计算方法习题 (1)
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
计算方法与实习答案1-2
绪论
习题1——10：设 f ( x) = 8 x 5 − 0.4 x 4 + 4 x 3 − 9 x + 1 用秦九韶法求f(3)。 解：
8 − 0.4
24 8 23.6
0
−9
1
x=3
70.8 74.8
224.4 224.4
673.2 664.2
1992.6 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ε ( x1 − x2 ) ≤ ε ( x1 ) + ε ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 ×10−2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
ln(103 ) ∴k ≥ ln(2) ≥ 9.965
2 2 2
∴需二分10次 需二分 次
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根 f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0 2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴ x≈2.981
方程求根
f (xk )(xk − xk −1) xk +1 = xk − f (xk ) − f (xk −1)
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
速算巧算习题及解析(1)
速算巧算习题（1）1、计算：(1)184＋339＋252＋416＋761(2)900－124－76－38(3)2686－(686＋479)2、计算：(1)986＋426＋588(2)417－(317－89)＋211(3)8＋98＋998＋9998＋999983、计算：189＋937－451＋129－937＋1514、计算：(1)375＋383＋372＋376＋379＋374(2)6＋66＋666＋6666＋666665、计算：876＋997－1997＋4524－148－526、计算：(1)125×236×8(2)67×314＋33×314(3)497500÷4÷257、计算：(1)25×232×5(2)4256÷56(3)1997×19998、计算：(1)21210÷42×6(2)8125÷25＋375÷25(3)2005×187610、计算：1949×－1999×11、计算：(1)5678＋1999；(2)8765－1998．12、计算：(8641＋8642＋8643＋8641＋8643＋8638＋8639)÷7．13、计算：(1)85×27＋85×73；(2)99×99＋99．14、计算：56×32＋56×27＋56×96－56×57＋56．15、计算999×222＋333×334．16、计算125×31．17、计算：(1)23×27，64×66，75×75；(2)43×63，27×87，56×56．18、计算5÷(7÷15)÷(15÷17)÷(17÷21)．19、计算：(2＋4＋6＋…＋996＋998＋1000)－(1＋3＋5＋…＋995＋997＋999)．20、求所得结果末尾有多少个零？21、五个连续奇数的和是555，求其中最大的和最小的数．22、计算98766×98768－98765×98769．23、将下列乘式结果按从大到小排序．331×339，332×338，333×337，334×336，335×335．24、计算765×213÷27＋765×327＋27．25、有一个按一定规律排列的数列1，4，9，16，25，36，…，请问第2004个数比第2003个数大多少？26、计算(1＋46＋57＋68)×(46＋57＋68＋79)－(1＋46＋57＋68＋79)×(46＋57＋68)．速算巧算习题解析（1）1、分析与解答：(1)本题中184与416、339与761的和均为整百数，我们把这种关系称为互补关系．根据加法交换律和结合律，可令这样的两个数先相加，使计算简单化．所以：原式＝(184＋416)＋(339＋761)＋252＝600＋1100＋252＝1952(2)类似地，在本题中的两个减数124和76互为补数，我们可以利用减法的性质(a－b －c＝a－(b＋c))把这两个数先求和，再相减．所以有：原式＝900－(124＋76)＝900－200＝700(3)观察题目中的数字特点，发现如果2686能先减去686就可以得到一个整百数；再观察运算符号的特点，发现可以经过转化达到这一目的，所以我们不妨反向利用减法的性质，打开括号，先减686，再减479，即：原式＝2686－686－479＝2000－479＝15212、分析与解答：(1)观察题目中的三个加数，发现任意两个加数间都没有互补关系．但观察到986加14就得到1000，所以我们可以把其余两个加数中的一个数拆成14与一个数的和，从而达到简算的目的，所以：解法一：原式＝1000＋1000＝2000解法二：原式＝2000由以上这道题，我们发现：当一个算式从数字上不具备简算特征时，通过转化，我们仍可以使计算简单化．(2)观察发现，417和317相减具备简算特征，而89和211相加也具备简算特征．现在考察运算符号：根据加减法计算中去括号的法则：a－(b－c)＝a－b＋c，可以把原式转化为：417－317＋89＋211进行简算．所以：原式＝417－317＋(89＋211)＝100＋300＝400(3)观察题中数字特点，发现几个数都比整十、整百数少2，如果把每个加数都补上2，那么本题就简单了．所以：解法一：可以把8拆成4个2的和，这样：原式＝(2＋98)＋(2＋998)＋(2＋9998)＋(2＋99998)＝111100解法二：也可以用先补后减的方法，即：原式＝(8＋2)＋(98＋2)＋(998＋2)＋(9998＋2)＋(99998＋2)－10＝1111003、分析与解答：观察算式的特点，不难发现：先加937，再减937，相当于没加没减；451和151如果能相减，也能简算，所以计算时，我们可以利用“带符号搬家”的计算方法(即同级运算可以调整运算顺序)把可能简算的数凑到一起，然后再利用运算定律、性质简算．即：原式＝189＋129＋937－937－451＋151＝(189＋129)＋(937－937)－(451－151)＝318＋0－300＝184、分析与解答：(1)观察算式的数字特征，发现算式中没有任意两个数可以简算．但注意到每个加数都在370以上且仅比370多一些．所以计算时可以把它们都看作是370和另一个数的和，这样利用乘法的意义使计算简单化．所以：原式＝370×6＋(5＋13＋2＋6＋9＋4)＝2220＋39＝2259(2)观察算式中各数是有规律地排列的，可以每一个数化成6与1，6与11，6与111，6与1111及6与11111的积，然后简算．原式＝6×(1＋11＋111＋1111＋11111)＝6×12345＝740705、分析与解答：在本题中如果按顺序计算会发现减1997时不够减，看样子要选用一定的计算方法改变运算顺序．注意到加997再减1997，如果能让1997先减997就可以凑成整百数；而且876和4524相加也可以凑成整百数；148和52又是互补数，如果能相加也可凑成整百数．所以：原式＝876＋4524－1997＋997－148－52＝(876＋4524)－(1997－997)－(148＋52)＝5400－1000－200＝42006、分析与解答：(1)本题中125与8的积是1000，又因为1与任何数相乘结果仍得原数，所以计算时可根据乘法交换律和乘法结合律，即：原式＝(125×8)×236＝236000(2)首先观察算式中运算符号的特点，发现是两乘积相加，符合乘法分配律a×(b＋c)＝ac＋be的特点；再观察数字中有相同的因数314，所以可以应用乘法分配律简算．即：原式＝(67＋33)×314＝31400(3)观察算式，发现这是一道整数除法中的连除算式，而且数目较大．但进一步观察发现：除数4与25的积刚好是100，这样计算就简便得多．能不能这样做呢？根据混合运算中乘除法间的关系a÷b÷c＝a÷(b×c) ①a÷b×c＝a÷(b÷c) ②可以把除数4和25通过加括号的方法改成求积，所以：原式＝497500÷(4×25)＝49757、分析与解答：(1)观察算式：发现有因数25和5，而5×2＝10，25×4＝100，所以要巧算本题就要从因数中拆出2和4．注意到232＝4×2×29，所以根据乘法交换律和结合律有：原式＝25×(4×29×2)×5＝(25×4)×29×(2×5)＝29000(2)观察算式发现：这是一道除数是两位数的除法算式，计算时较麻烦，注意到被除数4256一定能除以7，而除数56＝7×8，根据关系式：a÷(b×c)＝a÷b÷c有：原式＝4256÷(7×8)＝4256÷7÷8＝608÷8＝76(3)这是一道四位数乘法计算题，计算时较繁琐，注意到因数1999＝2000－1，而1997乘以2可以口算，所以根据a×(b－c)＝ac－bc有：原式＝1997×(2000－1)＝1997×2000－1997＝－1997＝8、分析与解答：(1)按照运算顺序要先用21210除以42，这一步计算较复杂．如果根据关系式a÷b×c＝a÷(b÷c)能不能简算呢？注意到42除以6商7是一位数，计算时比较简单．所以根据上述关系有：原式＝21210÷(42÷6)＝21210÷7＝3030(2)首先观察算式中数字特点，发现有相同的除数25，且被除数8125与375求和后可得整百数；再观察运算符号，发现与乘法分配律极相似，所以有：原式＝(8125＋375)÷25＝8500÷25＝85×4＝340算一算6÷(3＋3)和6÷3＋6÷3．它们的商一样吗？想想什么时候才能去括号？另解：本题也可以根据商不变的性质．分别解答，但与前一种方法比要复杂一些．原式＝8125×4÷100＋375×4÷100＝325＋15＝340(3)同例2中的(3)相类似，发现2005＝2000＋5，即把2005拆成2000与5的和，再根据乘法分配律进行简算．此外因为5＝10÷2，所以1876×5＝1876×10÷2，也可以口算出得数．所以：原式＝(2000＋5)×1876＝2000×1876＋5×1876＝＋9380＝9、分析与解答：(1)观察算式，从运算符号上看不出可以简算，同时数字也不是很接近整十、整百的数，所以也不能应用乘法分配律进行简算．但注意到两个因数十位数字都是7，而且个位数字和是10．我们把这种情况称为“头同尾补”，像这种“头同尾补”的乘法算式可以这样算：原式＝7×(7＋1)×100＋4×6＝5600＋24＝5624规律是:积的末两位是两个个位数字之积,首位是十位数字乘以比它大1的数.也就是用“头数×(头数＋1)×100＋尾数×尾数．”(2)如果因数中有9、99、999等数字就可以利用乘法分配律进行计算，分析算式，注意到333＝3×111，这样可以凑成999，从而使计算简便．所以：原式＝(333×3)×111＝(1000－1)×111＝110889(3)受题(2)的启示，可以把拆成的积，从而凑出．所以：原式＝22……200……0－22222222210、分析与解答：观察题目中，被减数与减数的因数部分虽然各不相同，但它们间数字极相似．注意到＝1999×10001，＝1949×10001，这样：原式＝1949×1999×10001－1999×1949×10001＝011、分析算式中出现有接近整十、整百、整千……的数时，利用补数凑整是十分常用的办法，但需要注意的是，在凑整的计算过程中，应注意把多加的数减去，多减的数加上，切忌发生该加却减，该减却加的情况．解(1)5678＋1999＝5678＋2000－1＝7678－1＝7677．(2)8765－1998＝8765－(2000－2)＝8765－2000＋2＝6765＋2＝6767．12、分析这里的7个加数都不接近整十、整百、整千……不能采用上题的凑整的办法，但是可以发现括号内所有加数都接近于8640，要么大一点点，要么小一点点，这样我们可以选择8640作基准数，然后再补上大的或是小的那一点．解(8641＋8642＋8643＋8641＋8643＋8638＋8639)÷7＝(8640×7＋1＋2＋3＋1＋3－2－1)÷7＝(8640×7＋7)÷7＝8640＋1＝8641．13、分析在计算两个积的和或差时，常常使用乘法分配律，提出相同的项，剩下的项求和或是求差刚好可以凑成整数．解(1)85×27＋85×73＝85×(27＋73)＝85×100＝8500．(2)99×99＋99＝99×99＋99×1＝99×(99＋1)＝99×100＝9900．14、分析乘法分配律同样适用于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意提走公共乘数后所剩的乘数前面的符号．同样的，乘法分配律也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整数，再补上它们的和或是差．解56×32＋56×27＋56×96－56×57＋56＝56×(32＋27＋96－57＋1)＝56×99＝56×(100－1)＝56×100－56×1＝5600－56＝5544．15、分析看到此题的结构，应感觉到也许可以用前面的乘法分配律进行简算，但4个乘数中并没有相同项，仔细观察可以发现999＝333×3，这样我们就制造出一个相同的乘数，然后再利用乘法分配律．解999×222＋333×334＝333×3×222＋333×334＝333×666＋333×334＝333×(666＋334)＝333×1000＝333000．16、分析我们都知道5×2＝70，25×4＝100，125×8＝1000，所以当见到题目中出现的125时，就会想到去找125×8，但本题却是125和一个奇数相乘，应该怎么办呢？可以联想到前面的乘法分配律，我们将31写成32－1，32是8的4倍，这样就有8了．解125×31＝125×(32－1)＝125×32－125×1＝125×8×4－125＝4000－125＝3875．17、分析(1)这3道题中，相乘的两个两位数有如下特点，十位数字相同，个位数字之和为10，我们把这种情况称为头同尾补，头同尾补有如下速算法：积＝头×(头＋1)×100＋尾×尾．对于23×27可以这样计算23×27＝2×(2＋1)×100＋3×7＝621．这个方法不仅对于两位数适用，对于多位数的头同尾补也适用，例如：191×199＝19×(19＋1)×100＋1×9＝38009．(2)这3道题中，相乘的两个两位数，十位数字之和为10，个位数字相同，我们称之为头补尾同，这时的速算法为：积＝(头×头＋尾)×100＋尾×尾．对于43×63可以这样计算43×63＝(4×6＋3)×100＋3×3＝2709．解(1)23×27＝2×(2＋1)×100＋3×7＝621，64×66＝6×(6＋1)×100＋4×6＝4224，75×75＝7×(7＋1)×100＋5×5＝5625．(2)43×63＝(4×6＋3)×100＋3×3＝2709，27×87＝(2×8＋7)×100＋7×7＝2349，56×56＝(5×5＋6)×100＋6×6＝3136．18、分析按照一般的运算优先次序，应该先计算括号内的算式，可是括号内的除法不能整除，商都不是整数，计算起来比较麻烦，我们利用去括号和带符号搬家的办法来解这道题，在乘除法运算中去括号或添括号的办法是如果括号前面是乘号，去掉括号后，原括号内的符号不变，如果括号前面是除号，去掉括号后，原括号内的乘号变成除号，原除号变成乘号，添括号的方法与去括号类似．解5÷(7÷15)÷(15÷17)÷(17÷21)＝5÷7×15÷15×17÷17×21＝5÷7×21＝5×(21÷7)＝5×3＝15．19、分析题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦．但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1＝4－3＝6－5＝…＝1000－999＝1，因此可以对算式进行分组运算．解解法一：分组法解法二：等差数列求和(2＋4＋6＋…＋996＋998＋1000)－(1＋3＋5＋…＋995＋997＋999)＝(2＋1000)×500÷2－(1＋999)×500÷2＝1002×250－1000×250＝(1002－1000)×250＝500．20、分析对于一个乘数中所有数字都是9的乘法运算，最常用的办法就是凑数．在本题中可将化为来运算．解答结果末尾有4016个零．21、分析我们已经知道在奇数个数组成的等差数列中，中项是数列中所有数的平均值，求出中项，自然可以得到其他的数．解555÷5＝111，最大的数和最小的数分别比中间数大4和小4．所以这五个数是107，109，111，113，115．答最小的数是107，最大的数是115．22、分析将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成98765＋1，将98769拆成98768＋1，这样就保证了减号两边都有相同的项．解98766×98768－98765×98769＝(98765＋1)×98768－98765×(98768＋1)＝98765×98768＋98768－(98765×98768＋98765)＝98765×98768＋98768－98765×98768－98765＝98768－98765＝3．23、分析这几组乘式符合头同尾补的速算法，即积＝头×(头＋1)×100＋尾×尾．由于所有乘数的前两位都相同，因此要比较大小，我们只需看它们尾数之积的大小，即比较1×9，2×8，3×7，4×6，5×5的大小，可以看出335×335最大．请注意上面每个乘式中两个乘数之和都等于670，也就是说这些数是由同一个整数670拆成的两部分，对于这种情况有下面的规则．一般地说，将一个整数拆成两部分或两个整数，两部分的差值越小，这两部分的乘积越大．解结果从大到小是335×335，334×336，333×337，332×338，331×339．24、分析类似乘法分配律，求除数相同的两个商的和或差有a÷C＋b÷C＝(a＋b)÷C；a÷C－b÷C＝(a－b)÷C．25、分析首先要找到题中数列的规律，发现第一项1＝1×1，第二项4＝2×2，第三项9＝3×3，第四项16＝4×4，……可以推出第2004项是2004×2004，第2003项是2003×2003，然后利用乘法分配律求差．解2004×2004－2003×2003＝2004×(2003＋1)－2003×2003＝2004×2003＋2004－2003×2003＝2004×2003－2003×2003＋2004＝(2004－2003)×2003＋2004＝2003＋2004＝4007．26、分析我们注意到算式的特点，式子(1＋46＋57＋68)，(46＋57＋68)反复出现．我们不妨把一些长式子看作一个整体，设(1＋46＋57＋68)＝a，(46＋57＋68)＝b，则有a －b＝1．则原式＝a×(b＋79)－(a＋79)×b＝a×b＋79×a－a×b－79×b＝79×(a－b)＝79．。
破十法、平十法、凑十法练习题(一年级数学必会的三种计算方法)
破十法、平十法、凑十法破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数13-5=18-9=13-4=12-9=13-4=12-8=15-7=15-7=17-8=12-7=14-7=11-5=16-8=13-6=15-6=17-9=12-4=12-5=11-5=16-8=11-5=13-6=11-6=15-8=11-5=12-4=16-9=17-8=16-7=13-7=15-8=13-8=12-3=14-8=16-9=13-6=17-9=18-9=13-5=12-3=12-3=14-6=13-8=12-6=15-9=16-9=16-7=14-7=13-7=17-8=破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数12-5=16-9=13-5=15-6=16-8=11-3=15-7=14-6=17-9=11-2=18-9=18-9=12-7=14-6=16-7=15-6=12-3=11-4=18-9=17-9=13-8=13-5=18-9=13-7=14-8=14-5=15-8=13-5=11-3=15-6=17-9=11-5=16-9=15-9=13-5=14-7=17-9=17-8=16-8=14-7=12-3=14-7=15-9=12-7=12-6=16-7=12-6=14-7=14-6=13-8=破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数18-9=11-6=17-9=13-6=12-3=14-6=12-5=13-8=14-7=15-9=17-8=18-9=12-4=15-9=11-7=13-4=14-6=15-6=12-5=17-9=12-9=15-7=11-5=17-8=13-4=16-7=13-4=12-3=18-9=14-6=11-4=15-8=16-8=16-7=15-8=13-5=17-9=14-7=11-3=13-6=12-7=16-7=18-9=13-9=16-9=15-8=12-6=13-5=15-6=12-6=破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数13-6=11-2=12-9=13-5=11-5=17-9=13-4=11-8=16-9=15-7=11-2=14-8=13-5=14-5=13-8=15-8=16-9=14-6=15-9=11-5=14-7=12-5=16-7=17-8=14-7=16-8=14-7=13-6=14-7=13-5=13-9=11-3=15-8=11-2=16-8=11-5=18-9=11-3=14-8=12-9=13-7=17-8=16-8=13-4=11-7=12-9=15-6=12-7=12-6=13-8=破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数破十法口诀：看大数，分出十，减小数，加剩数13-8=12-8=15-9=11-3=18-9=17-9=11-3=11-8=12-6=15-7=12-6=14-6=12-5=16-7=13-8=11-5=16-8=14-6=15-6=11-5=14-7=17-9=16-9=14-8=14-6=16-9=13-7=17-8=11-7=17-9=11-2=11-3=15-6=17-9=16-8=14-5=12-5=13-4=13-5=12-9=17-8=15-8=16-8=18-9=11-7=13-6=18-9=14-7=12-6=12-4=平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数16-9=18-9=11-4=12-9=12-8=12-8=15-8=15-7=11-8=16-7=14-7=13-7=16-8=13-6=15-6=13-6=12-3=12-5=11-4=17-8=11-5=14-6=13-6=17-8=11-5=12-4=11-9=17-8=16-7=13-7=15-8=16-8=11-2=14-8=16-9=16-7=17-9=18-9=12-5=12-3=15-6=13-5=13-8=15-6=15-9=17-9=12-4=12-7=13-7=11-6=平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数13-5=11-2=12-9=12-5=14-5=17-9=13-4=11-8=16-9=15-7=11-2=14-8=13-5=14-5=13-4=15-8=16-9=14-6=15-8=11-5=14-7=12-5=16-7=11-3=14-7=16-8=14-7=13-6=14-7=18-9=18-9=11-3=15-8=18-9=16-8=11-5=18-9=11-4=16-8=12-4=13-7=17-8=16-8=13-4=11-9=12-9=15-6=17-9=11-6=13-8=平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数15-7=17-9=12-6=11-9=16-9=11-8=15-6=15-7=16-7=14-8=18-9=11-3=14-8=11-4=15-6=14-6=13-8=11-5=12-5=11-5=13-5=12-3=13-9=17-8=13-9=12-4=15-9=16-8=15-6=11-6=17-8=11-2=15-9=14-8=17-8=11-7=16-7=12-6=18-9=14-7=12-6=14-8=18-9=12-6=15-9=16-9=12-5=14-7=13-7=12-4=平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数13-7=11-2=15-9=11-3=15-7=14-5=12-3=11-4=14-6=12-8=18-9=14-6=12-5=11-5=15-9=12-4=16-8=14-6=15-6=14-6=14-6=17-9=16-9=14-8=13-5=11-5=15-7=17-8=16-7=12-4=16-9=11-3=15-6=17-9=14-8=17-8=13-5=12-3=13-5=11-7=15-9=14-8=13-8=18-9=16-8=14-7=18-9=14-7=12-6=17-9=平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数平十法口诀：看大数的个位，分小数，连续相减算得数13-4=11-6=17-9=13-6=12-3=14-9=12-7=13-8=14-7=13-5=17-8=13-6=12-9=15-9=11-7=11-5=14-9=15-6=12-6=17-9=12-9=15-7=11-5=16-8=13-4=16-7=11-3=12-4=12-3=12-6=15-8=16-8=16-8=15-7=14-8=13-5=17-9=14-7=11-3=18-9=12-4=13-7=18-9=13-9=15-7=15-8=12-6=13-5=15-6=12-6=凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数7+4=9+6=5+9=9+6=2+9=4+9=8+7=7+8=4+7=9+9=3+8=7+6=3+9=5+9=7+6=9+5=4+9=5+6=8+6=6+5=8+3=5+6=6+5=6+5=7+4=6+5=9+3=8+4=8+3=9+3=5+8=6+7=6+8=5+7=5+8=9+2=3+8=4+7=3+9=9+6=8+7=7+7=9+6=7+8=5+9=5+8=8+6=8+5=5+6=8+6=凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数2+9=7+5=3+8=7+4=6+6=9+8=9+3=8+6=8+7=5+7=5+7=6+9=7+4=5+6=3+8=8+6=8+6=6+6=6+9=9+9=6+5=9+6=9+5=7+7=7+6=8+3=7+4=5+7=6+5=8+5=6+8=5+7=4+9=9+2=5+9=7+7=4+8=8+6=7+5=6+5=5+6=6+5=9+8=8+7=9+3=9+5=9+7=8+4=9+6=8+9=凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数8+3=9+2=5+9=8+3=9+2=7+5=8+3=9+8=9+6=5+7=9+6=7+6=8+7=6+7=3+8=6+5=6+5=7+6=5+6=9+5=7+4=7+4=6+5=9+3=7+6=6+9=5+7=8+6=6+5=8+5=8+8=9+3=5+8=9+2=6+8=9+5=8+5=9+3=7+5=2+9=8+7=7+8=6+6=8+4=9+7=5+6=8+6=9+7=9+6=8+6=凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数9+9=9+2=2+9=8+3=9+6=8+5=8+3=9+8=6+6=5+7=9+3=7+4=8+5=7+7=8+8=6+5=6+5=7+6=5+9=9+5=7+4=8+6=6+5=9+3=7+7=6+6=4+7=8+6=4+7=8+5=3+9=9+3=5+8=9+2=6+8=9+5=8+5=9+3=4+8=2+9=8+7=7+8=6+6=8+3=9+7=4+9=5+6=9+7=9+4=8+8=凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数凑十法口诀：看大数，分小数，凑成十，加剩数20以内进位加法之凑十法练习题（10）7+7=5+6=9+6=2+9=9+9=9+8=4+9=5+7=8+7=7+4=8+3=9+3=4+8=9+6=5+6=7+6=8+8=6+5=8+5=6+5=6+5=9+7=3+9=3+8=3+9=8+4=6+5=8+5=2+9=9+7=6+6=3+8=5+9=5+8=6+5=9+7=7+5=8+6=9+5=4+7=8+6=4+8=9+8=8+6=5+9=9+5=8+5=7+7=9+7=8+6=。
数值计算方法复习题1
习题一1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（1）5，，；（2）2，，；（3）4，，；（4）5，，；（5）1，，；（6）2，，（7）6，，2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？；；3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）（1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，(3)的结果最好.（1）；(2）； (3）(4）5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？不稳定。
从计算到时，误差约为6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
，7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
1）；2）3）；4）;8. 设，求证：1）2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有已知x*的相对误差满足，而，故即10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有（3位）有效数字。
13.计算取，利用（）式计算误差最小。
四个选项：习题二1. 已知，求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。
解：；，介于x和0，1决定的区间内；，当时。
3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
0.54667，0.000470；0.54714，0.0000290.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.717364. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D1
五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。
1. 基础复合函数二阶导数2. 函数和差类型二阶导数3. 函数乘积类型二阶导数4. 函数商类型二阶偏导数5. 三角函数二阶偏导数五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤☂1：求y=(9x+19)4二阶导数。
☂2：求y=92-17x 2 的二阶导数。
☂3：求y=e 7x 二阶导数y"的计算过程。
☂4：计算y=sin(13x+25)的二阶导数。
☂5：求y=e 8x 2cos4x+7x 二阶导数。
☂6：求y=ln(4x-8x 2-22)的二阶导数。
☂7：求y=10x2+2x-42的二阶导数。
☂8：求y=8x5+28x8-21x+33的二阶导数。
☂9：求y=x8-9x2+3x+17的二阶导数。
☂10：计算y=10x5-sin4x的二阶导数。
☂11：求y=cos(8x+12)+x11+e2的二阶导数过程。
☂12：求函数y=x(56-14x)的二阶导数。
☂13：y=xe4x的二阶导数。
☂14：y=x 5*6x的二阶导数。
☂15：求y=xe -x 5+8的二阶导数。
☂16：y=sin14x*cos5x，求此函数的二阶导数。
☂17：z=xln(7x+8y)，求其所有二阶偏导数。
☂18：求y=x-74x+59的二阶导数。
☂19：函数 y=35x 2-9x+1的二阶导数。
☂20：求y=8x 16+x 2的二阶导数。
☂21：计算y=sin11x x+3的二阶导数。
☂22：求y=x+x x 2-17的二阶导数。
☂23：y=sin 10x 求二阶导数。
☂24：求函数y=cos2xtan10x 的二阶导数。
☂25：求函数y=cos(11x+28)x的二阶导数。
☂26：求z=sin(x 2+2y)的二阶偏导数。
☂27：求z=sin 7(11x+39y)的二阶偏导数。
☂28：求函数z=sin 9x -x 3y 3+e 7的二阶偏导数。
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1。
*x=–12。
0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限≤41021-⨯。
(）2。
对两个不同数的近似数，误差越小,有效数位越多。
( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（)4.用212x-近似表示cos x产生舍入误差。
( )5. 3。
14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
（ )二、填空题1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ;2. *x =–0。
003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为 ；5。
设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题1．*x =–0。
026900作为x 的近似值,它的有效数字位数为（ ） .(A ） 7； (B) 3；（C ） 不能确定 （D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
（A ） 只取有限位数 （B ） 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C ） 观察与测量 （D ） 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( ）误差。
（A ）. 模型 （B ）。
观测 （C ）. 截断 （D ）. 舍入4．用s ＊=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度），s t 是在时间t 内的实际距离,则s t - s ＊是（ ）误差。
（A)。
舍入 (B ）. 观测 （C ）。
模型 (D ）. 截断5．1。
41300作为2的近似值，有（ ）位有效数字。
（A) 3; (B ） 4； (C) 5； (D ） 6。
四、计算题1． 3.142，3.141，227分别作为π的近似值，各有几位有效数字？2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%,问测量球直径的相对误差限最大为多少？3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1）1||,11211<<+-++x x x x ， （2） 1||1112<<+⎰+x dt t x x（3） 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21g t 2，g 为重力加速度。
计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101101|*||)(|1211*=⨯≤⨯≤-=+-+-n rx x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10110113%3.0)(--⨯≤⨯=<=x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
5 计算76017591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
【化学】初三化学化学方程式的计算(一)解题方法和技巧及练习题及解析
【化学】初三化学化学方程式的计算(一)解题方法和技巧及练习题及解析一、中考化学方程式的计算1．为测定某石灰石矿中碳酸钙的含量，进行了如下实验：称取10g石灰石样品，高温煅烧至质量不再改变，称得剩余固体质量为6.7g（假设杂质不参与反应）。
请计算：（1）反应生成的CO2的质量______________。
（2）该石灰石样品中碳酸钙的质量分数____________。
【答案】3.3g 75%【解析】【分析】【详解】（1）由质量守恒定律，反应生成的CO2的质量为10g-6.7g=3.3g，故填：3.3；（2）解：设该石灰石样品中碳酸钙的质量为x3222CaCO+2HCl=CaCl+H O+CO10044x 3.3g10044=x 3.3g↑x=7.5g该石灰石样品中碳酸钙的质量分数为7.5g10g×100%=75%答：该石灰石样品中碳酸钙的质量分数为75%。
2．硝酸铵是农业生产中常用的化学肥料。
为测定某含有少量NaNO3的硝酸铵样品中NH4NO3的纯度，取2.0g该硝酸铵样品于容器中，滴入5.0g 20%的NaOH溶液。
反应过程中放出的氨气质量及加入的NaOH溶液的质量的关系如图所示：完成有关计算：（1）样品中硝酸铵的质量是____________ g。
（2）所得溶液中 NaNO3的质量分数是___________（保留一位小数）。
【答案】1.6 31.5%【解析】【分析】（1）从图中可看出氢氧化钠溶液滴加到4克时硝酸铵恰好完全反应，根据参加反应的氢氧化钠的质量求出硝酸铵的质量，即可解答；（2）根据参加反应的氢氧化钠的质量求出生成的硝酸钠的质量，用生成的硝酸钠的质量+原有的硝酸钠的质量为所得溶液中硝酸钠的质量；用样品的质量+所加氢氧化钠溶液的质量-氨气的质量（氨气的质量可根据氢氧化钠的质量求出）为所得溶液的质量；再根据溶质质量分数计算公式即可求出所得溶液中硝酸钠的质量分数。
【详解】（1）设2.0g 样品中含NH 4NO 3的质量为x 。
《比一个数的几倍多(或少)几的计算方法》练习题
7.4比一个数的几倍多（或少）几的计算方法1.看图列式计算。
2.公园里有蜻蜓24只，蝴蝶的只数比蜻蜓的3倍多6只，小鸟的只
数比蜻蜓的4倍少5只，蝴蝶多少只？小鸟有多少只？
3.一个机器人的价钱是24元，一辆玩具小汽车的价钱比一个机器人价钱的4倍还多6元，一辆玩具小汽车的价钱多少元？
4.佳佳餐厅购买了25千克白菜，购买的土豆比白菜的3倍少8千克，购买土豆多少千克？
5.小丽今年8岁了，妈妈的岁数再年轻3岁就正好是小丽年龄的4倍，妈妈今年多少岁？
答案提示
1.（1）36×4=144（元）144+26=170（元）答：大衣170元。
（2）71×6=426（km）426-33=393（km）答：甲地到丙地的距离是393km。
（3）28×5=140（盏）140-17=123（盏）答：球形灯有123盏。
（4）10×3=30（辆）30-6=24（辆）答：小轿车有24辆。
2. 24×3=72（只）72+6=78（只）
24×4=96（只）96-5=91（只）
答：蝴蝶78只，小鸟91只。
3.24×4=96（元）96+6=102（元）答：一辆玩具小汽车的价钱102元。
4.25×3=75（千克）75-8=67（千克）答：购买土豆67千克。
5.4×8=32（岁）32+3=35（岁）答：妈妈今年35岁。
1简便方法计算
1、加法交换律：两个加数交换位置，和不变。
这叫做加法交换律。
用字母表示：a+b=b+a2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
这叫做加法结合律。
用字母表示：（a+b）+c= a +( b+c)3、乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。
这叫做乘法交换律。
用字母表示：a×b=b×a4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
这叫做乘法结合律。
用字母表示：（a×b）×c= a ×( b×c)5、乘法分配率：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
这叫乘法分配律。
用字母表示：（a+b）×c=a×b+b×ca×(b+c)=a×c+a×c拓展：（a-b）×c=a×c×ca×(b-c)=a×b-a×c6、减法的性质：一个数连续减去两个数，可以减去这两个凑数的和。
用字母表示：a-b-c=a-(b+c) a-(b+c)=a-b-c7、一个数连续减去两个数，可以先减去第二个减数，再减去第一个减数。
用字母表示：a-b-c=a-c-b8、除法的性质：一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的和。
用字母表示：a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c)=a÷b ÷c9、一个数连续除以两个数，可以先除以第二个数，再除以第一个数。
用字母表示：a÷b÷c=a÷c÷b简便计算练习题1158+262+138 375+219+381+2255001-247-1021-232 (181+2564) +2719378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) 2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755-(2187+755) 2214+638+286 3065-738-1065 899+344 2357-183-317-357 2365-1086-214 497-299 2370+1995 3999+498 1883-398 12×25 75×24 138×25×4(13×125)×(3×8) (12+24+80)×50简便计算练习题2704×25 25×32×125 32×(25+125 )88×125 102×76 58×98178×101-178 84×36+64×84 75×99+2×75 83×102-83×2 98×199 123×18-123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×(24+16) 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷7516800÷120 30100÷2100 32000÷40021500÷125 49700÷700 1248÷243150÷15 4800÷25简便计算练习题32356-(1356-721) 1235-(1780-1665) 25x(4+8) 31×870+13×310 4×(25×65+25×28)第一种(300+6)x12 75×27+19×2 5125x(35+8) (13+24)x8 第二种84x101 504x25 78x102 25x204 第三种99x64 99x16 638x99 999x99 第四种99X13+13 25+199X2532X16+14X32 78X4+78X3+78X3 第五种125X32X8 25X32X12588X125 72X125 72X125简便计算练习题4第六种3600÷25÷4 8100÷4÷75 3000÷125÷8 1250÷25÷5第七种1200-624-76 2100-728-772273-73-27 847-527-273第八种278+463+22+37 732+580+268 1034+780320+102 425+14+186 第九种214-(86+14) 787-(87-29)365-(65+118) 455-(155+230)第十种576-285+85 825-657+57690-177+77 755-287+87第十一种871-299 157-99363-199 968-599第十二种178X101-178 83X102-83X2 17X23-23X7 35X127-35X16-11X35简便计算练习题5:容易出错类型(共五种类型)600-60÷15 20X4÷20X4 736-35X2025X4÷25X4 98-18X5+25 56X8÷56X8280-80÷4 12X6÷12X6 175-75÷2525X8÷25X8 80-20X2+60 36X9÷36X936-36÷6-6 25X8÷(25X8) 100+45-100+45 15X97+3 100+1-100+1 48X99+1 1000+8-1000+8 5+95X28 102+1-102+1 65+35X13 25+75-25+75 40+360÷20-10 78×101-78 52×76+47×76+7625×23×(40+4) 999×999+1999 184+98695+202 864-199 738-30134×6-134+45×134 48×52×2-4×48 380+476+120 (569+468)+(432+131) 704×25 256-147-53 373-129+29 189-(89+74) 28×4×25 125×32×25 9×72×125简便计算练习题7720÷16÷5 630÷42 456-(256-36)102×35 98×42 158+262+138375+219+381+225 5001-247-1021-232 (181+2564) +2719 3 78+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125)(2130+783+270)+1017 99+999+9999+999997755-(2187+755) 2214+638+2863065-738-1065 899+344 2370+1995 2357-183-317-357 2365-1086-214 497-299简便计算练习题83999+498 1883-398 12×25 75×24138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50 25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76 178×101-178 84×36+64×84 75×99+2×75 123×18-123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×(24+16) 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷75 158+262+138 98×199。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
三年级数学下册计算部分复习题1
计算部分复习题1、直接写出得数。
（略）2、列竖式计算，除法的要验算。
76×34= 18×45= 94×26= 62×91= 38×26=75×28= 543÷3= 804÷4= 756÷8= 545÷5=567÷8= 819÷8= 324÷3= 985÷7= 720÷3=704÷5= 8016÷4= 362÷3= 10-3.5= 3.75+5.25=7.6-3.57= 6.7+2.4= 9.80+7.5= 30.2-24.8=3、脱式计算。
24×5+700 81÷3÷9 40+60÷5 500-300÷4700-600÷5 50+50×22 346÷2+506 17 ×34－27837+16×28 65+11×12 56+37×21 61+12×2343+21×23 45+32×55 38+25×31 48+52×21 87+35×4999+46×97 44+81×33 31+98×7638+53×47 67+81×90 99+54×5656+56×76 190+18×11 41+51×8796+72×44 98+55×67 37+43×7732+58×86 25+67×22 44+88×2299+65×34 89+78×46 48+63×9156+89×77 35+49×82 47+99×8958+85×33 49+65×33 79+92×93125+82×37 152+58×33 117+58×77 196+55×31 198+12×89 137+22×88 132+12×37 250+23×38 440+13×36 199+25×89 819+49×90 418+57×67 516+27×36 315+57×34 147+28×36 518+18×47 419+29×54 128+28×19 319+32×56 189+42×37 818+41×53 32+65×37 850+27×38 269+85×39 215+35×47 652+78×36 107+29×64 307+77×83 635+57×86 556+38×87 671+92×23 493+18×67 465+85×34 378+54×27 498+56×26 807+51×46 909+37×35 414+58×47 731+59×67 308+47×87 167+81×90 299+33×77 506+21×49 190+76×34 41+47×36 245+53×69 752+53×87 817+56×89 837+68×36 865+98×49 356+76×58 561+57×92 43+59×38 458+86×36 538+27×38 548+52×59 87+29×78 299+39×48 544+56×21 531+51×88 38+23×38 67+59×57 99+35×36265+54×66 552+53×46 417+88×62 237+26×48 665+39×45 256+15×64 761+63×25 643+31×63 645+42×83 338+19×62 648+33×59 587+19×83 999+26×63 644+42×39 431+24×66 38+72×26 567+35×61 699+53×16 506+56×56 19+23×93 99+53×33 125+16×55 352+28×32 217+29×37 307+46×52 265+23×53 556+73×26 631+52×33 243+21×23 345+21×37 378+49×77 478+56×65 787+53×53 399+42×66 544+35×27 731+35×46 438+55×69 67+51×38 899+35×51 506+32×64 177+58×35 741+34×57 689+22×89 872+23×52 412+26×62 541+20×87 49+52×15 396+41×35 11+83×59 258+45×67 743+76×38 529+25×62 248+31×53 487+28×65 38+35×46 344+25×75 831+56×65 51+16×62 267+35×59 846+28×73 125+35×82 127+28×39 59+26×3871+21×63 581+51×52 753+53×82 317+46×36 713+53×83 26+85×37 305+44×53 548+38×94 793+59×36 389+52×34 544+37×92 131+28×56 238+33×87 67+58×98 100+29×32 26+68×61 85+57×96 52+69×67 103+13×81 552+71×38 817+26×73 745+35×91 565+37×93 856+17×83 286+26×82 78+87×36 23+52×87 90+56×38 999+27×37 888+28×38 199+28×36 777+29×73 766+38×83 666+27×72 767+81×90 399+29×92 656+38×96 222+39×96 898+37×61 212+30×76 252+32×83 717+28×73 939+72×29 565+36×83 656+88×35 828+35×63 121+63×16 555+86×37 777+26×42 323+43×67 111+29×37 565+38×67 789+66×39 373+69×73 646+85×69 167+26×83 399+78×39 293+31×68 717+32×97 828+37×86 73+15×46 90+76×19 52+16×3850+93×13 23+40×91 80+73×26 12+57×34 863+26×26 353+55×63 105+53×63 555+28×72 373+68×19 55+16×62 66+38×67 121+49×82 666+37×68 535+56×37 81+30×59 33+26×14 51+18×67 19+84×19 87+26×88 95+31×72 59+77×81 91+72×53 93+29×93 75+37×75 88+85×38 68+62×26 37+33×43 59+56×95 24+82×23 36+68×36 78+73×87 57+85×95 99+59×59 58+53×77 190+88×31 61+52×57 31+35×53 69+83×38 69+65×96 85+58×99 83+69×86 96+88×69 75+55×68 29+73×67 89+92×28 66+76×77 93+33×63 82+66×82 99+59×71 82+87×73 51+22×37 75+53×35 86+36×39 85+29×26 63+28×27 29+37×38 82+66×73 23+87×79 28+36×67 87+18×76 100+32×25 79+64×68 56+37×5793+18×36 92+27×38 256+57×69123+13×26 93+23×36 71+89×16236+12×76 525+26×39 999+59×67302+38×67 36+27×38 82+36×274、列式计算(注意：列式计算只能用综合式，不能用分步式)（1）38个27是多少？（2）两个因数都是18，它们的积是多少？（3）两个因数的积是315，一个因数是5，求另一个因数是多少？（4）最小的两位数与最大的两位数的积食多少？（5）一个数是56.39，另一个数是13.68，它们的和、差各是多少？（6）一个数除以15商是35，余数是7，这个数是多少？（7）13乘以一个数是351，这个数是多少？（8）23与16的积加上215，和是多少？（9）69与57的差再乘以16，积是多少？（10）25的18倍是多少？（11）比13的24倍多67的数是多少？（12）14的27倍再除以4，商是多少？。
第一讲简便计算
（1）计算：24＋88＋76＋12 （2）计算：113＋68-13＋32
（1）计算：96＋17 （2）计算：198＋998＋398＋498＋8
（1）计算：103＋202＋5 （2）计算：151-102
计算：（1）15＋98＋197 （2）183－99
计算：199＋197＋198＋196
计算：（1）8＋98＋998 （2）97＋98＋201＋504 （3）305－98－97
（4）53+49+51+48+52+50 = 50×6+3-1+1-2+2+0 = 300+3 = 303
例题五
计算：995+95+5995+20
995+95+5995+20 =（995+5）+（95+5）+（5995+5）+5 =1000+100+6000+5 =7105
习题五
1.用简便方法计算。
习题四
1.用简便方法计算。
（1）98+99+100+101+102 = 100×5-2-1+0+1+2 = 100×5 = 500
（2）99+98+97+96+95 = 100×5-1-2-3-4-5 = 500-15 = 485
习题四
用简便方法计算。
（3）18+19+20+21+22+23 = 20×6-2-1+0+1+2+3 = 120+3 = 123
以上都是通过改变运算顺，进行配对从而简便运算 的。今天我们还要学习一种新的简便运算的方法 — —“拆数和补数”
四年级运算定律与简便计算练习题大全 (1)
运算定律与简便计算（一）加减法运算定律1.加法交换律定义：两个加数交换位置，和不变字母表示：a b b a +=+例如：16+23=23+16 546+78=78+5462.加法结合律定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
字母表示：)()(c b a c b a ++=++注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算。
例1.用简便方法计算下式：（1）63+16+84 （2）76+15+24 （3）140+639+860举一反三：（1）46+67+54 （2）680+485+120 （3）155+657+2453.减法交换律、结合律注：减法交换律、结合律是由加法交换律和结合律衍生出来的。
减法交换律：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。
字母表示：b c a c b a --=--例2.简便计算：198-75-98减法结合律：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。
字母表示：)(c b a c b a +-=--例3.简便计算：（1）369-45-155 （2）896-580-1204.拆分、凑整法简便计算拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。
例如：103=100+3，1006=1000+6，…凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算。
例如：97=100-3，998=1000-2，…注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。
例4.计算下式，能简便的进行简便计算：（1）89+106 （2）56+98 （3）658+997随堂练习：计算下式，怎么简便怎么计算（1）730+895+170 （2）820-456+280 （3）900-456-244（4）89+997 （5）103-60 （6）458+996（7）876-580+220 （8）997+840+260 （9）956—197-56（二）乘除法运算定律1.乘法交换律定义：交换两个因数的位置，积不变。
最新九年级化学化学方程式的计算(一)解题方法和技巧及练习题
最新九年级化学化学方程式的计算(一)解题方法和技巧及练习题一、中考化学方程式的计算1．向盛有100g质量分数为8%的氧氧化钠溶液的烧杯中，逐滴加入193.8g硫酸铜溶液，二者恰好完全反应。
请计算：（化学方程式为 CuSO4+ 2NaOH = Cu(OH)2↓+ Na2SO4）（1）恰好完全反应时生成沉淀的质量__________。
（2）恰好完全反应时溶液中溶质的质量分数__________。
【答案】9.8g 5%【解析】【分析】100g质量分数为8%的氧氧化钠溶液中溶质质量为：100g×8%=8g。
【详解】设恰好完全反应时，生成沉淀氢氧化铜质量为x，生成硫酸钠的质量为y。
42422NaOH+CuSO=Na SO+Cu(OH)80142988g y x8014298 ==8g y x↓x=9.8g，y=14.2g100g+193.8g-9.8g=284g恰好完全反应时溶液中溶质的质量分数14.2g100%=5% 284g⨯。
2．欲测得某块大理石中所含碳酸钙的含量，现取该大理石加入到足量稀盐酸中（杂质不与稀盐酸反应），产生CO2的质量与稀盐酸的质量关系如图所示，请计算。
（1）该实验中最多制得CO2的质量为_____。
（2）该大理石中所含碳酸钙的质量_____（写出计算过程）。
【答案】8.8g 20g【解析】【分析】碳酸钙和稀盐酸反应生成氯化钙、水和二氧化碳。
【详解】（1）由图像可知，该实验中最多制得CO2的质量为8. 8g。
（2）设该大理石中碳酸钙的质量为x3222CaCO +2HCl =CaCl +H O +CO 10044x 8.8g↑ 100x =448.8gx=20g答：大理石中所含碳酸钙的质量为20g 。
3．某研究性学习小组为测定铜锌合金中铜的质量分数，进行如下实验：取合金 10g ，向其中不断加入稀硫酸，产生的气体与所加稀硫酸的质量关系如图所示：求：合金中铜的质量分数______。
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《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值，准确数位是（ 210- ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （))((!2)(b x a x f --''ξ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52）。
4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ，解得149,71821==x x 。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。
⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ， 9611612)(2=⨯≤M x R 。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
回代得：Tx )1,1,1(-=4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x）。
因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。
雅可比迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++Λ,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。
取T x )1,1,1()0(=计算得： T x)5.0,25.1,5.0()1(=。
5．用切线法求0143=+-x x 最小正根（求出1x ）。
．因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ，所以]5.0,0[*∈x ，在]5.0,0[上，06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。
由0)()(0≥''x f x f ，选00=x ，由迭代公式：计算得：25.01=x 。
四、证明题1． 证明：若)(x f ''存在，则线性插值余项为：1010),)((!2)()(x x x x x x f x R <<--''=ξξ。
2. 对初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(10y yy ，当2.00≤<h 时，欧拉法绝对稳定。
１．设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=，有x x x ,,10为三个零点。
应用罗尔定理，)(t g ''至少有一个零点ξ，!2)()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''==-''=''。
２．由欧拉法公式得：0~1~y y ohy y nn n --=-。
当2.00≤<h 时，则有00~~y y y y n n -≤-。
欧拉法绝对稳定。
练习题第2套参考答案 一、填空题1．Λ71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（21102-⨯，）。
2．用辛卜生公式计算积分⎰≈+101x dx（）。
3．设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pka ，则=-)1(k pk a （ 21x =， ）。
4．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1A （ ())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , ）。
5．已知迭代法：),1,0(),(1Λ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ 0()0f x > ）。
二、单选题1．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ C ）。
Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021-⨯ ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR 。
A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det <A ３．已知Tx )5,3,1(--=，则=1x （ B ）。
Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ ４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 ５．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((53x P x P （ B ）。
Ａ．52 Ｂ．72 Ｃ．92 Ｄ．112 三、计算题１．已知)(x f 数表： )5.0(f 近似值。
求抛物插值多项式，并求利用反插值法得 ２．已知数表： 求最小二乘一次式。
01014648614102a a a a +=⎧⎨+=⎩，解得： 由方程组：013,6a a ==，所以x x g 63)(*1+=。
３．已知求积公式：)21()0()21()(21110f A f A f A dx x f ++-≈⎰-。
求210,,A A A ，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。
10118881[]0.4062282910113dx I x =≈++++≈+⎰，21|()|0.001321216768M R f ≤=≈⨯ 。
４．用乘幂法求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。
因为所以：1122334,3,(0,1,0)2,(22T TT X X X λλλ======-５．用予估－校正法求初值问题：⎩⎨⎧=-='1)0(2y yx y 在4.0)2.0(0=x 处的解。
应用欧拉法计算公式：n n n y x y 1.12.01+=+ ，1,0=n ，10=y 。
计算得121.1, 1.23y y ==。
四、证明题１．设)(A ρ是实方阵Ａ的谱半径，证明：A A ≤)(ρ。
1． 因为A=(A-B)+B,A A B B ≤-+，所以A B A B -≤-，又因为B=(B-A)+A,B B A A ≤-+所以B A B A A B -≤-=-２．证明：计算)0(>a a 的单点弦法迭代公式为：nn n x c acx x ++=+1，Λ,1,0=n 。
50xa -=的实根，将54(),'()5f x x a f x x =-=代入切线法迭代公式得：51441(4),0,1,...55n n n n n nx a ax x x n x x +-=-=+=。
《计算方法》练习题二练习题第3套参考答案 一、填空题1．近似数30.6350010a =⨯的误差限是（210- ）。
2．设|x|>>1,=（ ()1G ρ<， ）,计算更准确。
3．用列主元消元法解：121223224x x x x +=⎧⎨+=⎩，经消元后的第二个方程是（111n n n n x x an x x x --+++=),2,1(Λ=n ， ）。
4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则(1)3m x += ( ， )。
5．已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零，则取0x 满足（2(,)22n n n nf x y k ++ ），则切线法收敛。
二、选择题1．已知近似数a 的()10/0r a ε=，则3()r a ε=（ c ）。
A. 10/0B.20/0 C. 30/0 D. 40/02．设{()}K T X 为切比雪夫多项式，则22(().())T X T X =（b ）。
B4π. C.2πD. π 3．对6436A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦直接作三角分解，则22r =（ d ）。
A. 5 B. 4 D. 2 4．已知A=D-L-U ，则雅可比迭代矩阵B=（ c ）。
A. 1()D L U -+ B. 1()D L U -- C. 1()D L U -- D. 1()D U L --5．设双点弦法收敛，则它具有（ a ）敛速。
A. 线性B.超线性C.平方D. 三次 三、计算题 1． 已知()f x 数表用插值法求()0f x =在[0，2]的根。
3sin0.5828510π≈≈，22()0.5821052400R π-≤≈⨯。
2．已知数表求最小二乘一次式。
2．22(,)(4)(3)(2x y x y x y xϕ=+-+--+，由0,0x yϕϕ∂∂==∂∂ 得6219235x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：474,147x y ==。
3．用n=4的复化辛卜生公式计算积分102dxx +⎰，并估计误差。
3．由221110482n -≤⨯解得3n ≥，取n=3， 复化梯形公式计算得：1011661[]0.4067262783dx x ≈+++≈+⎰。
4．用雅可比法求310130003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的全部特征值与特征向量。
4．120112011201231201100110012101210011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦回代得：(1,1,1)TX =-5．用欧拉法求初值问题'2(0)1y x yy =+⎧⎨=⎩在x=0处的解。
5．因为3311122,1,4a a a πθ====所以T x )22,0,22(,311==λ 四、证明题1． 证明：A B A B -≤-。
2．证明：计算141(4),0,1,...5n n nax x n x +=+= 1．设p xx ∞=，则有∑∑==≤≤ni i pn i i x x x n 122121，22x x ∞≤≤2．因为迭代函数是()(),'()1'()x x f x x f x ϕαϕα=-=-，当120m α<<时则有11'()1f x α-<-<，即 |1'()||'()|1f x x αϕ-=<，所以迭代法收敛。