定积分的性质

m
M
f (x)
oa
bx
例2 估计积分12 (1 x2 )dx 的取值范围。
推论3（定积分绝对值不等式）f (x)在区间 [a,b]上可积，则
b
b
a f (x)dx a f (x) dx
A1
a
A2
b
a f (x)dx A1 A2 A3 A4
A4
A3
b
b
a f (x) dx A1 A2 A3 A4
二、保序性的应用
例1 比较下列定积分的大小.
(1) 1Leabharlann Baidux2dx 与 1 x3dx.
0
0
> 1 x2dx
0
1 x3dx
0
(2) 2 x2dx 与 2 x3dx .
1
1
2 x2dx < 2 x3dx
1
1
三、推论
推论1:若函数 f (x)在区间 [a,b]上可积，且 f (x) 0 ，则：
四：小结
b
a f (x)dx 0.
注：若函数 f (x)在区间 [a,b]上连续，f (x) 0且 f (x) 不恒
等于0 ，则：ab f (x)dx 0.
推论2（积分估值定理）f (x) 在区间 [a,b] 上可积，任意
x [a, b] 恒有 m f (x) M ，则
b
y
m(b a) a f (x)dx M (b a).
§5.2定积分的性质
定积分性质（保序性)
一、定积分的保序性
性质（保序性）若函数f (x) ，g(x)
在区间 [a,b]上可积，且 f (x) g(x)，
则
b
f (x)dx
b g(x)dx.
a
a
f (x)
y
g(x)
oa
bx
注：严格不等式成立需要 f (x), g(x)在[a,b] 上连续，且至 少存在 [a,b]，使得 f ( ) g( ) .