“两个基本计数原理”教学案例

“两个基本计数原理”教学案例

苏州市第五中学赵莉（215008）

一、目标定位

计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理．从思想方法的角度看,一个是将问题进行分类思考,一个是将问题进行分步思考,从而达到分解问题﹑解决问题的目的．本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力．所以，无论在知识的结构上，还是对学生的能力培养上，本节课都有十分重要的作用．

基于本节课在教材中的地位和作用，根据《课程标准》的要求，结合学生的认知特点，本节课的目标定位如下：

(一)知识与技能

1. 准确理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,弄清它们的区别；

2. 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题．

(二)过程与方法

1. 培养学生的归纳概括能力,提高他们分析问题和解决问题的能力；

2. 培养学生比较,类比,归纳等数学思想方法和灵活运用的能力．

(三)情感态度价值观

1. 认识数学知识与现实生活的内在联系，激发学生的兴趣；

2. 引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式．

二、案例聚焦

1.用什么方法引导学生归纳出两个计数原理

对分类计数原理和分步计数原理的理解，学生往往有困难，或是停留在一种朴素的阶段．使学生切实理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念是上好本节课的关键，可多设置问题情境,用一些具体的﹑生活中的实例来帮助学生理解．

2.如何让学生正确区分〝分类〞和〝分步〞的含义

让学生自主去探索，获取结论．通过比较分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理的差异．分类加法计数原理中每类方法都能独立完成某件事；分步乘法计数原理中必须每步都做了，才能完成某件事．

三、教学示例

1. 问题情境

情境：春天来了,要从上海到杭州旅游,可以乘火车,也可以乘汽车.我们怎么选择自己的出行呢？把它抽象成一个简单的数学问题.

问题1.1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.若一天中火车有3列,汽车有2辆.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?

2. 学生活动

学生根据生活经验,解答问题1.1，并试图寻找规律.

设问：从甲地到乙地的交通工具可分为_____类方式？

第一类方式，乘火车，有_____种方法；

第二类方式，乘汽车，有_____种方法；

所以从甲地到乙地有_________种方法.

问题1.2：若除了火车和汽车外,还可以乘飞机.一天中飞机有４架.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?

问题1.3：上述每类方式的每种方法能否单独实现从甲地到乙地的目的?

问题2.1：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？

学生根据生活经验,解答问题2，并试图寻找规律.

设问：从甲地到丙地须经_____再由_____到丙地，有_____个步骤？

第一步，由甲地到乙地，有_____种方法；

第二步，由乙地到丙地，有_____种方法；

所以从甲地到丙地有_________种方法.

问题2.2: 若从丙地到丁地的道路有４条．那么先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，最后从丙地到丁地共有多少种不同的走法？

问题2.3: 上述每步的每种方法能否单独实现从甲地到丁地的目的?

3. 建构数学

(1)分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =++⋅⋅⋅+ 种不同的方法．

(2)分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法．

设计意图 引导学生找出两个原理的相同点和区别,从而使以往的生活经验抽象出来,上升为数学上的一般规律,用这一规律来解决更多的问题．

4. 数学运用

例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．

(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?

(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,有多少种不同的选法?

设计意图 例1(1)是单独用分类计数原理的例题,例1(2)是单独用分步计数原理的例题．设计它们的目的是巩固所学的两个基本原理．

例2 (1)在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?

(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法?

分析(1)在图(1)中按要求接通电路,只要在A中的两个开关或Ｂ中的三个开关中合上

一只即可,故有2+3=5种不同的方法.

(2)在图(2)中,按要求接通电路,必须分两步进行;第一步,合上A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关.故有2×3 = 6种不同的方法.

设计意图例2给出了这两个基本原理的一个直观模型,借助串连电路和并联电路来理解两个基本计数原理,弄清它们的区别．

例3苏州的部分电话号码是051265××××××,后面六个数字均来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?

引申若要求最后6个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?

设计意图例3可直接用分步计数原理来解决．在处理时要引导学生对运用基本原理的探求过程进行分析,以深化对基本计数原理的理解．

例4 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

分析按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.

设计意图例4是个难度较大的问题,要引导学生思考为什么完成这件事要分4个步骤,如何选择恰当的顺序来实现这4个步骤．

引申若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？

课堂PK小测试(6题中选2题完成)．

（1）为了对某农作物新品选择最佳生产条件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4种不同种植密度,3种不同时间的因素下进行种植试验,则不同的实验方案共有_______种?

（2）一个商店销售某种型号的电视机，其中国产品牌有4种，合资品牌有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？

（3）设有5副不同的油画，2副不同的国画，7副不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中各选一副布置房间，有几种不同的选法？