江苏地区南通市海安县2019年度2020年度学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷

江苏省南通市海安县2019—2020学年度第一学期高三期初调研考试
数学试卷
2019．9
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A＝{0，2，6，8}，B＝{﹣2，4，6}，则A I B＝．
2．已知复数z＝(1﹣2i)·i，其中i为虚数单位，则z的模为．
3．某厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中A型号产品有18件，则n的值为．4．函数256
=-+-的定义域为．
y x x
5．已知长方体ABCD—A1B1C1D1的体积为72，则三棱锥A1—BCD的体积为．6．右图是一个算法流程图，则输出的n的值为．
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22
21x y a
-=(a ＞0)的右焦点的坐标为，
0)，则该双曲线的两条渐近线方程为 ．
8．某饮品店提供A ，B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量．甲、乙二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为 ．
9．已知函数()sin(2)(0)2
f x x π
ϕϕ=+<<图象的一条对称轴方程为x ＝
6
π
，则ϕ的值为 ．
10．设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞1)，前n 项和为n S ．若存在m N *
∈，使得2
m m a a ++＝
15
2
m a +，且29m m S S =，则正整数m 的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形OABC ，其中OA ＝a (a ＞1)，函数y ＝
3x 2交BC 于点P ，函数1
2
y x
-=交AB 于点Q ，则当AQ ＋CP 最小时，a 的值为 ．
12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，CB ＝CD ，∠ADB ＝∠BCD ＝
2
π
，则AC BD ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
13．在△ABC 中，已知点M 为AB 的中点，CM ＝1，
1tan A ，1tan C ，1
tan B
成等差数列，则AB 的长为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：x﹣y＋2＝0与x轴交于点A，点B在直线l1上，直线l2：x＋3y﹣1＝0上有且仅有一点C满足：AC⊥BC（A，B，C两两互不相同），则点B的横坐标的所有可能值之积为．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，已知BC＝3，AC﹣AB＝2，cosB＝1
．
2
（1）求AB，AC的值；
（2）求sin(B﹣C)的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥BC，点D为棱C1C的中点，AC1与A1D 交于点E，BC1与B1D交于点F，连结EF．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面A1B1D⊥平面B1BCC1．
17．（本小题满分14分）
现有一张半径为1 m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h m 的圆锥筒，如图2．
（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为
23
rad ，求圆锥筒的容积； （2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)的右焦点为F，
左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，连结B2F并延长交椭圆于点P，连结PA2，A1B2．记椭圆C的离心率为e．
（1）若e＝1
2
，A1B2．①求椭圆C的标准方程；②求△B2A1F和△PA2F的面积之比．
（2）若直线PB2和直线PA2的斜率之积为9
2
-，求e的值．
19．（本小题满分16分）
已知函数2()x
x bx c
f x e
++=（e 为自然对数的底数），()f x '为()f x 的导函数，且(1)f '0=．
（1）求实数c 的值；
（2）若函数()f x 在x ＝0处的切线经过点(﹣1，0)，求函数()f x 的极值；
（3）若关于x 的不等式()f x ≤2对于任意的x ∈[0，2]恒成立，求实数b 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =(p ，q N *
∈)，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性
质P ．
（1）若数列{}n a 具有性质P ，且1a ＝1，2a ＝2，4a ＝3，5a ＝2，67821a a a ++=，求3a ；
（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比大于1的等比数列，15b c =，
51b c =，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+(N n *
∈)，求证：“对任意的1a ，{}
n a 具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝ 32 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，α＝41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，A α＝94⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
（1）求实数x ，y 的值； （2）求矩阵A 的特征值．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O 为极点，点M(0ρ，0θ)在曲线C ：4sin ρθ=上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，若0θ＝3
π
，求0ρ及l 的极坐标方程．
C ．选修4—5：不等式选讲
对于正实数x ，y 满足11x -≤，21y -≤，求证：12x y -+≤．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在空间直角坐标系O—xyz中，四棱锥P—ABCD的底面ABCD在平面xOy上，其中点A与坐标原点O重合，点D在y轴上，CD⊥AD，BC∥AD，顶点P在z轴上，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．
（1）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（2）设E为PD的中点，点F在PC上，且PF1
，求二面角F—AE—P的正弦值．
PC3
23．（本小题满分10分）
近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
18.。