卫生统计学课件---方差分析
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(1-0.05)3=0.857
四均数比较作6次 (1-0.05)6=0.735 五均数比较作10次 (1-0.05)10=0.599 六均数比较作15次 (1-0.05)15=0.463
鉴于以上的原因，对多组均数的比较问题 我 们 采 用 方 差 分 析 （ analysis of variance），简称ANOVA。
下，问小白鼠经三种不同营养素喂养后 所增体重有无差别？
本例的总变异中除了不同营养素的变异（处理 差异）、随机误差外，还存在着区组之间的 变异，是由小白鼠的遗传特征不同所致。
x xij表表i.示示第第i个i个处处理理组组第的j个均区数组(=样本n1观i j察x值ij ，)，
x表示第j个区组的均数(= .j
ij
ij
ν总=ν处理+ν区组+ν误差 (νT=νA+νB+νE)
ν总=N-1=bk-1 ν处理=k-1 ν区组=b-1 ν误差=(k-1)(b-1)
(1) 建立假设和确定检验水准
H0: μ1=μ2=μ3 H1: 三组总体均数不相等 α=0.05 (2) 计算检验统计量 C=(Σx)2/N=(1335.9)2/24=74359.53 SST=ΣΣxij 2-C=2681.84 νT=23
方差分析采用F检验统计量，也称F检验。
2．基本思想
先讲述几个记号：
xij表示第i组第j个样本观察值，
x 表示第i组的均数(= i.
1
xij )， ni j
x( x..)
表示总平均=
x 1
N i j ij
例1 某克山病区测得11例克山病患者与13名健康 人的血磷值（mmol/L）如下，问该地急性克山 病患者与健康人的血磷值是否不同？
SST=Σx2-C=372974.87-365093=7881.87
SSE=SST-SSA=7881.87-2384.026=5497.84
νT=N-1=29 νA=k-1=2 νE=N-k=30-3=27 MSA=SSA/νA =1192.01 MSE=SSE/νE =203.62 F=MSA/MSE=5.8540
GROUP
2 0.4281 0.2141 3.99 0.0425
block
7 21.6556 3.0937 57.68 0.0001
Error
14 0.7509 0.0536
Corrected Total 23 22.8346
Analysis of Variance Procedure
Sum of Mean
1． 平方根变换 y=
适用于各组方差与其均数之间有某种 比例关系的资料，尤其适用于总体 呈 Poisson 分 布 的 资 料 ， 如 放 射 性 物 质在单位时间内的放射次数等表现 为稀有现象的计数资料。
2.对数变换 y=lg x
适用于各组标准差与其均数之间有某种 比例关系的资料，如研究动物的体重 等资料，尤其是关于生长率的资料。
（3）查表确定p值和作出推断结论
按α=0.05水平不拒绝H0，认为小白鼠经三 种不同营养素喂养后所增体重无差别。
注：作方差分析时同样可以检验区组效应， 本例区组效应显著，即不同窝别的小白 鼠的增重不全相等。
要区别完全随机化设计和随机区组设计
例 某湖水不同季节的氯化物含量测定值如 下,问在不同季节该湖水中氯化物含量有 无差别？
如果两组样本来自同一总体，即克山病患 者与健康人血磷值相同，则理论上F应 等于1，因为两种变异都只反映随机误 差。由于抽样误差的影响，F值未必是1， 但应在1附近。若F较小，我们断定2组 均数相同，或者说来自同一总体，F较 大，推断不是来自同一总体。
5．优点
① 不受比较的组数限制。 ② 可同时分析多个因素的作用。 ③ 可分析因素间的交互作用。
2．多个实验组与一个对照组均数间的两两比较
有是并不要将几组均数都一一作比较，而 只须将对照组与几个实验组作比较。常 用的方法有：
(1)最小显著差数法（LSD法），侧重于减 少第二类错误，此法精度较差，易把不 该判断为显著的差异错判为显著。
例（续例2）
IGT异常与糖尿病患者的比较 H0:μ1=μ2 H1: μ1≠μ2 α=0.05
方和
SST=
(xij x)2
x
2
N
2
x
ij
ij
ij
及N来反映，总自由度 νT=N-1。
2个组各组内部血磷值也不等，这种变异称为 组内变异，
其大小可用2组组内离均差平方和
及各组例数ni来反映，自由度νE=N-k（k是组 数），它反映了随机误差。
2组样本均数也不等，这种变异称为组间 变异，反映了克山病对血磷值的影响和 随机误差
在医学研究中，也存在区组因素，比如动 物试验中动物的窝别、年龄、性别、地 区的差异等。
例3 对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营 养素，目的是了解不同营养素增重的效
果，采用随机区组设计方法，以窝别作
为划分区组的特征，以消除遗传因素对
体重增长的影响。现将同品系同体重的 24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只 小白鼠。三周后体重增量结果（克）如
3．三者关系
SST (xij x)2 ij
x
[( ij xi ) (xi x)]2
ij
x
( ij xi )2
(xi
x)2
ij
ij
SST=SSA+SSE
νT=νA+νE
4．直观意义
检验统计量
F
MSA MSE
SSA (k 1)
SSE
(N k)
F统计量具2个自由度: ν1, ν2
方差分析
analysis of variance
一．方差分析的基本思想
1．1.意义 前一章介绍了两个样本均数比较的假设检验方 法，但对于3个、4个、5个均数或更多个的比 较，t检验或u检验就无能为力了，或许有人会 想起将几个均数两两比较分别得到结论，再 将结论综合，其实这种做法是错误的。试想 假设检验时通常检验水平α取0.05，亦即弃真 概率控制在0.05以内，但将3个均数作两两比 较，要作三次比较，可靠度成为
患者x1：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
健康人x2：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
24名患者与健康人的血磷值大小不等，称
这种变异为总变异。可以用总离均差平
1 xij)， nj i
x( x表..) 示总平均=
x 1
N i j ij
SS总=SS处理+SS区组+SS误差
=
[(xi. x)(x. j x)(xij xi. x. j x)]2 ij
(xi. x)2 (x. j x)2 (xij xi. x. j x)2
ij
五．多个方差的齐性检验
方差分析中要求各总体的方差相等，所以 在作方差分析前，应作多个方差的齐性 检验，通常用Bartlett法，检验统计量为：
ni为各组样本例数，k为组数 N=Σni si2 为各组方差， sc2为合并方差。
基本思想：假设各总体方差相等，均等于 合并方差（各组方差的加权平均），则 各概率si2与P小sc,2相若差P≤不а会，很拒大绝，方出差现相大等的的x2值假的设， P值可查 P208的x2界值表。
14.8
某湖水中不同季节氯化物含量测定值 (mg/L)
采样点 春
夏
秋
冬
1
22.6
19.1
18.9
19.0
2
22.8
22.8
13.6
16.9
3
21.0
24.5
17.2
17.6
4
16.9
18.0
15.1
14.8
5பைடு நூலகம்
20.0
15.2
16.6
13.1
6
21.9
18.4
14.2
16.9
7
21.5
20.1
16.7
6．应用条件
① 各样本是相互独立的随机样本 ② 各样本来自正态总体 ③ 各组总体方差相等，即方差齐
二．成组设计的多个样本均数比较
例 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、 IGT异常和正常人进行载脂蛋白(mg/dL) 测定，结果如下，问三种人的载脂蛋白 有无差别？
所有人的载脂蛋白的变异可分解为两部 分：
方差不齐时不宜作方差分析，解决方法有： (1)变量变换，使方差齐
（2） 秩和检验 （3）近似F检验
六．变量变换
方差分析和t检验要求：方差齐性、正态 分布。
有时并不能满足，上节已介绍了3种不同 的方法。通过变量变换来改变原数据分 布形式，使之满足上述条件，经过变换， 虽然分布形式已改变，但数据之间的相 对关系仍保留，可以用变换后的数据作 统计分析。
得到方差分析表，查表确定P 值：
（3） 作出推断结论 按 α=0.05 水 平 拒 绝 H0 ， 接 受 H1 ， 认 为 三
种人载脂蛋白的总体均数不同。
三．随机区组设计的方差分析
随机区组设计又称配伍组设计(Random Block Design)。
在农业中如要比较三种化肥的效果，即要比较 施用不同化肥对农作物产量的影响，可以抽 取若干块试验田，分成三组，每组施用一种 肥料，但是地有贫瘠之分，如果某组分得的 地都是瘦地，即使所施化肥效果好，但从农 作物产量上也反映不出来，此时应将地的肥 沃程度考虑进去，以消除田地的影响，这种 因素称作区组因素。
Source
DF Squares Square F Value Pr > F
GROUP
2 0.4281 0.2141 0.20 0.8198
Error
21 22.4065 1.0670
Corrected Total 23 22.8346
四.多个样本均数间的两两比较（又称多重比较）
1．多个样本均数间每两个均数的比较 适用于：在研究设计阶段未预先考虑或未
预料到，经数据结果的提示后，才决定 的多个均数间的两两比较，常见于探索 性研究。 常用方法是q检验（又称Student-NewmanKeuls法，简称SNK法）
检验统计量
q检验界值表见表4，它有两个自由度，一个是 ν=νE，另一个是a，a指将方差分析中的几组样 本均数按从小到大顺序排列后要比较的A、B 两组所包含的组数(包含A、B两组本身)。
组内变异，反映载脂蛋白测定值的随机 误差和个体差异;
组间变异，反映随机误差和不同的生理 病理状态对载脂蛋白的影响。
（1） 建立假设和确定检验水平 H0: 三种人载脂蛋白的总体均数相等, μ1=μ2=μ3 H1: 三组总体均数不相等 α=0.05 （2）计算
C=(Σx) 2/N=(3309.5) 2/30=365093
p>0.05, ∴认为二者无差别
IGT异常与正常人的比较 H0:μ2=μ3 H1: μ2≠μ3 α=0.05
ν=27 0.002<p<0.005, ∴认为二者有差别
（3）Dunnett-t检验
Dunnett-t检验界值表见表5 除了以上介绍的三种方法以外，还有：
Duncan法、Scheffe法等等。
16.2
8
21.2
21.2
19.6
14.8
方法不当会影响统计结果
例 某医师为研究脾切除手术过程中门静脉 压力kPa的变化，测得以下数据，试作 分析。
脾切除手术中不同时期的门静脉压力kPa
病例号 1 2 3 4 5 6 7 8
切脾后 3.92 1.86 3.92 5.29 3.53 3.92 3.53 3.53
当数据中有0或较小值时，也可y=lg(x+1)
例（续例3）对三个人群的载脂蛋白作两两比较。
H0即: 任μA2=个μB人群的载脂蛋白的总体均数相等，
H1: μA≠μB 将3组样本均数从小到大（或从大到小）
顺序排列，并编上组次
组次
1
2
3
均数 102.39 105.45 122.80
组别 IGT异常 糖尿病患者 正常人
三组均数比较的q检验
从p值一栏中可以推断出结论，即IGT异常与正 常人的载脂蛋白有差别, 糖尿病患者与正常人的 载脂蛋白有差别。
某湖水中不同季节氯化物含量测定值 (mg/L)
春
夏
秋
冬
22.6
19.1
18.9
19.0
22.8
22.8
13.6
16.9
21.0
24.5
17.2
17.6
16.9
18.0
15.1
14.8
20.0
15.2
16.6
13.1
21.9
18.4
14.2
16.9
21.5
20.1
16.7
16.2
21.2
21.2
19.6
贲门周围断流后 胃底断流后
3.53
3.53
1.67
1.77
3.92
4.21
5.49
5.68
3.24
3.92
3.92
4.31
4.21
4.31
3.92
4.21
结论:
Analysis of Variance Procedure
Sum of Mean
Source
DF Squares Square F Value Pr > F
四均数比较作6次 (1-0.05)6=0.735 五均数比较作10次 (1-0.05)10=0.599 六均数比较作15次 (1-0.05)15=0.463
鉴于以上的原因，对多组均数的比较问题 我 们 采 用 方 差 分 析 （ analysis of variance），简称ANOVA。
下，问小白鼠经三种不同营养素喂养后 所增体重有无差别？
本例的总变异中除了不同营养素的变异（处理 差异）、随机误差外，还存在着区组之间的 变异，是由小白鼠的遗传特征不同所致。
x xij表表i.示示第第i个i个处处理理组组第的j个均区数组(=样本n1观i j察x值ij ，)，
x表示第j个区组的均数(= .j
ij
ij
ν总=ν处理+ν区组+ν误差 (νT=νA+νB+νE)
ν总=N-1=bk-1 ν处理=k-1 ν区组=b-1 ν误差=(k-1)(b-1)
(1) 建立假设和确定检验水准
H0: μ1=μ2=μ3 H1: 三组总体均数不相等 α=0.05 (2) 计算检验统计量 C=(Σx)2/N=(1335.9)2/24=74359.53 SST=ΣΣxij 2-C=2681.84 νT=23
方差分析采用F检验统计量，也称F检验。
2．基本思想
先讲述几个记号：
xij表示第i组第j个样本观察值，
x 表示第i组的均数(= i.
1
xij )， ni j
x( x..)
表示总平均=
x 1
N i j ij
例1 某克山病区测得11例克山病患者与13名健康 人的血磷值（mmol/L）如下，问该地急性克山 病患者与健康人的血磷值是否不同？
SST=Σx2-C=372974.87-365093=7881.87
SSE=SST-SSA=7881.87-2384.026=5497.84
νT=N-1=29 νA=k-1=2 νE=N-k=30-3=27 MSA=SSA/νA =1192.01 MSE=SSE/νE =203.62 F=MSA/MSE=5.8540
GROUP
2 0.4281 0.2141 3.99 0.0425
block
7 21.6556 3.0937 57.68 0.0001
Error
14 0.7509 0.0536
Corrected Total 23 22.8346
Analysis of Variance Procedure
Sum of Mean
1． 平方根变换 y=
适用于各组方差与其均数之间有某种 比例关系的资料，尤其适用于总体 呈 Poisson 分 布 的 资 料 ， 如 放 射 性 物 质在单位时间内的放射次数等表现 为稀有现象的计数资料。
2.对数变换 y=lg x
适用于各组标准差与其均数之间有某种 比例关系的资料，如研究动物的体重 等资料，尤其是关于生长率的资料。
（3）查表确定p值和作出推断结论
按α=0.05水平不拒绝H0，认为小白鼠经三 种不同营养素喂养后所增体重无差别。
注：作方差分析时同样可以检验区组效应， 本例区组效应显著，即不同窝别的小白 鼠的增重不全相等。
要区别完全随机化设计和随机区组设计
例 某湖水不同季节的氯化物含量测定值如 下,问在不同季节该湖水中氯化物含量有 无差别？
如果两组样本来自同一总体，即克山病患 者与健康人血磷值相同，则理论上F应 等于1，因为两种变异都只反映随机误 差。由于抽样误差的影响，F值未必是1， 但应在1附近。若F较小，我们断定2组 均数相同，或者说来自同一总体，F较 大，推断不是来自同一总体。
5．优点
① 不受比较的组数限制。 ② 可同时分析多个因素的作用。 ③ 可分析因素间的交互作用。
2．多个实验组与一个对照组均数间的两两比较
有是并不要将几组均数都一一作比较，而 只须将对照组与几个实验组作比较。常 用的方法有：
(1)最小显著差数法（LSD法），侧重于减 少第二类错误，此法精度较差，易把不 该判断为显著的差异错判为显著。
例（续例2）
IGT异常与糖尿病患者的比较 H0:μ1=μ2 H1: μ1≠μ2 α=0.05
方和
SST=
(xij x)2
x
2
N
2
x
ij
ij
ij
及N来反映，总自由度 νT=N-1。
2个组各组内部血磷值也不等，这种变异称为 组内变异，
其大小可用2组组内离均差平方和
及各组例数ni来反映，自由度νE=N-k（k是组 数），它反映了随机误差。
2组样本均数也不等，这种变异称为组间 变异，反映了克山病对血磷值的影响和 随机误差
在医学研究中，也存在区组因素，比如动 物试验中动物的窝别、年龄、性别、地 区的差异等。
例3 对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营 养素，目的是了解不同营养素增重的效
果，采用随机区组设计方法，以窝别作
为划分区组的特征，以消除遗传因素对
体重增长的影响。现将同品系同体重的 24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只 小白鼠。三周后体重增量结果（克）如
3．三者关系
SST (xij x)2 ij
x
[( ij xi ) (xi x)]2
ij
x
( ij xi )2
(xi
x)2
ij
ij
SST=SSA+SSE
νT=νA+νE
4．直观意义
检验统计量
F
MSA MSE
SSA (k 1)
SSE
(N k)
F统计量具2个自由度: ν1, ν2
方差分析
analysis of variance
一．方差分析的基本思想
1．1.意义 前一章介绍了两个样本均数比较的假设检验方 法，但对于3个、4个、5个均数或更多个的比 较，t检验或u检验就无能为力了，或许有人会 想起将几个均数两两比较分别得到结论，再 将结论综合，其实这种做法是错误的。试想 假设检验时通常检验水平α取0.05，亦即弃真 概率控制在0.05以内，但将3个均数作两两比 较，要作三次比较，可靠度成为
患者x1：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
健康人x2：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
24名患者与健康人的血磷值大小不等，称
这种变异为总变异。可以用总离均差平
1 xij)， nj i
x( x表..) 示总平均=
x 1
N i j ij
SS总=SS处理+SS区组+SS误差
=
[(xi. x)(x. j x)(xij xi. x. j x)]2 ij
(xi. x)2 (x. j x)2 (xij xi. x. j x)2
ij
五．多个方差的齐性检验
方差分析中要求各总体的方差相等，所以 在作方差分析前，应作多个方差的齐性 检验，通常用Bartlett法，检验统计量为：
ni为各组样本例数，k为组数 N=Σni si2 为各组方差， sc2为合并方差。
基本思想：假设各总体方差相等，均等于 合并方差（各组方差的加权平均），则 各概率si2与P小sc,2相若差P≤不а会，很拒大绝，方出差现相大等的的x2值假的设， P值可查 P208的x2界值表。
14.8
某湖水中不同季节氯化物含量测定值 (mg/L)
采样点 春
夏
秋
冬
1
22.6
19.1
18.9
19.0
2
22.8
22.8
13.6
16.9
3
21.0
24.5
17.2
17.6
4
16.9
18.0
15.1
14.8
5பைடு நூலகம்
20.0
15.2
16.6
13.1
6
21.9
18.4
14.2
16.9
7
21.5
20.1
16.7
6．应用条件
① 各样本是相互独立的随机样本 ② 各样本来自正态总体 ③ 各组总体方差相等，即方差齐
二．成组设计的多个样本均数比较
例 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、 IGT异常和正常人进行载脂蛋白(mg/dL) 测定，结果如下，问三种人的载脂蛋白 有无差别？
所有人的载脂蛋白的变异可分解为两部 分：
方差不齐时不宜作方差分析，解决方法有： (1)变量变换，使方差齐
（2） 秩和检验 （3）近似F检验
六．变量变换
方差分析和t检验要求：方差齐性、正态 分布。
有时并不能满足，上节已介绍了3种不同 的方法。通过变量变换来改变原数据分 布形式，使之满足上述条件，经过变换， 虽然分布形式已改变，但数据之间的相 对关系仍保留，可以用变换后的数据作 统计分析。
得到方差分析表，查表确定P 值：
（3） 作出推断结论 按 α=0.05 水 平 拒 绝 H0 ， 接 受 H1 ， 认 为 三
种人载脂蛋白的总体均数不同。
三．随机区组设计的方差分析
随机区组设计又称配伍组设计(Random Block Design)。
在农业中如要比较三种化肥的效果，即要比较 施用不同化肥对农作物产量的影响，可以抽 取若干块试验田，分成三组，每组施用一种 肥料，但是地有贫瘠之分，如果某组分得的 地都是瘦地，即使所施化肥效果好，但从农 作物产量上也反映不出来，此时应将地的肥 沃程度考虑进去，以消除田地的影响，这种 因素称作区组因素。
Source
DF Squares Square F Value Pr > F
GROUP
2 0.4281 0.2141 0.20 0.8198
Error
21 22.4065 1.0670
Corrected Total 23 22.8346
四.多个样本均数间的两两比较（又称多重比较）
1．多个样本均数间每两个均数的比较 适用于：在研究设计阶段未预先考虑或未
预料到，经数据结果的提示后，才决定 的多个均数间的两两比较，常见于探索 性研究。 常用方法是q检验（又称Student-NewmanKeuls法，简称SNK法）
检验统计量
q检验界值表见表4，它有两个自由度，一个是 ν=νE，另一个是a，a指将方差分析中的几组样 本均数按从小到大顺序排列后要比较的A、B 两组所包含的组数(包含A、B两组本身)。
组内变异，反映载脂蛋白测定值的随机 误差和个体差异;
组间变异，反映随机误差和不同的生理 病理状态对载脂蛋白的影响。
（1） 建立假设和确定检验水平 H0: 三种人载脂蛋白的总体均数相等, μ1=μ2=μ3 H1: 三组总体均数不相等 α=0.05 （2）计算
C=(Σx) 2/N=(3309.5) 2/30=365093
p>0.05, ∴认为二者无差别
IGT异常与正常人的比较 H0:μ2=μ3 H1: μ2≠μ3 α=0.05
ν=27 0.002<p<0.005, ∴认为二者有差别
（3）Dunnett-t检验
Dunnett-t检验界值表见表5 除了以上介绍的三种方法以外，还有：
Duncan法、Scheffe法等等。
16.2
8
21.2
21.2
19.6
14.8
方法不当会影响统计结果
例 某医师为研究脾切除手术过程中门静脉 压力kPa的变化，测得以下数据，试作 分析。
脾切除手术中不同时期的门静脉压力kPa
病例号 1 2 3 4 5 6 7 8
切脾后 3.92 1.86 3.92 5.29 3.53 3.92 3.53 3.53
当数据中有0或较小值时，也可y=lg(x+1)
例（续例3）对三个人群的载脂蛋白作两两比较。
H0即: 任μA2=个μB人群的载脂蛋白的总体均数相等，
H1: μA≠μB 将3组样本均数从小到大（或从大到小）
顺序排列，并编上组次
组次
1
2
3
均数 102.39 105.45 122.80
组别 IGT异常 糖尿病患者 正常人
三组均数比较的q检验
从p值一栏中可以推断出结论，即IGT异常与正 常人的载脂蛋白有差别, 糖尿病患者与正常人的 载脂蛋白有差别。
某湖水中不同季节氯化物含量测定值 (mg/L)
春
夏
秋
冬
22.6
19.1
18.9
19.0
22.8
22.8
13.6
16.9
21.0
24.5
17.2
17.6
16.9
18.0
15.1
14.8
20.0
15.2
16.6
13.1
21.9
18.4
14.2
16.9
21.5
20.1
16.7
16.2
21.2
21.2
19.6
贲门周围断流后 胃底断流后
3.53
3.53
1.67
1.77
3.92
4.21
5.49
5.68
3.24
3.92
3.92
4.31
4.21
4.31
3.92
4.21
结论:
Analysis of Variance Procedure
Sum of Mean
Source
DF Squares Square F Value Pr > F