江苏地区南通市海安县2019年度2020年度学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷

江苏省南通市海安县2019—2020学年度第一学期高三期初调研考试

数学试卷

2019．9

第I卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝{0，2，6，8}，B＝{﹣2，4，6}，则A I B＝．

2．已知复数z＝(1﹣2i)·i，其中i为虚数单位，则z的模为．

3．某厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中A型号产品有18件，则n的值为．4．函数256

=-+-的定义域为．

y x x

5．已知长方体ABCD—A1B1C1D1的体积为72，则三棱锥A1—BCD的体积为．6．右图是一个算法流程图，则输出的n的值为．

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22

21x y a

-=(a ＞0)的右焦点的坐标为，

0)，则该双曲线的两条渐近线方程为 ．

8．某饮品店提供A ，B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量．甲、乙二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为 ．

9．已知函数()sin(2)(0)2

f x x π

ϕϕ=+<<图象的一条对称轴方程为x ＝

6

π

，则ϕ的值为 ．

10．设等比数列{}n a 的公比为q (q ＞1)，前n 项和为n S ．若存在m N *

∈，使得2

m m a a ++＝

15

2

m a +，且29m m S S =，则正整数m 的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形OABC ，其中OA ＝a (a ＞1)，函数y ＝

3x 2交BC 于点P ，函数1

2

y x

-=交AB 于点Q ，则当AQ ＋CP 最小时，a 的值为 ．

12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，CB ＝CD ，∠ADB ＝∠BCD ＝

2

π

，则AC BD ⋅u u u r u u u r

的值为 ．

13．在△ABC 中，已知点M 为AB 的中点，CM ＝1，

1tan A ，1tan C ，1

tan B

成等差数列，则AB 的长为 ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：x﹣y＋2＝0与x轴交于点A，点B在直线l1上，直线l2：x＋3y﹣1＝0上有且仅有一点C满足：AC⊥BC（A，B，C两两互不相同），则点B的横坐标的所有可能值之积为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，已知BC＝3，AC﹣AB＝2，cosB＝1

．

2

（1）求AB，AC的值；

（2）求sin(B﹣C)的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥BC，点D为棱C1C的中点，AC1与A1D 交于点E，BC1与B1D交于点F，连结EF．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求证：平面A1B1D⊥平面B1BCC1．

17．（本小题满分14分）

现有一张半径为1 m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h m 的圆锥筒，如图2．

（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为

23

rad ，求圆锥筒的容积； （2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(a＞b＞0)的右焦点为F，

左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，连结B2F并延长交椭圆于点P，连结PA2，A1B2．记椭圆C的离心率为e．

（1）若e＝1

2

，A1B2．①求椭圆C的标准方程；②求△B2A1F和△PA2F的面积之比．

（2）若直线PB2和直线PA2的斜率之积为9

2

-，求e的值．

19．（本小题满分16分）

已知函数2()x

x bx c

f x e

++=（e 为自然对数的底数），()f x '为()f x 的导函数，且(1)f '0=．

（1）求实数c 的值；

（2）若函数()f x 在x ＝0处的切线经过点(﹣1，0)，求函数()f x 的极值；

（3）若关于x 的不等式()f x ≤2对于任意的x ∈[0，2]恒成立，求实数b 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =(p ，q N *

∈)，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性

质P ．

（1）若数列{}n a 具有性质P ，且1a ＝1，2a ＝2，4a ＝3，5a ＝2，67821a a a ++=，求3a ；

（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比大于1的等比数列，15b c =，

51b c =，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；

（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+(N n *

∈)，求证：“对任意的1a ，{}

n a 具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．

第II 卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A ＝ 32 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，α＝41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，A α＝94⎡⎤⎢⎥⎣⎦

．

（1）求实数x ，y 的值； （2）求矩阵A 的特征值．