第五章利率理论

第五章利率理论
本章概述
本章主要介绍利率的有关理论，包括利率的期限结构和债券理论。

首先，
我们结合零息票介绍了单利、复利、连续复利和利率的期限结构曲线。

利率的
期限结构是现代金融理论中非常重要的一部分内容，也是至今学术界仍然再研究的一个领域。

根据利率期限结构解释理论中的预期理论，影响利率期限结构
的一个主要因素就是短期利率未来的变化，因此本章还介绍了利率的跨时演进模型，以及如何在无套利均衡下，通过短期利率的变化构造整个期限结构曲线。

最后，本章还介绍了债券的定价，在介绍债券三种定价思路的基础上，引进了债券的久期和凸度的概念。

第一节利率的期限结构
1.1 零息票收益率和利率期限结构曲线
一、单利、复利和连续复利
在计算利率的时候，如果利息并不产生利息，也即前期的利息并不重新再
投资，则可以得到单利，反之则得到复利。

假设数额A以利率R投资了n年。

如果一年计一次复利，则上述投资的终值为：
如果每年计m次复利，则终值为：
当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous compounding），此
时的终值为
其中，e约等于2.71828。

表5－1显示了提高复利频率所带来的效果。

从表中可以看出，连续复利（精确到小数点后两位）与每天计复利的效果一样。

因此，实际运用中通常可以认为连续复利与每天计复利等价。

表5－1 复利频率与终值
假设是连续复利的利率，是与之等价的每年计m次复利的利率，从上式可得：
或
这意味着：
利用以上两个式子，我们就可以实现每年计m次复利的利率与连续复利之间的转换。

特别地，当m=1时，
二、零息票收益率
零息票是指到期日以前没有利息的债券，这种债券面值和当前价格的比值反映的收益率暗含了期限为到期日的复利大小。

不同到期日零息票的收益率和到期日之间的关系构成了利率的期限结构曲线。

三、利率期限结构曲线的变化
利率期限结构是市场对未来短期利率变化的预期的反映，与短期利率有着
密切的关系。

由于短期利率的变化是多样的，因此导致利率期限结构随着时间的演变也是复杂的。

经过理论分析和实证研究发现，期限结构的变化可以分解为以下几种典型变化：平行移动，也即不同到期期限的利率全部增加或者减少相等的数值；陡缓变化，也即短期利率变化和长期利率变化幅度不同，短期的幅度小，曲线变平缓，反之曲线变陡峭；蝶式变化，也即中期利率变化和长期短期利率变化幅度不同，像蝴蝶扇动翅膀一样；还有一种特殊变化，也即短期端变化，中长期利率不发生变动。

四、几种解释理论
对于利率期限结构的解释，一直都是金融学争论的重要领域。

一般有三类解释，分别是：预期理论、流动性偏好理论和期限偏好理论。

预期理论又分为完全预期理论和有限预期理论。

而期限偏好理论一般强调不同期限的债券形成了不同的分割市场，不同投资者在不同市场交易，从而形成相互之间没有关系的短期、中期和长期利率。

1.2 利率的跨时演变模型
一、连续时间模型
短期利率的跨时演变模型有Ho-Lee模型、Salomon Brothers模型、Black-Derman-Toy模型和Black-Karasinski模型。

这些模型有连续时间版本和离散时间版本。

经过多年的实证研究，研究者发现均值回复过程能够比较好的描述短期利率变动，也即：
在无套利均衡条件下，不同到期期限的零息票和短期利率之间满足以下仿射关系：
二、离散时间模型与多步二叉树
一般我们用多步的二叉树模型来描述利率的跨时演变。

如下图：
假设每一步演变有两种情况，记第n+1期的T期利率相对第n期T期利率的上涨比率和下跌比率分别为：U(T)和D(T)，U(T)D(T)=1；T=1时，即为第
n+1期的短期利率相对第n期短期利率的变化比率，记U(1)=U和D(1)=D。

三、利率期限结构曲线和利率的跨时演变
记第n期还剩T期的零息票价格为：，该债券在第n+1期还剩T-1期，价格为：。

假设未来两种情况，未来价格相对当前价格上涨比率u(T-1)和下跌比率
d(T-1)分别满足：
则
根据多步二叉树的构造方法，我们知道第n期还剩T期到期的零息票到第
n+2期的价格可以经过上涨再下跌或者下跌再上涨得到，这两条路径的结果应
该一样，也即
由
化简得到边界条件：u(T-2)d(T-1)u(1)=d(T-2)u(T-1)d(1)。

用某种资产对冲风险，n期和n+1期价格分别为：。

无套利条件为：
记对冲资产上涨价格和下跌价格分别为：Su和Sd。

由（1）得：
代入（2）得：
如果风险对冲资产为还剩T+1期的零息债券，价格上涨比率和下跌比率分
别为：u(T)和d(T)，则和，代入（3）可得u(T)-d(T)=[1-d(T)]u(T -1)+[u(T)-1]d(T -1)
该式和边界条件给出了u(T)和d(T)的迭代关系，也即在无套利条件下，给
定短期利率未来的变化（即u(1)和d(1)或者U(1)和D(1)），迭代以上差分方程，就可以得到各个不同到期期限利率的跨时演变。

四、利率期限结构曲线和远期利率、利率预期
如果风险对冲资产为利率远期协议，即当前（第n期）签订的协议，约定
第n+1期还剩T-1期的零息票的价格为。

该协议当前价值为S=0，未来的损益为：
代入（3）可得：
将结论推广可以得到，当前t，T时刻利率r，T*时刻利率r*，T*>T，当前
T*到T之间的远期利率为，则
单利情形有：
连续复利情形有：
即有，故
第二节债券定价理论
2.1 债券定价
一、定价
根据第四章的资产定价理论，我们知道债券定价有三种思路。

第一种思路，将未来各期的利息逐期贴现，因为未来的贴现率是不确定的，因此需要求期望值；第二种思路，将用未来各期的利息按照当前相应期限的利率进行贴现。

也即，
和
其中，表示第j-1期至第j期的短期利率，表示当前的i期利率。

第三种思路见《到期收益率》部分。

二、到期收益率
换个角度分析，假如债券未来的现金流重新再投资，由于当前并不知道未
来再投资能够获得的收益率，我们假设未来各期现金流再投资的收益率相等，
这个收益率为y，那么债券未来现金流的到期价值为，
当前购买债券的现金流按照同样的收益率一直到期，得到的到期价值为，
这两个到期价值应该相等，因此可以得到
收益率y就称为债券的到期收益率，或者债券的内部收益率。

三、浮动利息债券定价
由于浮动利息债券未来的现金流不确定，不能用前面的定价公式。

由于浮动利息债券的票面利率通常在重新设定日时定为市场利率，因此浮动利息债券在重新设定日，价格和面值相等，否则会出现套利机会。

在重新设定日，除了面值以外，浮动利息债券还将获得上一期的浮动利息，所以浮动利息债券当前价格应该等于面值与上一期利息之和按照市场利率贴现得到，也即
其中，L表示浮动利息债券的面值，表示上一期设定的浮动利息，为到下一重新设定日的市场利率，连续复利的形式。

四、信用价差
对于企业债券等非主权债券的到期收益率相对于国债的到期收益率有一个差额，用来补偿企业债券的违约风险，这个风险溢价称为信用价差。

五、解鞋带法
由于市场上多数债券是附息债券，零息票一般只是短期国债或者票据，因此并没有直接的利率收益率曲线。

我们通过解鞋带法（Bootstrap）可以将市场上附息债券的价格生成利率收益率曲线。

比如，有五只附息债券，有关信息如下：
记、、、和分别为到期期限为三个月、半年、一年、一年半和两年的利率。

从例子中可以看出，
以上三式可以解得、和。

代入下式，
可以解得。

、、和代入下式，
可以解得。

以此类推可以求得整个利率期限结构曲线。

2.2 久期和凸度
一、久期
可以从两个方面去理解久期。

第一，久期表示债券价格变动百分比相对于到期收益率变动的比率，也即，
从这个方面理解，久期度量了债券价格相对于到期收益率这个风险因素的敏感程度。

第二，久期表示债券的未来各期现金流的加权平均时间，也即，
从这个方面理解，久期度量了债券的平均还款期。

二、凸度
如下图，我们可以看到债券价格和到期收益率之间的关系并不是线性的，因此当到期收益率变化比较大的时候，仅仅用久期就不足以度量债券价格相对于到期收益率的敏感程度。

曲线的凸度也影响到债券价格相对于到期收益率的变化。

我们定义债券的凸度为，。