BQ BQ θ⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭的最大值为12. 故选：A. 【小结】本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题. 6．B 【分析】先建系解得,D C 坐标，再设E 坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值. 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,),(2,),(0,0)D m n C m n m n +>>，因此22222221616{{,{(2,)(5,)03100m m n m n m n m n m n m n =+=+=∴+⋅-=+--==因此:5),5)BC y x y x =-=--，设(,5)),45,E x x x --≤≤所以(,5))(2,5)AE DE x x x x ⋅=--⋅----2(,5))(2,5)13110240x x x x x x =--⋅----=-+当55[4,5]13x =∈时，AE DE ⋅最小值为95.13选B. 【小结】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 7．D 【解析】如图所示：OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+ ∵()()0a c b c -⋅-≤，∴点C 在劣弧AB 上运动，a b c +-表示C 、D 两点间的距离CD ．CD 的最大值是BD ＝２，CD最小值为OD 22-=.故选D 8．C 【分析】设311232363415,,3,7,1,1b a a b a a b a a b b b →→→→→→→→→→→→=+=+=+≤≤≤，且1320b b b →→→→++=，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果. 【解析】设311232363415,,3,7,1,1b a a b a a b a a b b b →→→→→→→→→→→→=+=+=+≤≤≤，且1320b b b →→→→++=，如图所示：则1313121111256712b b b b b b b a a a b a b →→→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫'=⋅≤⋅⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭≤-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且等号可以取到. 故选：C.【小结】本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题. 9．C 【分析】建立直角坐标系，设出,C D 坐标，求出,AC BD ，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围. 【解析】解：如图建立平面直角坐标系.设()cos ,sin ,D θθπθπ-≤≤，(),,,22CAB AC a b ππαα∠==-<<，则tan b a α=，22cos ,2cos sin a b ααα==.()()(),cos 1,sin cos sin AC BD a b a b a a θθθθθφ⋅=⋅-=+-=+-，其中1tan tan a b φα==，,222πππαφφ∴+=-<<，从而3322ππθφ-<+<. ()2AC BD a a θφ⋅=+-a ，最小值为：a .222112cos 2cos 2cos 2cos 22a αααα⎛⎫==-=--+⎪⎝⎭当3πα=时，取最大值12. 22112cos 2cos 2cos 22a ααα⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，当0α=时，取最小值4-.故AC BD ⋅的取值范围是为14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C . 【小结】本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时解答本题的关键，属于中档题. 10．A 【分析】设a OA =, b OB =,c OC =，由题意可得点,B C 在以OA 为直径的圆周上，设圆心为E ,作出图形，过E 作//ED AC ,交OC 于点D ,交圆于点N ,向量OB 在AC 上的投影的长等于向量OB 在EN 上的投影的长.所以向量OB 在EN 上的投影的长的最大值为DN （当,B N重合时取最大值.），设AOC θ∠=,则2sin ,sin 1sin ，DE DN AC θθθ===-， 则()22sin 1sin 2sin 2sin AC DN θθθθ⋅=-=-+，可得答案.【解析】设a OA =, b OB =,c OC =,则a b BA -=,a c CA -= 对任意实数x ，y 都有a xb a b -≥-，a yc a c -≥-成立 即对任意实数x ，y 都有a xb BA -≥，a yc CA -≥成立即BA OB ⊥，CA OC ⊥.所以点,B C 在以OA 为直径的圆周上.设圆心为E .()cos ，b c a OB AC AC OB AC OB ⋅-=⋅=⋅⋅ cos ，OB AC OB ⋅为向量OB 在AC 上的投影的长.过E 作//ED AC ,交OC 于点D ,交圆于点N ,如图,由OC AC ⊥，则OD EN ⊥ 所以向量OB 在AC 上的投影的长等于向量OB 在EN 上的投影.所以向量OB 在EN 上的投影的长的最大值为DN （当,B N 重合时取最大值.）.则()cos ，b c a OB AC AC OB AC OB AC DN ⋅-=⋅=⋅⋅≤⋅ 设AOC θ∠=,则2sin ,sin 1sin ，DE DN AC θθθ===-， 则()22sin 1sin 2sin 2sin AC DN θθθθ⋅=-=-+当1sin 2θ=时，AC DN ⋅有最大值12所以()b c a ⋅-的最大值以为12故选：A【小结】本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难题. 11．D 【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16ABC ∠=，结合同角三角函数的基本关系可求出sin 16ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.【解析】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠===如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则11,88A ⎛ ⎝⎭，所以11,88MA x ⎛=- ⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-，因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=-⎪⎝⎭，43020+⨯+⨯=所以274329,22MA MB MC x ⎛++=-⎝⎭， 则27432MA MB MC ⎛++= 227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，当32x =时等号成立，所以3154322MA MB MC ++≥， 故选:D.【小结】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长. 12．B 【分析】利用建系的方法，假设,==AD t AP m ，分别计算,PB PC 以及32+PB PC ，然后令2=-k m ，最后根据二次函数的性质可得结果. 【解析】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系设,==AD t AP m ， 由4π∠=DAB ，所以(),,,,1,,2,0222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P m D C B则2222,,222⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB m m PC t所以32822⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭PB PC m m令2=-k m ，则()328,+=+PB PC k k所以()328PB PC k k +=++==当4k =-时，有min32+=PB PC故选：B 【小结】本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题. 13．C 【分析】利用向量的数量积运算可得()()22121QF QF QOQF ⋅=-，利用||QO QN NO =+，进一步利用椭圆的定义可转化为22a c -，进而得解. 【解析】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-, ()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：3.【小结】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算. 14．A 【分析】先以B 为坐标原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系，设P 的横坐标为x ，将BE BP ⋅用x 表示分段表示出来，再求最小值()f a ，再对()1f a ka =-有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出a 的取值范围. 【解析】解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，建立直角坐标系如图所示:则3(,)2E a ，BM QC a ==，32MQ a =-，302a <<， 设P 的横坐标为x ，则3a x ≤≤当3a x a ≤<-时，P 在AD 上动，(,)P x a ，则BE BP ⋅232x a =+ 当x a =时，BE BP ⋅的最小值()232f a a a =+； 当33a x -≤≤，时，P 在CD 上动，则(,3)P x x -， 则BE BP ⋅3(3)2x x a =+-3232a x a -=+， 当3x a =-时，BE BP ⋅的最小值()23922f a a a =-+ 又23()2a a +-239()22a a -+9302a =-<， 故()232f a a a =+，3(0,)2a ∈，又()1f a ka =-有两不等实根，则2312a a ka +=-在3(0,)2a ∈有两不等实根，则132k a a =++在3(0,)2有两不等实根，则y k =与y =132a a ++，3(0,)2a ∈有两个交点.当1a =时，y =132a a ++有最小值为72，当0a →时，y →+∞，当32a →时，113y →，则y =132a a ++，3(0,)2a ∈的图象如图所示，即方程()1f a ka =-有两不等实根有：71123k <<. 故选：A 【小结】本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大. 15．D 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【解析】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ． 【小结】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题． 16．C 【分析】由题意,设向量a ,b 的夹角为θ,由22a b -=化简求得1cos 4θ=，设(1,0)a OA →==,则1,(,)4b OB c OC x y →→⎛==== ⎝⎭,由()()20c a c b -⋅-=化简可知1(2)044x x y y ⎛⎛⎫--+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即(,)C x y 在以9,88P ⎛ ⎝⎭为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得||1||||1OP OC OP →-≤≤+即可得答案. 【解析】根据题意,设向量a ,b 的夹角为θ,若22a b -=, 则222(2)444a b a a b b -=-⋅+=, 即44cos 14θ-+=,解得:1cos 4θ=. 则在直角坐标系中,设(1,0)a OA →==,则1,,(,)44b OB c OC x y →→⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭,则有1(1,0),,(,)4A B C x y ⎛⎝⎭,若()()20c a c b -⋅-=,则有1(2)04x x y y ⎛⎛⎫--+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即2291042x y x y +-+=,变形可得: 22918x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,点C 在以9,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心,半径为1的圆上,设9,88P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则||2OP =,则有||1||||1OP OC OP →-≤≤+,61||12c -≤≤+,所以||c 的取值范围是1⎤-+⎥⎣⎦故选:C. 【小结】本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题. 17．C 【分析】当OP AB ⊥时1M M =，讨论P 点位置，计算得到1M M ≥，得到OP AB ⊥时，M 取最小值，再利用射影定理计算得到答案. 【解析】当OP OA OP OB ⋅=⋅，即0OP AB ⋅=，亦即OP AB ⊥，此时计P 点位置为1P ，1M M =， 当P 在1AP 上时，1111cos cos M OP OA OP OA AOP OP OA AOP OP OA M ≥⋅=⋅∠>⋅∠=⋅=；当P 在1BP 上时，1111cos cos M OP OB OP OB BOP OP OB BOP OP OB M ≥⋅=⋅∠>⋅∠=⋅=；故OP AB ⊥时，M 取最小值，根据直角三角形的射影定理，可得222||||||||||||||||||AP AP PB OP OA PB PB PB OB ⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【小结】本题考查了向量数量积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定OP AB ⊥时，M 取最小值是解题的关键. 18．B 【分析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值. 【解析】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =, 设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++-- 5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和,所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B. 【小结】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值. 19．A 【分析】由3AB BC AC +=，利用正弦定理得到3c a +=，再由sin (cos cos sin 0C A C A +=，运用三角函数的和角公式和正弦定理得到b =，进而得到a c =，然后利用余弦定理，求得角B ，A ，C ，再由AO x AB y AC =+的两边点乘,AB AC ，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x ，y 的方程组求解. 【解析】因为AB BC AC +=，所以3c a +=，又因为sin (cos cos sin 0C A C A -+=，所以sin cos cos sin C A C A C +=，所以()sin C A C +=，所以sin B C =，即b =， 所以a c =，所以222222231cos 222a cbc c c B ac c +-+-===-， 所以120,30B A C ===， 如图所示：由正弦定理得：12sin cR AO c C===，因为AO x AB y AC =+，则2x AO AB AB AB A y C ⋅=+⋅，所以22221c c x =+， 即231x y +=，则2AO AC xAB AC yAC ⋅=⋅+， 所以22223323x c c y c =+， 即21x y +=，1,1x y =-=， 2x y -=-.故选：A. 【小结】本题主要考查正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，平面向量的数量积的定义和性质，还考查了运算求解的能力，属于难题. 20．C 【分析】首先根据题中条件得到a ，b 的夹角的大小，然后建立坐标系，利用向量的坐标运算求解． 【解析】记a ，b 的夹角为θ，由||2a =，4a b ⋅=，得||cos 2b θ=，所以cos 0θ>．因为对任意的0x ≠，||a xb -的最小值为1，则||sin 1a θ=，所以6πθ=，43||b =． 记OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则(0,0)O ，(2,0)A ，2,3B ⎛⎝⎭．由||1c b -=，可设2cos ,sin 3C αα⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则142cos 0I a c α=⋅=+>，2162cos 33I b c αα=⋅=++⋅，则214033I I α-=+>， 故选：C ． 【小结】本题主要考查向量的数量积与向量的几何意义，考查化归与转化思想、数形结合思想．试题围绕平面向量的有关知识设题，可通过选择基底表示出向量的数量积，或是建立坐标系求解，将向量知识迁移到几何情境中考查，重点考查直现想象、数学运算的核心素养．求解有关平面向量的问题时，若考生能用数形结合的方法，往往可以达到事半功倍的效果，从而快速解题． 21．A 【分析】将向量,AB AC 归一化可得1134AI AB AC =+，结合向量的线性运算可得1334AD x AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由等和线性质可知，11034x <+<，从而可求出实数x 的取值范围. 【解析】 解：设,34AB AB AC ACi j ABAC====，则1,1i j ==，且,60i j BAC =∠=︒， 所以()2211211cos603i jAI +=++⨯⨯⨯︒==，即1134AI AB AC =+， 因为111222ID xAB AC AD AI xAB AC AD xAB AC AI =+⇒-=+⇒=++，所以1111323434AD x AB AC AB AC x AB AC ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， 由等和线性质得11034x <+<，解得11312x -<<-. 故选:A. 【小结】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积运算，考查了等和线性质.本题的关键是以,AB AC 为基底表示出AD .本题的难点在于用,AB AC 表示出向量AI . 22．A 【分析】由题意易知点M ，N 的横坐标相等，MN k ≤恒成立，即max k MN ≥，将恒成立问题转化为函数的最值问题，进而求解. 【解析】由题意知，点M ，N 的横坐标相等，由MN k ≤恒成立，即max k MN ≥， 因为向量()1ON OA OB λλ=+-，所以点A ､B ､N 三点共线. 由N 在线段AB 上，得1,0A ，32,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此AB 的方程为()312y x =-，由图象可知：()13311222x MN x x x x ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭32≤32k ≥故选：A . 【小结】本题考查函数与方程的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 23．D 【分析】如图，由||cos ||cos AB ACAD AB B AC C λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可知0BC AD ⋅=，得到BC AD ⊥，由DE DA DE DC ⋅=⋅，可得()0DE DA DC DE CA ⋅-=⋅=，得到DE CA ⊥，由sin cos ||||BD B AD B DF BD AD μ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得0BA DF ⋅=，得到BA DF ⊥，连接EF ，可得,,,A E D F 四点共圆，因此AEF ADF ∠=∠，又B ADF ∠=∠，可得AEF ∆∽ABC∆，又34AE AC =，23AF AB =，可得AC AB =，即可得出EF BC . 【解析】 解：如图所示，因为||cos ||cos AB ACAD AB B AC C λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以cos cos 0cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AD BC AB B AC C AB B AC C λλ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅ ⎪ ⎪⋅=+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BC AD ⊥，因为sin cos ||||BD B AD B DF BD AD μ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin cos sin cos 0BD BA cosB B AD BA sinB B BD B AD B BA DF BA BD AD BD AD μμ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅ ⎪ ⎪⋅=+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BA DF ⊥， 因为DE DA DE DC ⋅=⋅，所以()0DE DA DC DE CA ⋅-=⋅=， 所以DE CA ⊥，连接EF ，因为DE CA ⊥，BA DF ⊥所以,,,A E D F 四点共圆，所以AEF ADF ∠=∠， 又因为BC AD ⊥，所以B ADF ∠=∠， 所以B AEF ∠=∠，所以AEF ∆∽ABC ∆，所以EF AE AFBC AB AC==, 因为34AE AC =，23AF AB =， 所以2334AB AC AB AC=，所以AC AB =，所以343=2AB EF BC AB = 所以2=2EF BC故选：D【小结】此题考查向量垂直和数量积的关系，四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题. 24．D 【分析】将目标式两边平方，根据向量数量积的运算，得到关于t 的一元二次不等式恒成立，由0≤，即可求得结果. 【解析】 因为12b ta b a +≥+，两边平方可得()2221204a t ab t a a b +⋅⨯--⋅≥恒成立， 因为0a ≠，故只需0≤，即()22214404a ba a ab ⎛⎫⋅---⋅≤ ⎪⎝⎭，整理得22102a a b ⎛⎫+⋅≤ ⎪⎝⎭，故只能是2102a a b +⋅=，即220a a b +⋅=. 两边同加2b ，则2222a a b bb +⋅+=，即()22a bb +=，解得a b b +=.故排除,A B .两边同加24b a b -⋅，则22224a a b b b a b -⋅+=-⋅，即()224a bb a b -=-⋅.故224a b b a b -=-⋅；因为220a a b +⋅=，则0,40a b a b ⋅-⋅，则容易得220a b b -->，则b a b <-.故选：D. 【小结】本题考查向量数量积的运算，涉及一元二次不等式恒成立的条件转化，属综合中档题. 25．C 【分析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ， 2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ⋅=-⋅，先固定PB ，根据向量数量积的定义，求出PC 在PB 上投影的最大值和最小值，再利用||PB 的范围，即可求解. 【解析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F ∴三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ， ,PE PF 分别为圆M ，圆N 的直径， ,,//PA AE PC CF AE CF ∴⊥⊥∴，又2,2PF PE PC PA =∴=，12PA PB PB PC ⋅=-⋅， 设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，当PC 在PB 同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD 在PB 投影1||||22PH PB =+ 1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB ⎛⎫∴⋅≤⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭21||2||162PB PB =+≤， 当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-同理当PC 在PB 投影最小（在PB 反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK 在PB 投影12||2PB -， 1||2|2PB PC PB PK PB PB ⎛⎫⋅≥⋅=-⋅- ⎪⎝⎭2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=≥-， 当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-⨯-=，所以PA PB ⋅的数量积取值范围是[8,1]-. 故选：C.【小结】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题. 26．A【分析】不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【解析】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,(.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=因为a c b d T -+-≥恒成立，+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M .又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离322MN232T NM故选：A 【小结】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 27．D 【分析】根据平面向量基本定理，求得,x y 之间的关系式，构造函数，利用导数求其最大值即可. 【解析】根据题意，作图如下：设MR MN λ=，()0,1λ∈，故可得1122222OR OA AB OA OB λλλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， 故可得122x λ=-，2y λ=，则12x y +=，且1,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12y x =-，构造函数()1122h x lnx e x lnx ex e ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()1ex h x x ='-，令()0h x '=，解得1x e=， 故()h x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在区间11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 故可得()122maxeh x h e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【小结】本题考查平面向量的基本定理，以及利用导数求函数的最值，属综合困难题；本题的关键在于寻找到,x y 之间的等量关系，且要注意参数的范围. 28．A 【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值. 【解析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π∴=，9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABCSbc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===， 162ABCSab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴==. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤， ()33,4CP CA CB λλ∴=+=-，设1CA e CA=，1C e B CB=，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，()12,CA CBCP x y xe ye x y CACB =⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y∴+=，所以，117773434121231211x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，因此，11x y +712+. 故选：A. 【小结】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现。
2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。
平面向量高考题选及答案知识讲解
形， P 为平
面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小是 ）A． 2 B． 3 C． 4
2
3
D． 1
7．【2017 全国高考新课标 III 卷理数·12T】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，
动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上。若 AP = AB + AD ，则 + 的
11.【2017 全国高考浙江卷理数·13T】在平面直角坐标系 xOy 中，A（-
12,0），B（0,6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上，若 PA · PB 20，则点 P 的横
坐标的取值范围是 12【2017 全国高考浙江卷理数·16T】（本小题满分 14 分）
已知向量 a=（cosx,sinx）,
,
.（1）若 a∥b，求 x 的值；
（2）记
,求 的最大值和最小值以及对应的 x 的值
13、（2016 年北京高考）设 a ， b 是向量，则“| a || b | ”是“| a b || a b | ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
平面向量高考题选及 答案
精品资料
《平面向量》
1．【2017 全国高考新课标 I 卷理数·13T】已知向量 a，b 的夹角为 60°，
|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=
.
2.（2016 全国 1.理数.13）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则
m=
（C） 3 a2 Error! Digit expected. 4
24.【2015 高考陕西，理 7】对任意向量 a,b ，下列关系式中不恒成立的是
2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习
A． B．
C． D．
4．设向量 ， ，定义一种向量积： ．已知向量 ， ，点P在 的图象上运动，点Q在 的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则 在区间 上的最大值是（ ）
A．4B．2
C． D．
二、填空题
5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为 ， ， ，则 ________．
【变式训练二】
(2016·德州模拟)设向量 ， ， ．
（1）若 ，求x的值；
（2）设函数 ，将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求 的最大值及此时相应的x的值．
专题限时集训（三）平面向量
【A组高考达标】
一、选择题
1．(2016·泰安模拟)在等腰梯形ABCD中， ，M为BC的中点，则 （ ）
A． B．
（1）a和c的值；
（2） 的值．
【B组名校冲刺】
一、选择题
1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．(2014·大连模拟)已知平面向量 ， ，且 ，则a与b的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图3 4，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则 等于（ ）
6．已知非零向量 与 满足 ，且 ，点D是 中BC边的中点，则 ________．
三、解答题
7．已知向量 ， ，函数 的图象与直线 的相邻两个交点之间的距离为 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的单调递增区间．
8．已知 的周长为6， ， ， 成等比数列，求：
（1） 面积S的最大值；
（2） 的取值范围．
第25讲平面向量高考选择填空压轴题专专练
【答案】B
【解析】
设 ,因 ,且 ,故 ，所以 ，
,故应选B.
4．设 ，点 为 所表示的平面区域内任意一点， ， 为坐标原点， 为 的最小值，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】．A
【解析】
由题意， f（x）=（0，-5）•（x，y）=-5y，当y取最大值时，f（x）取最小值f（m），
【答案】．
【解析】
以 为坐标原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，依题意得 ， ，设 ，依题意 ，即 ， ，两式相减得 ， ， .
8．在 中， ， ，设 交于点 ，且 ， ，则 的值为．
【答案】．
【解析】
由题设可得 ,即 ,也即 ,所以 ,解之得 ,故 ,应填 ．
2．(2017年高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则
A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，选C.
2．在 中， ， ， ， 的交点为 ，过 作动直线 分别交线段 ， 于 ， 两点，若 ， ，（ ， ），则 的最小值为（ ）
由 ，得 ， ，点 在圆上，因此
，解得 ．故选D．
4．如右图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线与 两边分别交于 两点，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 三点共线，所以 ，因为 是 重心，所以 ， ，所以 ，化简得 ，解得题目所给图像可知 .由基本不等式得
，即 .当且仅当 ，即 时，等号成立，故最小值为 .
平面向量高考题选及答案
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
14、（2016 年山东高考）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>= 1 .若 n⊥ 3
（tm+n），
则实数 t 的值为（ ）（A）4 （B）–4
（C） 9 （D）– 9
4
4
15、（2016 年四川高考）在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB = DC ,
MN x AB y AC ，则 x
；y
．
30.【2015 高考湖北，理 11】已知向量 OA AB ，| OA | 3 ，则 OA • OB .
31.【2015 高考天津，理 14】在等腰梯形 ABCD 中,
已知 AB / / DC, AB 2, BC 1, ABC 60 ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,
5.（2013全国1.理数. 13）已知两个单位向量 a ， b 的夹角为60°， c ＝t a ＋(1－t) b ，若
b • c =0，则t=_____.
6．【2017 全国高考新课标 II 卷理数·12T】已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为
平
面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小是 ）A． 2 B． 3
y0 ， b ．
33.【2015 高考新课标 2，理 13】设向量 a ， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实
数 _________．
34.【2015 江苏高考，14】设向量 ak (cos k ,sin k cos k )(k 0,1, 2,
66
6
11
(ak ak+1)的值为
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题05 平面向量(解析版) Word版含解析
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AP AB M ⋅=2 （10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M .其中10,,2,1 =i ，故1133)116(3ii M i ⨯+-=18=，从而1801021=+++M M M 2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为________．【解析】由34BD BC =，得3()4AD AB AC AB -=-，即1344AD AB AC =+，因为点E 在射线AD （不含点A ）上移动，所以344t tAE t AD AB AC ==+，又因为AE AB AC λμ=+，所以)0(43,4>==t tt μλ，则3323123441=≥+=+t t μλ（当且仅当t t 344=，即334=t 时取等号）；故填3． 3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是 ． 【答案】4214. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是 ．5. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足12AB AC AD +=，且||3CD =，那么DA DC ⋅= ． 【答案】3【解析】设正ABC ∆边长为a ，11()22DC AC AD AC AB AC AC AB =-=-+=-， 所以22214DC AC AC AB AB =-⋅+2221cos 43a a a π=-+，即2334a =，即2a =，则11()()22DA DC AB AC AC AB ⋅=-+⋅-22213344AB AC a =-==．6. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】在平面直角坐标系中，点A （1，0），B （0，1），点C 在第二象限内，若65π=∠AOC ,OC OA OB λμ=+,2=OC ,则λμ= 【答案】3-【解析】由条件得(,)OC λμ=,故65cos2πλ=，52sin 6πμ=，得1,3=-=μλ，从而3-=λμ7. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD =．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ▲ ． 【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系xOy中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ． 【答案】51-9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()x f x x+=(x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅= ▲ ． 【答案】2- 【解析】 试题分析：设(,),(,)M x y A m m ，则(0,)B y ，因此2(,)(,0)MA MB m x m y x x mx⋅=--⋅-=-，又22411222MAy m x k y x m x m x mx x m x -+=-⇒=-⇒=-+⇒=-+⇒-=--，因此2.MA MB ⋅=-10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅= ▲ ． 【答案】9 【解析】试题分析：根据题意点M 为BC 上靠近点C 的四等分点，点N 为DC 上靠近点C 的三等分点,所以34AM AB AD =+,11133434NM AB AD AB AD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以：AM NM =22133191936169344316316AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以9AM NM =.11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)2,(t C ，且与x 轴交于B A ,两点，若ACB ∠是钝角，则实数a 的取值范围是 ．12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M ，使得BM CN ⊥，则cos A 的取值范围为_______. 【答案】3[,1)8【解析】以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则3(30)(4cos ,4sin ),(,0)2B C A A N ，，，设(04),AM t t =≤≤则(cos ,sin ),M t A t A 从而由3(cos 3)(4cos )(sin )(4sin )02BM CN t A A t A A ⋅=--+-=得155cos (8)38A t =-+，为[0,4]增函数，因此341cos [,]836A ∈，又ABC ∆中，cos (1,1)A ∈-，故cos A 的取值范围为3[,1)8. 13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】在ABD ∆中，13112,,343AB AD AE AD BC BD BE AC ====⋅=，，则BAD ∠的值为_______.【答案】34π 【解析】因为131,443AC AB AD BE AE AB AD AB =+=-=-, 所以2222112112||||||||cos 443443BE AC AB AD AB AD AB AD AB AD BAD ⋅=-+-⋅=-+-⋅∠，因此1121148222cos 4433BAD -⨯+⨯-⨯⨯∠=，即2cos 2BAD ∠=-， 因为(0,)BAD π∠∈，所以3.4BAD π∠=14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是_______. 【答案】116-15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知Rt △ABC 的面积为2，︒=∠90C ，点P 是Rt △ABC 所在平面的一点，满足CACA CBCB CP 94=,则PB PA ⋅的最大值是 . 【答案】73【解析】法一：以点C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设点B 坐标为)0)(0,(>t t ，则由122CA CB ⨯=得点A 坐标为)4,0(t ，又点P 坐标为)9,4(，于是)94,4(--=tPA ，)9,4(--=t PB从而)94(9)4(4----=⋅t t PB PA t t 36497--=，因24364≥+t t ，当且仅当364=t t，即t=3时取等号. 故7336497≤--tt ，即当3=t 时，PB PA ⋅有最大值73.法二：4=,0=⋅CB CA . 因CP CA PA -=CA CB CA 94-=,CP CB PB -=CA CB CB 94--=,故PB PA ⋅=94(CA CB CA 94(CA CB CB --732129797=⨯-≤--=.16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】在三角形ABC 中，13,23BC BD AB AC A π=⋅=∠=，，则||AD 的最小值为_______.二、解答题1. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值． 【答案】（1）2-（2）7 【解析】解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，∴()2367cos cos -==-=⋅πβαb a .。
【山东省】2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习-答案
山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 答 案【真题回访】回访一 平面向量的线性运算 1．A 2．12回访二 平面向量的数量积 3．D 4．16热点题型1 平面向量的运算 【例1】 (1)B (2)B【变式训练一】 (1)32(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】 (1)85(2)122⎤--⎢⎥⎣⎦ 【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()gx 的最大值为32.专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题 9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =，()2,1AC =，∴()()()221,22,12,233OP =+=， ∴22OP ==.(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++， ∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为ac >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===，由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=.因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+==.【B 组 名校冲刺】 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22sin ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())22134sin cos 4sin cos cos 23cos 322sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x xf x πωωωωωωπωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭由题意可知f (x )的最小正周期为πT =，所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设BC ，CA ，AB 依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜，又622a c bb +-≤==，从而02b <≤. (1)22111πsin sin 2sin 32223S ac B b B ==≤=当且仅当a c =，且π3B =，即ABC△为等边三角形时面积最大，即max S =.(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++∵02b <≤，∴821BA <≤，即BA BC 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 解 析【真题回访】回访一 平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二 平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算 【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32， 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12， 即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分 所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分 ＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分 将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分 所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】 一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD→＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC→|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.]二、填空题6．65 [设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x－2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组 名校冲刺】 一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1， ∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.] 4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题 7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3， 由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3， 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2. (1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27. ∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。
2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量—老师专用(最新整理)
2017年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量1．【2017全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，ABC △P ABC 则的最小是（ ）()PA PB PC ⋅+ A ．B ．C ． D ．2-32-43-1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．【2017全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。
若= +，则+的最大值为AP λAB μAD λμA ．3B ．CD ．2【答案】A试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系设 ,()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y 根据等面积公式可得圆的半径，即圆C 的方程是 ，r =()22425x y -+=【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
3．【2017全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】试题解析：，所以222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b.|2|+==a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的2+a b长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.（4.【2017全国高考天津卷理数·13T 】在中，，，.若，ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ，且，则的值为___________.()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=- λ【答案】 3115．【2017全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题解析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：a b -== ，a b +== ，则：a b a b ++-=+ ，令y =，则[]21016,20y =+，据此可得：())max min 4a b a b b a b ++-==++-== ，即a b a b ++- 的最小值是4，最大值是．【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得a b a b ++-= ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．6.【2017全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1OA OB O C与的夹角为，且tan =7，与的夹角为45°。
高考数学压轴专题人教版备战高考《平面向量》技巧及练习题含答案
高考数学《平面向量》练习题一、选择题1．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v （ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r|＝|NM u u u u r |，取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题2．已知向量,a b r r 满足||3a =r ||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】 【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得3cos ,a b 〈〉=r r 可求得向量a r 与b r的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||23a =r，||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r ，所以3cos ,||||234a b a b a b ⋅〈〉===-⨯r rr r r r ，又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r的夹角为56π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．3．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||3a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.4．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为（ ） A ．45° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==，向量BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vC ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vD ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ，∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.6．在ABC ∆中，已知AB =AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v的取值范围为（ ）A ．()3,5 B．(C ．()5,9D ．()5,7【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解． 【详解】如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AB AC =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r ＝8﹣113BAC -∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E⎛⎫-⎪⎝⎭，1,12F⎛⎫--⎪⎝⎭，(1,0)D，3,12DE⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，3,12DF⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r，所以95144DE DF⋅=-=u u u r u u u r.故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.10．已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PCuuu r()PB PD+⋅u u u r u u u r的最小值为（）A．1-B．3-C．12-D．32-【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u ur u u u rB ．12AB AD -u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．12AB AD -u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A. 【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.12．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v，则λ=（ ）A．14B．14-C．13D．13-【答案】B【解析】【分析】由12AE AD=u u u r u u u r，AD BD BA=-u u u r u u u r u u u r，AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r，32BD BC=u u u r u u u r，代入化简即可得出．【详解】13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，可得14λ=-，故选B.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AOuuu v·BCuuu v的值是A．－8 B．－1 C．1 D．8【答案】D【解析】【分析】【详解】因为AO AC CO AB BO=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2AO AC BO AB CO=+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，所以1()2BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)()42AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D14．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A B C ．2-D 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r，所以221202x y x +-+=， 又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭，，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．15．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D【解析】【分析】 计算25AC a b =+u u u r r r ，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案. 【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r ，即()253a b a mb λ+=+r r r r ， ∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D .【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．设()1,a m =r ，()2,2b =r ，若()2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．13- D ．-3【答案】C【解析】【分析】 计算()222,4a mb m m +=+r r ，根据向量垂直公式计算得到答案.【详解】 ()222,4a mb m m +=+r r ，∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得13m =-. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.17．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=，故ABC ∆为直角三角形.故选：A.【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.18．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43 【答案】C【解析】【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=， 联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．20．已知向量(),1a x =-r ， (b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ）AB C ．2 D ．4 【答案】C【解析】由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (b r =，可得：x 0x ，==，即)1a =-r所以2a ==r 故选C。
2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习-答案
山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 答 案【真题回访】回访一 平面向量的线性运算 1．A 2．12回访二 平面向量的数量积 3．D 4．16热点题型1 平面向量的运算 【例1】 (1)B (2)B【变式训练一】 (1)32(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】 (1)85(2)122⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()g x 的最大值为32. 专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =u u u r ，()2,1AC =u u u r ，∴()()()221,22,12,233OP =+=u u u r ，∴OP ==u u u r(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++u u u r，∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =u u u r u u u rg 得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为ac >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===，由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=. 因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+⨯==. 【B 组 名校冲刺】 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22sin ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())2214sin cos 4sin cos cos cos 3222sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x x f x πωωωωωωπωωωωω⎛⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭g g g 由题意可知f (x )的最小正周期为πT =， 所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设BC u u u r ，CA u u u r ，AB u u u r依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜，又622a c bb +-≤==，从而02b <≤.(1)22111πsin sin 2sin 2223S ac B b B ==≤=g g 当且仅当a c =，且π3B =，即ABC△为等边三角形时面积最大，即max S .(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++u u u r u u u r g ∵02b <≤，∴821BA <≤u u u rg ， 即BA BC u u u r u u u rg 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 解 析【真题回访】回访一 平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二 平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算 【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM → )＋μ(BA →＋AD → )＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD → )＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32， 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12， 即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分 所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分 ＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分 将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分 所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】 一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.] 3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.] 二、填空题6．65 [设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO ＝33，∴OB → ·OC →＝(AB →－AO → )·(AC →－AO → )＝AB → ·AC →－AO → ·AC →－AO → ·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组 名校冲刺】 一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.] 4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.]二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23，所以|CB →|＝23，所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.]三、解答题 7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3， 由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac .在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3， 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2，从而0＜b ≤2. (1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27. ∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18，即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。
平面向量部分填空题练习(含答案)
平面向量部分填空题练习1、若向量),(8λ=a 的长度为17，则λ的值是 。
2、把函数22x y -=的图象按a平移，得到1422---=x x y 的图象，则=a 。
3、已知下列命题： ①0=++CA BC AB ；②若向量),(43-=,则AB 按向量),(12-=a平移后的坐标仍是),(43-；③向量b 与向量a 的方向相反,是b 是a 的相反向量的充分不必要条件；④已知点M是△ABC 的重心，则0=++MC MB MA ，其中正确命题的序号是 （写出符合条件的全部序号）4、设向量a =(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b = 。
5、已知：|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb -a 垂直，则λ= 。
6、已知|a |=3,|b |=5，如果a ∥b ，则a ²b = 。
7、在菱形ABCD 中，（+）²（-）= 。
8、若)1,0(),0,1(==，则与43+垂直的单位单位向量是_____________________.9、若5||,8||==，则||的取值范围是______________.10、已知点)542,(),4,6(),2,4(---x C B A 三点共线,则C 点分AB 的比λ=____________, x =______________.11、若直线20x y m ++=按向量(1,2)a =--平移后与圆22:240c x y x y ++-=相切， 则实数m 的值为 ．12、已知向量→a ，→b 满足2a =，3b =，两向量的夹角为60°，则a b a b+=- . 13、设j ,是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，47,24+=-=，63+=，则四边形ABCD 的面积是 .14、非零向量（a ＋b ）与（2a －b ）互相垂直，（a －2b ）与（2a －b ）互相垂直，则向量与的夹角为 ;15、抛物线y ＝4x 2按向量a ＝（1，2）平移后，其顶点在一次函数y ＝2b x 21+的图象上，则b ＝ ；16、在△ABC 中，sinA : sinB : sinC ＝2 : 3 : 4，则∠ABC ＝ （结果用反三角函数值表示）。
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1.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r＝_____________【答案】27- 解析：27)(21)()()()(-=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅2.0,31=⋅==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则mn等于【答案】3[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r得⎩⎨⎧==⇒+=ny m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n mx y 330tan 0==法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r两边同乘或得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=⋅=⇒=⋅n n mm 333两式相除得3=n m 3.在△ABC 中，若4=•=•，则边AB 的长等于22AOA BCPQ解析：4=•=•CB AB AC AB 88)(2=⇒=+⇒AB CB AC AB4.已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r则的取值范围是___________)1,32(解析：=+=+=''32GP AG GP AG AP λ )()(31GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+<<n m t ) =)](31)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,32(3132∈+=+t μλ 5.已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 22OC AB +u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的心垂心解析：22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 0))(())((=-++-+⇒CA BC CA BC OB OA OB OA 02=⋅⇒OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理6.设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则·的取值范围⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41- 解析：()1122=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b7.在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____32 ABCOABCGP GP解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅，即22=⋅+⋅+⋅+。
因为12=，1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅。
设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θBC BF ，即3cos θ=2，所以32cos =θ8.已知向量αu r ,βu r ,γr 满足||1α=u r ,||||αββ-=u r u r u r ,()()0αγβγ-⋅-=u r r u r r .若对每一确定的βu r ,||γu u r的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意βu r,m n -的最小值是21解析：数形结合.=AB ,β=,βα-=,,γ=BD CD ⊥⇒-=-=αγβγ,，点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而21121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同.9.已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，|a -b |=|b |，(a -c )(b -c )=0，若对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m +n 的最小值为_________．23解析：本题和8完全相同。
数形结合，具体参见810.设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e e ==，y x +=，若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则⋅的最大值为________212sin ))((+=++θDC OD AB OAABCDB 12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0120。
如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其R y x ∈,，则yx +的最大值是___2 解析：【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)23,21(),0,1(-==则 )23,21(y y x -=，则满足11)23()21(222=-+⇒=+-2xy y x y y x ，且0,2121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OA),(y x OC =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x13.在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则•的取值范围是]1,21[-解析：分两种情形，结合图形分析。
（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则]1,21[211∈-=⋅+⋅=⋅BP ；同理，当P 在CD 上时，]21,21[2121-∈+-=⋅DM14.在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是[)716， 解析：PM PN⋅u u u u r u u u r ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+⋅==322362cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2(2=+≤b a ab ，PM PN ⋅u u u u r u u u r 732≥-=ab ，或者用消元的方法25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ⋅u u u u r u u u r732≥-=ab ；同时86106<⇒+-=+<a a b a ，当8=a 时16=ab ，故16>ab ，另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决15.已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且21x y +=，AOB ∠是钝角，若()||f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为||OC uuu r的最小值是37何图形解）解析：',,'B A C OB y OA x OC ⇒+=共线，用几()||f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为23义即为A 到OB 的距离，易得0120=∠AOB ，要使||OC uuu r最小，则'AB OC ⊥，利用面积法可求得16.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为12解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,21(),1,1(θθ=-==由AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21， 1sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++⋅=++-=+θθθθθθθμλ，令]2,0[,sin cos 2sin 1)(πθθθθθ∈++=f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=θθθθθf ，故)(θf 最小值为21)0(=f ，μλ+最小值为2117.已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足CA CB CP 2+=，则⋅=________3解析：如图2+=2=⇒，⋅=18.已知向量M={?=(1,2)+?(3,4)??R}，N={?=(-2,2)+?(4,5)??R}，则M ?N=________{})62,46(解析：15'5242'4231=⇒⎩⎨⎧+=++-=+λλλλλPABC OBB ’ AC19.等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-u u u u r u u u r 时，AMMB =______3 解析：))((++=⋅20.如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1,则()()CA CD CA CE⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最大值是227解析：21.已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的______________重心解析：设重心为G ，CD CB CA GP OC OB OA OG OP 32)(3)2(3λλλ=+=⇒-+-= λ=，故P G C ,,三点共线22.已知点O 为ABC ∆24==,则=• 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R 23.设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ24.O 是锐角∆ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r2AB AB Sin ABC λ⎛ + ∠⎝u u u r u u ur2ACAC Sin ACB ⎫⎪⎪⎪∠⎭u u u r u u u r ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的______心内心AD E B解析：设高为AD，则ADAP 1+=λ显然成立25.已知O 为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r，记PA u u u r 、PB u u u r 、PC u u u r中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是_____)7⎡-+∞⎣解析：≥，即x y ≥，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线的抛物线，其方程为)2(8)3(2-=-y x ,它交直线x y =于点P )627,627(--=，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最小，即最小是627-法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢？实际上就是当P 为ABC ∆==M =的最小值，因为当P不是外心时，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14225,14225(22----a a a a ,要==最小，则圆与坐标轴相切，此时a a a =--142252627-=⇒a 26.已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+u u r u u u r u u u r且，则x y +的值为_________.23,解析：延长AI 交BC 于点'I ,则AC AB BC AB AI AI 323132'23+=+==27.设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解28.平面内两个非零向量βα,，满足1=β，且α与αβ-的夹角为0135，则α的取值范围是_________]2,0(解析：数形结合。