曾谨言量子力学习题解答 第十一章

r
[er cos ][
1
a 3
3r
e a ] r 2 sin drdd

2

r
e 4 2a r e dr sin 2 cos d e i d 4 8a 0 0
（9） ~452~
同理可求
(ez ) 211,100
r


3
r ( )e 2 a sin e i ] [ 3 a 8 a 1 e ] r 2 sin drdd
Wk ' k
4 2 q 2 r / ( k / k ) 3 2 k k
2
2
（1）
式中 rk 'k 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和， 但在一维谐振子情形， rk / k 仅有一项

xk / k
2
Wk ' k
2 4 2 q 2 x k / k ( k / k ) 2 3

x
x cos pxdx
sin px cos px x p p2
(2)
x k 'k
1 (k ' k )x ax sin { ' a (k k ) a
(k ' k )x a2 cos a (k ' k ) 2 2 ax (k ' k )x sin a (k ' k )
1s 态
100
200
1
a3
1
e

r a
（1）
r
2s 态
r ( 2 )e 2 a a 32a 3 r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a 1
k ( x)
kx 2 sin a a
（1）
根据此式计算矩阵元：
x k 'k
2 a k 'x kx sin x sin dx x 0 a a a
1 a (k ' k )x (k ' k )x x [cos cos ]dx a x 0 a a
利用不定积分公式：

H
'
kk
'



* k'
H ' k d
* k er cos ] k d ' [ 0 e
t

0e

t

* k'
(er cos ) k d
（6） 表达：
0 e (ez ) k 'k


t
将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用 t

2 r a
r
[er cos ][
1
a

e 4 2a r e dr sin 2 cos d e i d 4 8a 0 0
3r
（10）
(ez ) 200,100 [er cos ][ e 32a 4 1

[
r
r ( )a 2 a cos ] 32a 3 a
1
r
a 3
r
e a ] r 2 sin drdd
3r 2a

r 0

r 4e

dr


cos 2 sin d
0
d
0
2

e 32a 4 2 7*5 ae 35
4!(
2a 5 1 ) ( cos 3 ) 2 0 3 3
（11）
(1s 2s) 跃迁，即从态 100 跃迁到 200 的几率：
(ez ) 200,100
r



[
r
r (2 )a 2 a ] a 32a 3 1
r
[er cos ][
1
1
a 3

e a ] r 2 sin drdd
r r

r (2 )e 2 a a r 3 d r cos sin d d 0 a 32a 3 r 0 0 0

将三种值分别代入（7） ，得 C 211,100 0, C 211,100 0
C 210,100
2 75 a i 35 [( k ' k ) ]
0e
（12）

相应的跃迁几率（自 100 态 — — 210 态 ）因 k '
E2 e 2 E e2 k 1 8a 2a
~448~

a2 (k ' k )x a cos }0 a (k ' k ) 2 2
'
4k ' ka (1) k k 1 2 (k ' 2 k 2 ) 2
'
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元 x k 'k 0 ， k k 必需要是奇数。但这个规律也可以用别种 方式叙述，当 k k 是奇数时
'
2
Wk ' k
（5）
粒子从基态 k 1 ，跃迁到任何一个偶数态 k 2n 的速率：
W2 n ,1
n2 1024 qa 2 ( ) ( 2 n ,1 ) 3 (4n 2 1) 4
~449~ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为 z 轴方向、电场沿 z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
（4）
代入（3） ，利用波函数的正交归一化关系：

x
( 0) * n
(0) n dx mn
x k 'k ( 0' )
* k

1

{
k (0) k 1 ( 0) k 1 k 1 }dx 2 2

1

1 k k ' ,k 1 2
k 1 ' 2 k ,k 1
2 4 2 q 2 x ( k 'k ) ' kk 3 2
' 64a 2 q 2 k' k2 [(1) k k 1] 2 ( k 'k ) 2 2 2 3 (k ' k 2 ) 4
2
（4）
k ' k 偶数时 Wk 'k 0 ， k ' k 奇数时 k' k2 256 2 q 2 (k ' k ) 3 2 h 2 (k '2 k 2 ) 4
第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷 q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射 光能量密为 ( ) ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰， 可以用专门的公式（12） （§11.4，P396）
2

2
8a
#
[4]计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。 （解）按照爱因斯坦辐射理论，这系数是：
Ak
'
k

4 e k 3 c
2 3
'
k
2
|
r k 'k |
2
（1）
第一激发态是指 E2 的态（四度简并的） ，从第一激发态只能跃迁到基态 E1。关于偶极矩阵 元，应注意到：
|
r k 'k |

因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是 1。 （2）每秒钟从基态 k 0 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到：
W10
4 2 q 2 1 ( 3 2
1 2 ) (10 ) 2

2 2 q 2 (10 ) 3 2 10
~447~
[2]设有一带电 q 的粒子，质量为 ，在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光 照射下发生跃迁，波长 a 。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1 一维无限深势阱定态波函数是： （原点取在势阱左端）

2
（8）
代入（4）中知道 C 200,100 0, W200,100 0即自 1s向2s 的跃迁不存在。再考察 (1s 2 p) 的 跃迁，由于 2p 有三种不同态，自 1s 跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总 和。
(ez ) 211,100
r



[
r
r ( )e 2 a sin e i ] 8 a 3 a 1
r
（2）
2p 态
211 21, 1 210
1
r
（3a）
1
r
（3b）
（3c）
~450~ 这些公式后面都要用来计算几率。 从题意看来， 原子所受的微扰是个随时间变化的函 数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的） ， 因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1 公式（24）
t k ) t ]t

i ( k ' k )
t 1 t0

~451~

0
[( k ' k ) ]
i
(ez ) k 'k
（7）

（前式中利用了 e
i ( ' k ) t
k
1）
其次计算偶极矩阵元与无关部分 (ez ) k 'k ，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：
（5）
'
由此知道，对指定的初态 k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态 k 和初 态 k 的关系必需是：
k ' k 1, 这时 x k 'k x k 1 , k k ' k 1, 这时 x k 'k x k 1 , k
1

1
k 2 k 1 2
（6）
'
k ' k 2k k ' k
必然也是奇数， 因此一维无限深势阱受光照的选择定则是： 表示初态和末态的量子数之和 （或差）应是个奇数
k ' k (2n 1)
'
(n 0,1,2,)
因此 k , k 二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1）
Wk ' k
（2）
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
) x k / k k( 0 ' dx
（3）
式中 k ( x )
(0)
a
k!2
k
H k (ax) ， a


~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
x k( 0 )
1

{
k (0) k 1 ( 0) k 1 k 1 } 2 2
(t ) 1 0 e

0
(t 0) (t 0) (为常数)
求时间充分长后，氢原子跃迁到 2s，或 2p 态的几率。
（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k 态）的波函数是： 100 ，末态（ k 态）的波函
'
数是 200 或 21m ，它们的显式是如下：
i ( ' k ) 1 1 C k 'k (t ) i 0 e (ez ) k 'k e k dt 0 t

0
i
t
(ez ) k 'k
t o
e
1 [ i ( ' k ) ] t
k

dt

0
i
( ez ) k ' k
e
[ i (
k'
C k 'k (t )

1 i
t
H
0
t
' k 'k
e i (k k ) dt
t
'
（4）
微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：
H ' 0 e
'

e r 0 e er cos

（5）
微扰算符 H 在初态 k （即 100 ）以及末态（即 200 或 21m ） k ' 之间的矩阵元是：
~453~
量子力学题解（P454—P473）
W 210 ， 100
| C 210 ， 100
|2
2 e2 0 a2 2 2 [ ( k ' )
15 2 1 ] 3 2

2 15 e2 0 a2 2 2 2 2 [1 ( k ' k ) 2 ] 3 2 2 15 1 e 0 a 2 2 2 2 3 e 3 1 ( )
2
|
x k 'k |
2
|
y k 'k |
2
|
z k 'k |
2
（2）
现在应当分别就四种跃迁计算其跃迁的几率，最后求总和，这才能代表 E2—> E1 的跃迁。 （i） （200—100 跃迁）按照氢原子选择定则：
r 的矩阵元才不全为零。因此这种跃迁是禁约的（ l = l ' = 0 ） 。但是我们也可以不用这个