华东师大版 九年级数学下册 第26章 二次函数单元复习
2019-2020学年华东师大版九年级下册第26章二次函数复习专题(PDF版)
二次函数●章复习（技训课）考点知识结构图c bx ax y ++=2（一般式）二次函数的概念、作图、图像性质（a 、b 、c 的作用）02=++c bx ax （方程）2ax y =c ax y +=2()2h x a y -=()h m x a y +-=2（顶点式）()()21x x x x a y --=（交点式）实际问题实际问题的解综合调控能力题◆抛物线的斜平移、规律问题（数列）1-01、如图，抛物线2x y =在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为1A 、2A 、3A 、…、n A 、…。
将抛物线2x y =沿直线x y L =:向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点1M 、2M 、3M 、…、n M 都在直线x y L =:上；②抛物线依次经过点1A 、2A 、3A 、…、n A 。
求顶点2014M 的坐标。
◆二次函数的斜平移、面积最值1-02、如图1，二次函数12212+-=x x y 的图像与一次函数()0≠+=k b kx y 的图像交于A、B 两点，点A 的坐标为（0，1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图像的顶点，点M 是一次函数()0≠+=k b kx y 的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N，且AMO S ∆：AONB S 四边形=1：48。
（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD//x 轴，射线PD 与抛物线交于点G，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PF⊥BC 于点F。
当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A，点B 重合），使BH GH 22+的值最小，求点H 的坐标和BH GH 22+的最小值；（3）如图2，直线AB 上有一点K（3,4），将二次函数12212+-=x x y 沿直线BC 平移，平移的距离是t （t ≥0），平移后抛物线使点A，点C 的对应点分别为点1A ，点1C ；当K C A 11∆是直角三角形时，求t 的值。
华东师大版初中九年级下册数学教案 第26章 二次函数 章末复习
章末复习1.掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解决一些实际问题．2.通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．4.二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．5.二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．一、知识结构【教学说明】根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点．二、释疑解惑，加深理解1．二次函数解析式的二种表示方法：(1)顶点式：____________________(2)一般式：____________________2．填表：3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而________，在对称轴左侧，y 随x 的增大而________；当a ＜0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而________，在对称轴左侧，y 随x 的增大而________．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时图象有最________点，此时函数有最____值________；当a ＜0时图象有最________点，此时函数有最________值________．【教学说明】 让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．三、典例精析，复习新知1．(1)y ＝－x 2，y ＝2x 2－2x ，y ＝100－5x 2，y ＝3)－2x ＋1是二次函数？答案：(1)2 (2)22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求a、b、c.解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y＝x＋1上∴当y＝2时，x＝1∴顶点坐标为(1，2)∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2又∵图象经过点(3，－6)∴－6＝a(3－1)2＋2 ∴a＝－2∴二次函数的解析式为y＝－2(x－1)2＋2即：y＝－2x2＋4x3．(1)抛物线y＝2(x－1)2＋3是由抛物线y＝2x2怎样平移得到的？(2)若抛物线y＝－x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．解：由抛物线平移时，形状和开口方向不变．(1)抛物线y＝2x2的顶点是(0，0)，抛物线y＝2(x－1)2＋3的顶点是(1，3)，∴抛物线y＝2(x －1)2＋3是由y＝2x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的．(2)抛物线y＝－x2的顶点是(0，0)，把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是(－2，－4)，∴平移后的抛物线解析式为y＝－(x＋2)2－44．求抛物线y ＝－12x 2－x ＋32的顶点坐标，写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？解：y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x 2＋2x ＋1－4)＝－12(x ＋1)2＋2 ∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，对称轴是直线x ＝－1令x ＝0，y ＝32，∴抛物线与y 轴交点(0，32) 令y ＝0，－12x 2－x ＋32＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1，∴抛物线与x 轴交于点(－3，0)，(1，0)，当x ≤－1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．【教学说明】 通过精心的选题让学生演练，教师引导下完成，达到巩固知识的作用．四、复习训练，巩固提高1．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝ax 2＋(a ＋c)x ＋c 与一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是( )解析：由y ＝ax 2＋(a ＋c)x ＋c 与y ＝ax ＋c 常数项均为c ，所以两个图象与y 轴交点应是一个点(0，c)，∴A、B 不对，当y ＝0时，ax 2＋(a＋c)x ＋c ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝－c a，∴抛物线与x 轴的交点为(－1，0)，(－c a ，0)，当y ＝0时，ax ＋c ＝0的解为x ＝－c a，∴直线与x 轴的交点为(－c a，0)，∴抛物线与直线另一交点在x 轴上，∴应选D. 答案： D2．某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？解：设提高x 个单位价格时，总获利为y 元，则y ＝(2700＋100x －2500)(400－50x )(0≤x ≤8)整理，得y ＝－5000(x －3)2＋125000，当x ＝3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元．3．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)，设销售单价为x 元，日均获利为y 元．(1)求y 与x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围．(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？(3)若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？分析：首先明确获利的含义，即每千克获利＝销售单价－购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分．在(3)中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答：解：(1)若销售单价为x 元，则每千克降低了(70－x)元，日均多售出2(70－x)千克，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，每千克获利(x －30)元．依题意得：y ＝(x －30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x 2＋260x －6500(30≤x ≤70)(2)由(1)有y ＝－2x 2＋260x －6500＝－2(x －65)2＋1950，∴顶点坐标为(65，1950)，其图象如图所示．经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元．(3)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60＋2(70－65)＝70kg ，那么获总利为195000元；当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg ，将这批化工原料全部售完需700060≈117天，那么获总利为(70－30)×7000－117×500＝221500元，而221500＞195000时且221500－195000＝26500元．∴销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元．【教学说明】 根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能．让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦．五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识，你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．1．教材“复习题”中第3、7、11、14题．2．完成同步练习册中本课时的练习．让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力．引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学．。
2023年华东师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数》复习检测卷附答案解析
2023年九年级数学下册第二十六章《二次函数》复习检测卷一、单项选择。
1．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为()A．y＝(x－2)2－1B．y＝(x－2)2＋3C．y＝x 2＋1D．y＝x 2－12．关于二次函数y＝－3x 2＋6x＋1，下列说法错误的是()A．图象与y 轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y 轴的右侧C．当x＞0时，y 的值随x 值的增大而减小D．y 的最大值为43．如图，抛物线L 1：y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x 轴只有一个公共点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L 2，则图中两个阴影部分的面积和为()A．1B．2C．3D．44．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c 与x 轴相交于点A(－2，0)，B(6，0)，与y 轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b 2－4ac＞0；②4a＋b＝0；③当y＞0时，－2＜x＜6；④a＋b＋c＜0.其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．15．抛物线y＝ax 2＋bx＋c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：下列结论不正确的是()x －2－101y466A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x＝12C．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2，0)D．函数y＝ax 2＋bx＋c 的最大值为2546．若函数y＝mx 2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为()A．0B．0或2C．2或－2D．0，2或－27．已知二次函数y＝ax 2＋2ax＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为()A．1或－2B．－2或2C．2D．18．二次函数y＝ax 2＋bx＋c 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是()A.若(－2，y 1)，(5，y 2)是图象上的两点，则y 1＞y 2B．3a＋c＝0C．方程ax 2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根D.当x≥0时，y 随x 的增大而减小9.二次函数y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b 2；③2a＋b＝0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，函数y＝ax 2－2x＋1和y＝ax－a(a 是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()11．已知二次函数y＝x 2－2ax＋a 2－2a－4(a 为常数)的图象与x 轴有交点，且当x＞3时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是()A．a≥－2B．a＜3C．－2≤a＜3D．－2≤a≤312.若二次函数y＝x 2－6x＋c 的图象经过A(－1，y 1)，B(2，y 2)，C(3＋2，y 3)三点，则关于y 1，y 2，y 3大小关系正确的是()A．y 1＞y 2＞y 3B．y 1＞y 3＞y 2C．y 2＞y 1＞y 3D．y 3＞y 1＞y 213．已知a＞1，点A(a－1，y 1)，B(a，y 2)，C(a＋1，y 3)都在二次函数y＝12－x 2的图象上，则()A．y 1＞y 2＞y 3B．y 1＞y 3＞y 2C．y 2＞y 1＞y 3D．y 3＞y 1＞y 214．已知y＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2＜y 3＜y 1，则a 的取值范围是()A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤015.如图，二次函数y＝ax 2＋bx(a≠0)的图象过点(2，0)，下列结论错误的是()A．b＞0B．a＋b＞0C．x＝2是关于x 的方程ax 2＋bx＝0(a≠0)的一个根D．点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在二次函数的图象上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜0二、填空题。
第26章 二次函数 章末复习 课件(共31张PPT)(2024版)华东师大版数学九年级下册
解：（1）二次函数y = (x-2)2-1 的图象开口向
y
5
上，对称轴是直线 x=2，顶点坐标是 (2,-1)， 4
（2）①当 x 取 1 或 3 时，y=0； ②当x > 3或 x < 1时，y>0； ③当 1<x<3时，y<0.
3 2 1
–1 O 1 2 3 4 5 6 x
–1
9. 将抛物线 y = 3x2 经过怎样的平移可以得到下列函数的图象？
y轴 y轴 直线 x = -4 直线 x = 1 直线 x = -2 直线 x = 3
（0，0） （0， 1）
4 （-4，0） （1，0）
（-2，13）
（3，-1）
2.画出下列函数的图像，并根据图象写出函数的
最大值或最小值：
（1）y = 1-3x2 ；
y
2
解：（1）函数 y = 1-3x2 的最大值为 1，无最小值.
个门洞的高度. (精确到0.l m)
y
解：把门洞放在如图所示的直角坐标系中，根据题意可知，
点 A、B、C 的坐标分别为（8,0），（1,4），（7,4）.设抛
物线的函数关系式为 y=ax2+bx+c （a≠0）
B
64a+8b+c=0
a = -4 7
则有方程组 a+b+c=4 49a+7b+c=4
解得 b = 32
解：（1）由题意，可将函数设为 y = a(x - 4)2 - 16a. (a≠0)
∵经过点（-1,3），将 x = -1. y = 3 代入解得 a = 1 .
3
∴函数表达式为 y = 1（x 4）2 16
华东师大版九年级数学下册学案：第二十六章小结和复习
第二十六章小结与复习一、本章学习回顾1． 知识结构2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3．需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
二、本章复习题A 组一、填空题1．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．2．抛物线2ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．3．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．4．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．5．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．6．把函数261x y -=的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ． 7．已知二次函数m x x y +-=82的最小值为1，那么m 的值等于 ．8．二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ．9．抛物线122--=x x y 的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．11．若二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ．12．抛物线322--=x x y 的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值是 ．13．抛物线c x x y ++=2与x 轴的两个交点坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，若32221=+x x ，那么c 值为 ，抛物线的对称轴为 ．14．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．15．一条抛物线开口向下，并且与x 轴的交点一个在点A （1，0）的左边，一个在点A （1，0）的右边，而与y 轴的交点在x 轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 ．二、选择题16．下列函数中，是二次函数的有 （ ） ①221x y -= ②21xy = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 17．若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、无法确定18．二次函数m x m x y 4)1(22++-=的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、只有一个交点C 、只有两个交点D 、至少有一个交点19．二次函数222+-=x x y 有（ ）A 、最大值1B 、最大值2C 、最小值1D 、最小值220．在同一坐标系中，作函数23x y =，23x y -=，231x y =的图象，它们的共同特点是 （D ）A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点21．已知二次函数772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A 、47->K B 、47-≥K 且0≠k C 、47-≥K D 、47->K 且0≠k 22．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象 （ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）A 、4元或6元B 、4元C 、6元D 、8元24．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有 （ ）A 、04,02>-<ac b aB 、04,02>->ac b aC 、04,02<-<ac b aD 、04,02<->ac b a25．抛物线1422-+=x x y 的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）A 、（-1，3）B 、（-1，-3）C 、（1，3）D 、（1，-3）三、解答题26．已知二次函数12212++=x x y ． （1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点；（3）作出函数图象的草图；（4）观察图象，x 为何值时，y ＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y ＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y 有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．29．已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值2．（1）求二次函数的函数关系式；（2）设此二次函数图象的顶点为P ，求⊿ABP 的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）0322=--x x ； （2）⎩⎨⎧-=--=x x y x y 213． 31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数：m=162-3x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？B 组一、选择题32．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ D ）A 、422-+-=x x yB 、)0(322>-+-=a a ax ax yC 、5422---=x x yD 、)0(322<-+-=a a ax ax y33．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x=1时，函数y 有最大值，设),(11y x ，（),22y x 是这个函数图象上的两点，且211x x <<，则 （ ）A 、21,0y y a >>B 、21,0y y a <>C 、21,0y y a <<D 、21,0y y a ><34．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥ax a x 5153无解，则二次函数41)2(2+--=x x a y 的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、相交于两点C 、相交于一点D 、相交于一点或没有交点二、解答题35．若抛物线)5(2342-+=--m x y m m的顶点在x 轴的下方，求m 的值． 36．把抛物线n mx x y ++=2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是222+-=x x y ，求m 、n ．37．如图，已知抛物线3)5(2122-+-+-=m x m x y ，与x 轴交于A 、B ，且点A 在x 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，OA=OB ，（1）求m 的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C 的坐标．38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．C 组解答题39．如图，已知二次函数n mx x y ++-=2，当x=3时，有最大值4．（1）求m 、n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，求A 、B 点的坐标；（3）当y ＜0时，求x 的取值范围；（4）有一圆经过A 、B ，且与y 轴的正半轴相切于点C ，求C 点坐标．40．阅读下面的文字后，解答问题．有这样二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．41．已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A （1x ，0）、B （2x ，0），其中1x ＜2x ，P 为顶点，∠APB=90°，若1x 、2x 是方程021)2(222=-+--m x m x 的两个根，且262221=+x x ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．42．已知二次函数)1(3)2(2++-+-=m x m x y 的图象如图所示．（1）当m ≠-4时，说明这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）求m 的取值范围；（3）在（2）的情况下，若6=⋅OB OA ，求C 点坐标；（4）求A 、B 两点间的距离；（5）求⊿ABC 的面积S ．。
华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
华师大版9下数学第26章 二次函数小结与复习
（二）二次函数图象及画法
y
顶点坐标（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
( b , c) a
c 与X轴的交点坐标
(x1,0) (x2,0)
O
x1
x2
x 与Y轴的交点坐标及它 关于对称轴的对称点
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
(0, c) ( b , c) a
（三）、平移，配方
1、y ax2 向 |m 左| 个( 向单 右位 )平 移 y a(x - h)2
求下列条件下的二次函数的解析式:
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2） 3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围
2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。
已知篮圈中心到地面的距离为3.05m. y
问题1 建立如图所示的直角坐标系
，求抛物线的解析式；
问题2 这位同学身高1.7 m,
若在这次跳投中，球在头顶 上方0.25 m处出手，问：球 出手时，他跳离地面的高度
3.5m
3.05 m
是多少？
o
2.5m
x
4a
一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点 和函数性质
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
(3)顶点坐标是:(- 2a (4)开口方向:
,
4ac-b2 4a
)
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题
二次函数知识点总结一、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（ a, b , c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数•--22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
六、四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数 4ac b 24a，其中 ax 2bx c 的性质ax 22axbx c 的比较 bx c 是两种不同的表达形式,4ac b 24a 后者通过配方可以得到前者,a 0向下 h , 0 X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 •24. y ax hk 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2y a x h k ，确定其顶点坐标 h, k ；y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减, h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向上(k>0)【或下(k<0)] 平移|k 个单位y=a(x h)2y=a(x h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)]平移|k|个单位七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数，a 0）； 2•顶点式：y a （x h ）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x 血）（a 0, x , X 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上， 当a 0时，抛物线开口向下，九、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 二次方程ax bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数： 兀 图象与 2ax x 轴交点情况）： bx c 当函数值 y 0时的特殊情况. 2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点A X i , 0 , B x 2 , 0 (X i X 2），其中的X i , X 2是一元二次方2ax bx 0的两根.. 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点; x 轴没有交点. 图象与 图象与 0时，图象落在x 轴的上方，无论 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 x 为任何实数，都有2•当a2时,2a 2时，2a2ba 时， y 随x 的增大而减小; y 随x 的增大而增大;y 有最小值 24ac b4a0时，抛物线开口向下, 对称轴为暑，顶点坐标为b 4ac b 2 2a' 4a•当x —时，y 随2ax的增大而增大；当x时，y 随x 的增大而减小；当 x2—时，y 有最大值4^-b -2a4a八、 1. ⑴ ⑵a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 抛物线与0时，0时， 0时， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.22. 抛物线y ax bx c的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )2 2 2 2A. y 2(x 1)B. y 2(x 1)C. y 2x 1D. y 2x 12 k3. 函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数y ax2bx c(a 0)的图象如图所示当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y确的个数是()A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点,则下列结论：①a,b同号；②2时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示，则点(ac,bc)在(B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为( )xB. 1C.2A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为2A.y2x2x 2B.y2x2x 2C.y x2 x 2 或y 2 小x x 2 D.y2 2x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。
九年级数学下册26二次函数小结与复习课件(新版)华东师大版
解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线
上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对
关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直
线 x x1 x2 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 x (1) 3 1 .
2
2
针对训练
x … -1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则①抛物线的对称轴是 直线x=2 ； ②当y<5时，x的取值范围是 0<x<4 . ③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的 大小：y1___＜_____y2(填“＞”“＜”或“＝”).
针对训练
1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ C ）
A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)
1
2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= 4 .
3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=___-_4___.
例2 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的公共点是（-1，0）， （3，0），则这条抛物线的对称轴为_直__线__x_=_1__.
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减．
5.二次函数的y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
a＞0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
华师大版九年级数学下册课件：第26章 《二次函数》单元小结与复习(共55张PPT)
• You have #39;s the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 12:51:54 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
华师版九年级下册数学精品教学课件 第26章 二次函数 小结与复习
例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_(_1_，__2_) _． 【解析】
方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
则顶点坐标为 (1，2)．
方法二：代入公式 x
b
2
1，y 4ac b2
413 22
2，
2a 21
4a
41
则顶点坐标为(1，2)．
方法归纳
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，得到其对称轴 是直线 x＝h，顶点坐标为 (h，k)，当自变量范围没有 限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
图
二象
次画
函 数
法
确定 表达式
抛物线的开 口方向
抛物线的平移
抛物线的顶 点坐标和对 称轴
二 次应 函用 数 的 性最 质值
见教材章末练习
考点五 二次函数表达式的确定
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为
10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.
求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得
a b c 10，
a b c 4， 解得 a = 2，b = -3，c = 5.
二次函数
开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0
值 a＜0
增 减
a＞0
性 a＜0
y = a(x − h)2 + k
y = ax2 + bx + c
a＞0 时开口向上
a＜0 时开口向下
x=h
第26章 二次函数 华东师大版九年级数学下册总复习(含答案)
周测十二（26.1）知识互动点对典26.1 二次函数知识点一二次函数的概念1．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ①②③ ．（只填序号）解：这六个式子中，二次函数有：①；②；③；故答案为：①②③．2．若函数y＝(a－b)x2＋ax＋b是关于x的二次函数，则下列说法正确的是( B ) A．a，b为常数，且a≠0B．a，b为常数，且a≠bC．a，b为常数，且b≠0D．a，b可以为任意实数知识点二根据实际问题列出二次函数关系式3．下列具有二次函数关系的是（ D ）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x4．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销量，增加赢利，商场决定采取适当降价的措施。
经调查发现，一件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。
设一件衬衫降价元，（为整数）每天赢利元。
（1）用含的代数式表示，并写出的取值范围；（2）分别计算当=2、20时的值。
解：（1）根据题意，可得：=（40- ）（20+ ）∵，∴（为整数）。
（2）当=2时，则=（40- ）（20+ ）= ；当=20时，则=（40- ）（20+ ）= 。
答案：，2，，，2，2×2，912，20，2×20，1200知识点三会求二次函数值5．当x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x＝m＋n时，代数式x2－2x ＋3的值为．解法一：将x＝m、x＝n代入x2－2x＋3，根据题意得：m2－2m＋3＝n2－2n＋3m2－n2＝2m－2n(m＋n)(m－n)＝2(m－n)因为m≠n所以m＋n＝2将x＝2代入x2－2x＋3＝4－4＋3＝36．若函数y＝4x2＋1的函数值为5，则自变量x的值应为（ C ）A．1 B．－1 C．±1 D．易错训练一对一易错点忽视二次项系数不为07．若函数是二次函数，那么的值是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点1.二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 【例】下列函数中是二次函数的是（ ）【答案】【例】已知函数是二次函数，则。
【答案】 【针对训练】 若函数是二次函数，则该函数的表达式为知识点2.二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小2. 2y ax c =+的性质：上加下减2.81A y x =+.81B y x =--8.C y x =23.4D y x=-A 2234(2)3(1)m m y m m xmx m -+=--++m =_____222(2)m y m x mx -=-+__________y =3. ()2y a x h =-的性质：左加右减4. ()2y a x h k =-+的性质：【例】已知二次函数有最小值1，则、的大小关系为（ ）不能确定【答案】 【针对训练】1、二次函数的最小值是 。
2、二次函数的图象的顶点坐标是（ ）b x a y -+=2)1()0(≠a a b .A b a >.B b a <.C b a =.D .A 1422--=x x y 3)1(22+--=x y3、抛物线的顶点坐标是（ ）知识点3.①二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【例】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。
【答案】 【针对训练】1、已知下列函数：（1）；（2）；（3）。
其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。
2、将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。
.A )31(，.B )31(，-.C )31(-，.D )31(--，)2(--=x x y .A )11(--，.B )11(，-.C )11(，.D )11(-，3)2(2-+=x y 2x y =.A .B .C .D 2x y =2)2(+=x y 3)2(2-+=x y .B 2x y =2x y -=2)1(2+-=x y 322-+=x x y 22-=x y3、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）②二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称（即：抛物线绕原点旋转180°）2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 【例】1.将抛物线()1322--=x y 绕顶点旋转180°后得到的抛物线表达式为：________________________.2x y -=.A 22+-=x y .B 2)2(+-=x y .C 2)2(--=x y .D 22--=x y2.将抛物线()1322--=x y 绕原点旋转180°后得到的抛物线表达式为：________________________.知识点4.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 【例】将二次函数化为的形式，结果为（ ）【针对练习】若抛物线的最低点的纵坐标为，则的值是 。
知识点5.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 知识点6.二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当322+-=x x y k h x y +-=2)(.A 4)1(2++=x y .B 4)1(2+-=x y .C 2)1(2++=x y .D 2)1(2+-=x y m x x y +-=22n n m -2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．知识点7.二次函数的图象与各项系数之间的关系⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．【例】二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）【答案】【例】已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）方程的两根是，当时，随的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知，，故A 错误；因对称轴为直线，所以，故C 错误；由图象可知当时，随的增大而增大，故D 错误；由二次函数的对称性可知B 选项正确， 【答案】 【针对训练】1、在同一平面直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）c bx ax y ++=2.A 0>a .B 0>c .C 042>-ac b .D 0>++c b a .D c bx ax y ++=21=x .A 0>ac .B 02=++c bx ax 11-=x 32=x .C 02=-b a .D 0>x y x 0<a 0>c 1=x 12=-ab01>>x y x .B m mx y +=222++-=x mx y m 0≠m2、已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）3、在反比例函数中，当时，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（）知识点7.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c=++（a，b，c为常数，0a≠）；2. 顶点式：2()y a x h k=-+（a，h，k为常数，0a≠）；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x=--（0a≠，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240b ac-≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：.A.B.C.Dcbxaxy++=2)0(≠a.A0>a.B0<b.C0<c.D0>++cbaxay=)0(≠a0>x y xaxaxy-=2.A.B.C.D1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．【例】已知点在二次函数的图象上，则的值是（ ）【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，则可得，【答案】【例】若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（ ）【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，，由抛物线的对称性可知，，所以，把代入得，，所以二次函数的解析式为，当时，。