二项式定理常见题型(老师用)

二项式定理
1．二项式定理：
011()()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r
n r
r n C a
b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r
r n
T C a b -+=表示。

3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n
b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。

各项的次数和
等于n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n
n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a
与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：
令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *
+=++++++∈L L
令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *
-=-+-+++-∈L L
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)
k k n n C C -=
②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n
n n n n n C C C C C ++++++=L L ，
变形式1221r n n
n n n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n
n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，
从而得到：02421321
11222
r r n
n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=
⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
00112220120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()
2
(1)(1),()
2
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n
C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n
C
-,12n n
C
+同时取得最
大值。

⑥系数的最大项：求()n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别
为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112
r r
r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法：
【题型一：二项式定理的逆用】
【例1】：12321
666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L
解：012233(16)6666n n n
n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，
123211221666(666)6
n
n n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L
【练1】：1231393 .n n
n n n n C C C C -++++=L
解：设1231393n n
n n n n n S C C C C -=++++L ，则
122330122333333333331(13)1
n n n n
n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)141
33
n n n S +--∴==
【题型二：利用通项公式求n x 的系数】
【例2】：在二项式n
+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？
解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2
900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由
2102
1
10343
4110
10
()
()r r r r
r
r r T C x x C x
--
+--+==，由题意102
3,643
r r r --
+==解得， 则含有3x 的项是第7项63361
10210T C x x +==,系数为210。

【练2】：求29
1()2x x
-
展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r r
r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =
故9x 的系数为3
39121()22
C -=-。

【题型三：利用通项公式求常数项】 【例3】：求二项式210(
x 的展开式中的常数项？
解：5202102
110101()()2r r r r r r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88
910145()2256T C ==
【练3】：求二项式6
1(2)2x x -的展开式中的常数项？
解：666216611(2)(1)()(1)2()22
r r r r r r r r r
r T C x C x
x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33
46(1)20T C =-=-
【练4】：若21
()n x x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =
解：42444212
51()()n n n n T C x C x
x
--==，令2120n -=，得6n =. 【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】
【例4】：求二项式9
展开式中的有理项？
解：1271
936
219
9
()
()(1)r r r
r
r
r r T C x x C x
--+=-=-，令
276
r
Z -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或， 所以当3r =时，
2746r -=，334
449
(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736
r -=，393
3109
(1)T C x x =-=-。

【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】 【例5】
：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .
解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅
1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n
n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-1
1352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-
有题意得，1
82
2562n --=-=-，9n ∴=。

【练5】
：若n
的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：024*******r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=Q L ，1
21024n -∴=，解得11n =
所以中间两个项分别为6,7n n ==
，5654
51462n
T C x -+==⋅，611561462T x -+=⋅
【题型六：最大系数，最大项】
【例6】：已知1(2)2
n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：4652
2,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大
的项是45T T 和3
43471
35()2,2
2T C ∴==
的系数，434
571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，777
8141C ()234322
T ∴==的系数。

【练6】：在2()n
a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即211
2n n T T ++=，也就是第1n +项。

【练7】
：在(
2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n +=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于62
81()72
C =
【例7】：写出在7
()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从
而有34347T C a b =-的系数最小，434
57T C a b =系数最大。

【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2
n x +的展开式中系数最大的项？
解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22
x x +=+Q
111121211
12121244
44
r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式
中系数最大的项为11T ,有12101010
1011121
()4168962
T C x x ==
【练8】：在10
(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设1r T +项最大，1102r r r r T C x +=⋅Q
111010111
12101022
2(11)12(10)22,
r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为777
7810
215360.T C x x == 【题型七：含有三项变两项】
【例9】：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？
解法①：2525
(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式
中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为144
5423C C x 它的系数为144
5423240C C =。

解法②：255505145051455
555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
故展开式中含x 的项为45544
55522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.
【练9】：求式子31
(2)x x
+-的常数项？
解：36
1(2)x x +
-=，设第1r +项为常数项，则66261661(1)(
)(1)r
r r
r r r
r T C x
C x x
--+=-=-，得620r -=,3r =, 33316(1)20T C +∴=-=-. 【题型八：两个二项式相乘】
【例10】：3
4
2
(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.
解：333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅Q 的展开式的通项是C C
444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,n n n n n
x x x m n -⋅-=⋅-⋅==的展开式的通项是其中
342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此
20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.
【练10】
：6
10
(1(1+求展开式中的常数项.
解：436
103412610610(1(1m n m n
m n m n
C x C x C C x --++⋅=⋅⋅展开式的通项为 0,3,6,
0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨
===⎩⎩⎩
其中当且仅当即或或 003468
6106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.
【练11】：2
*
31(1)(),28,______.n x x x n N n n x
+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x ---+
⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n n x x x
n --+-+⋅⋅⋅≤≤Q 展开式中不含常数项 441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且
【题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和】
【例11】
：2006
(,,,_____.x x S x S =
=在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当
解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++L 设=-------①
2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-++L =-------②
3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-L ①②得
2006200620061
(()[((]2
x S x x x ∴=-展开式的奇次幂项之和为
32006
2
20062006300812
,]222
x S ⨯==-=-
=-当
【题型十：赋值法】
【例12】：设二项式1)n x
的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若
272p s +=,则n 等于多少？
解：若20121)n n n a a x a x a x x
=+++⋅⋅⋅+，有01n P a a a =++⋅⋅⋅+，02n n
n n S C C =+⋅⋅+=，
令1x =得4n P =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n
+=⇒+-=解得
216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.
【练12】：若n
x x ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
解：令1x =，则n
x x ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-13的展开式中各项系数之和为264n
=，所以6n =，则展开式的常数项为
3
33
6(C ⋅540=-.
【例13】：2009
12320092009120123200922009
(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+L 若则的值为
解：200920091212002200922009
1
,0,2222222
a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得 200912022009
01, 1.222a a a
x a ==++⋅⋅⋅+=-在令可得因而
【练13】：554321
54321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则
解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得
1234531.a a a a a ∴++++=
【题型十一：整除性】
【例14】：证明：22
*389()n n n N +--∈能被64整除 证：22
113
89989(81)89n n n n n n +++--=--=+--
011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++⋅⋅⋅+++--
011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++⋅⋅⋅++++--01112111888n n n n n n C C C +-+++=++⋅⋅⋅+
由于各项均能被64整除22*
3
89()64n n n N +∴--∈能被整除 以上是二项式定理应用的十一种典型题型，可概括为三个方面的应用：①二项式的展开式及组合先项原理的应用；②通项公式的应用（求指定项如第三项、倒数第二项、含有2x 项、常数项、有理项、无理项等，还可求系数最大的项）；③赋值法的应用。

另外，在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。

练习：
1.已知(a +b )n 展开式中各项的二项式系数之和为8 192, 则(a +b )n 的展开式中项数共有 ( )
A.14
B.13
C.12
D.15
2.ab <0,a +b =1,(a +b )9展开按a 的降幂排列后第二项不大于第三项,则a 的取值范围是 ( )
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-51,
B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,54
C.⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-54, D.(1,+∞)
3.在n
x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-3122的展开式中含常数项，则自然数n 的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
4.设(2+x )10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10,则(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2-(a 1+a 3+…＋a 9)2的值是 ( )
A.1
B.-1
C.0
D.(2-1)10
5.设(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于 ( ) .
A.5
B.6
C.7
D.8 6.在(1－x )4n +1展开式中系数最大的项是 ( )
A.第2n 项
B.第2n +1项
C.第2n 项和第2n +1项
D.第2n +2项
7.(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )9+(1+x )10展开式中x 3项的系数是 ( )
A.310C
B.410C
C.311C
D.411C
8.10
109310210110C 24C C 2C ++++Λ的值为 ( )
A.3×210
B.310
C.21(29-1)
D.2
1
(310-1) 9. 多项式(1-2x )6(1+x )4
展开式中，x 最高次项为 ，x 3的系数为 .
10．)1()2(210-+x x 的展开式中10
x 的系数为 ．（用数字作答） 11 在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为 ( )
A.160
B.240
C.360
D.800
12 求(1+x +x 2)7(1-x )8展开式中x 10的系数.
13．已知9)2(
x x a -的展开式中3x 的系数为4
9，常数a 的值为 ． 14.3
2||1
||⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x 展开式中的常数项是 ( ) A.12 B.-12 C.20 D.-20 15.20
31515⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-展开式中有理项的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
16.(2x+y-z)6展开式中32x y z 的系数是 （ ） A.480 B.160 C.-480 D.-160
17.已知
),()21()1()(*
∈+++=N n m x x x f n m 的展开式中x 的系数为11， ⑴求展开式中2
x 项系数的最小值；
⑵当2
x 项系数取最小值时，求)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和。