有限元基础知识
有限元分析基础知识
2000，4
ANSYS单元分类
1. 杆单元，包括二维杆单元和三维杆单元，线性调节 元，主要包括： LINK1，LINK8，LINK10，LINK11，LINK180等。 2. 弹簧阻尼单元，包括COMBIN系列： COMBIN7,COMBIN14,COMBIN37,COMBIN40等。 3. 质量元，MASS21。
ANSYS/Structural求解功能
ANSYS/Structural求解功能
Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题） Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型） Harmonic -- 谐波分析 Transient -- 瞬态分析 Spectrum -- 谱分析 Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性） Substructural -- 子结构分析 。。。。。。
2000，4
有限元分析步骤（续）
• 集合所有单元的平衡方程，集合依据的是所有相邻 单元在公共节点 处的位移相等；建立总体的有限元方程组。 • 引入边界条件 • 求解有限元方程组，得到未知节点位移 • 计算单元应力，对不同的单元，对应力的处理还有不同的方法
2000，4
ANSYS文件结构
二进制文件 Jobname.db （数据库文件） Jobname.dbb （备份文件） Jobname.rst （结构分析结果文件） Jobname.rth （热分析结果文件） Jobname.rmg （电磁场分析结果文件） Jobname.rfl （流体分析结果文件） Jobname.tri （三角化刚度矩阵文件） Jobname.emat （单元矩阵文件） Jobname.esav （单元保存文件）
2000，4
简例（续）
有限元基础知识培训
HB
HRB
HV
第3页/共34页
一、材料基础知识
➢根据经验，大部分金属的硬度和强度之间有如 下近似关系： 低碳钢 σb≈0.36 HB 高碳钢 σb≈0.34 HB 灰铸铁 σb≈0.1 HB
➢因而可用硬度近似地估计抗拉强度。
第4页/共34页
一、材料基础知识
塑性
➢ 材料的塑性是指材料受力时，当应力超过屈服点后， 能产生显著的变形而不立即断裂的性质。
约束：就是消灭自由度！？
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元间通过节 点连接，并承受一定载荷
第19页/共34页
二、CAE基础知识
节点和单元
第20页/共34页
二、CAE基础知识
节点和单元
第21页/共34页
二、CAE基础知识
有限单元法特点
第22页/共34页
二、CAE基础知识
有限元求解问题的基本步骤
作用在单元边界上的表面力、 作用在单元内的体积力和集中 力等，都必须等效移置到单元 节点上去，化为相应的单元等 效节点载荷
第25页/共34页
二、CAE基础知识
有限元求解问题的基本步骤
• 定义求解域 • 求解域离散化 • 单元推导 • 等效节点载荷计算 • 总装求解 • 联立方程组求解和结果解释
将单元总装形成离散域的总矩 阵方程（联合方程组） （1）由各单元刚度矩阵组集成 整体结构的总刚度矩阵 （2）将作用于各单元的节点载 荷矩阵组集成总的载荷列阵 求得整体坐标系下各单元刚度矩 阵后，可根据结构上各节点的力 平衡条件组集求得结构的整体刚 度方程
➢ 各向同性与各向异性。
第6页/共34页
一、材料基础知识
应力集中与应力集中系数
➢材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大， 这种现象称为应力集中。
有限元基础知识
有限元基础知识
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊有限元基础知识啊，这可真是个超有意思的东西！
你们有没有玩过拼图游戏呀？有限元就有点像把一个复杂的东西，比如一个机器零件啦，拆分成好多好多小的部分，就像拼图的小块块一样。
比如说，你想想看一辆汽车，它那么复杂，要是直接去研究它可太难了。
但通过有限元，咱就可以把它分成一个个小区域，分别去分析、去理解，这不就简单多了嘛！
有限元就像是给我们一个探索复杂世界的秘密武器！它让那些看似遥不可及、搞不懂的东西变得清晰起来。
你知道吗？工程师们经常用这个方法来解决各种各样的问题呢！比如设计更牢固的桥梁，或者让飞机飞得更安全、更稳定。
就好比有一座摇摇欲坠的老桥，工程师们就可以用有限元方法，一点一点地分析每个部分，找出问题所在，然后想办法加固它，让它重新变得坚固可靠。
这多了不起啊！
那有限元具体是咋工作的呢？简单来说，就是先划分网格，这就像是给那个复杂的东西画格子。
然后再对这些小格子进行计算和分析。
就好像你在做数学题一样，一步步算出答案。
“哎呀，这听起来好难啊！”你可能会这么说。
但别害怕呀！一开始可能觉得有点难理解，但只要你深入进去，就会发现它的奇妙之处。
而且现在有好多软件可以帮我们进行有限元分析呢，超方便的！
总之，有限元基础知识是个非常有用、非常有趣的东西！它就像一把钥匙，能帮我们打开复杂工程世界的大门，让我们更好地去理解和创造。
大家赶紧去探索一下吧，相信你们一定会爱上它的！。
第1章UG-NX有限元分析入门-–基础实例资料
如图所示为一对齿轮传动副，各个零件材料均为20CrMoH钢，其中件1为主动齿轮，件2为从动齿轮。在传递动力时，件1主动齿轮角速度为500 rev/min,件2从动齿轮受到100N.mm的扭矩，计算齿轮啮合区域（啮合区域有A、B二处，如图1-47 所示）最大的位移变形量和冯氏应力值。
1）新建【Gear1】FEM模型
调出主动齿轮模型，其名称为【Gear1】。 依次左键单击【开始】和【高级仿真】，在【仿真导航器】中单击【Gear1.prt】节点，右键单击出现的【新建FEM】选项，弹出【新建部件文件】对话框，在【新文件名】下面的【名称】选项中将【fem1.fem】修改为【Gear1_fem1.fem】，通过单击图标，选择本实例高级仿真相关数据存放的【文件夹】，单击【确定】按钮。 弹出【新建FEM】对话框，默认【求解器】和【分析类型】中的选项，单击【确定】按钮，即可进入创建有限元模型的环境。
【gear2】网格划分后示意图
仿真导航器新增节点
（2）建立FEM装配模型
返回至高级仿真的初始界面,新建【Gears.prt】模型，新建【Gears.prt】装配FEM模型：
默认参数单击确定
1）添加组件
在【仿真导航器】窗口单击【Gears_assyfem1.afm】节点，右键单击弹出的【加入已存的组件】命令：
第1章 UG NX有限元分析入门 –基础实例
本章内容简介 本章简要介绍零件和装配件结构静力学有限元分析的具体工作流程和操作步骤，为后续学习和掌握较为复杂零件、装配件的静力学结构分析以及其他有限元分析类型打下基础。
本书以实例教学内容为主
1.1 UG NX有限元入门实例1—零件受力分析
仿真导航器新增节点
单击确定
有限元基础及应用
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
ANSYS16.0有限元分析从入门到精通（第2版）
ANSYS16.0有限元分析从⼊门到精通（第2版）ANSYS 16.0有限元分析从⼊门到精通(第2版)第⼀部分 基础知识1 绪论1.1 有限元法概述1.1.1 有限元法分析过程1.1.2 有限元的⽅法和理论⼿段1.2 ANSYS 16.0简介1.2.1 ANSYS启动与退出1.2.2 ANSYS操作界⾯1.2.3 ANSYS⽂件管理1.2.4 ANSYS分析流程1.2.5 分析实例⼊门1.3 本章⼩结2 APDL基础应⽤2.1 APDL参数2.1.1 参数的概念与类型2.1.2 参数命名规则2.1.3 参数的定义与复制操作2.1.4 参数的删除操作2.1.5 数组参数2.2 APDL的流程控制2.2.1 *GO分⽀语句2.2.2 *IF分⽀语句2.2.3 *DO循环语句2.2.4 *DOWHILE循环语句2.3 宏⽂件2.3.1 创建宏⽂件2.3.2 调⽤宏⽂件2.4 运算符、函数与函数编辑器2.5 本章⼩结3 实体建模3.1 实体建模操作概述3.2 ⽤⾃下向上的⽅法建模3.3 ⾃顶向下法3.4 外部程序导⼊模型3.5 常⽤建模命令汇总3.6 实体模型的建⽴3.7 本章⼩结4 划分⽹格4.1 定义单元属性4.2 设置⽹格划分控制4.2.1 智能⽹格划分4.2.2 全局单元尺⼨控制4.2.3 默认单元尺⼨控制4.2.4 关键点尺⼨控制4.2.5 线尺⼨控制4.2.6 ⾯尺⼨控制4.2.7 单元尺⼨定义命令的优先顺序4.2.8 完成划分4.3 ⽹格的修改4.3.1 清除⽹格4.3.2 ⽹格的局部细化4.3.3 层状⽹格划分4.4 ⾼级⽹格划分技术4.4.1 单元选择4.4.2 映射⽹格4.4.3 扫掠⽹格4.4.4 拉伸⽹格4.5 划分⽹格命令汇总4.6 本章⼩结5 加载5.1 载荷与载荷步5.1.1 载荷5.1.2 载荷步5.2 加载⽅式5.2.1 实体加载的特点5.2.2 有限元模型的加载特点5.3 施加载荷5.4 齿轮泵模型的加载5.5 耦合与约束⽅程5.5.1 耦合5.5.2 约束⽅程5.6 本章⼩结6 求解6.1 求解综述6.2 例题6.3 求解命令汇总6.4 本章⼩结7 后处理7.1 通⽤后处理器7.1.1 结果⽂件7.1.2 结果输出7.1.3 结果处理7.1.4 结果查看器7.2 时间历程后处理器7.2.1 时间历程变量浏览器7.2.2 定义变量7.2.3 显⽰变量7.3 本章⼩结第⼆部分 专题技术8 结构静⼒分析8.1 结构分析概述8.1.1 结构分析的定义8.1.2 静⼒学分析的基本概念8.1.3 结构静⼒学分析的⽅法8.2 开孔平板静⼒分析8.2.1 问题描述8.2.2 设置分析环境8.2.3 定义单元与材料属性8.2.4 建⽴模型8.2.5 划分⽹格8.2.6 施加边界条件8.2.7 求解8.2.8 显⽰变形图8.2.9 显⽰结果云图8.2.10 查看⽮量图8.2.11 查看约束反⼒8.2.12 查询危险点坐标8.3 平⾯应⼒分析8.3.1 问题描述8.3.2 设置分析环境8.3.3 定义⼏何参数8.3.4 选择单元8.3.5 定义实常数8.3.6 定义材料属性8.3.7 创建实体模型8.3.8 设定⽹格尺⼨并划分⽹格8.3.9 施加载荷并求解8.3.10 求解8.3.11 查看分析结果8.3.12 命令流8.4 本章⼩结9 模态分析9.1 模态分析的基本假设9.2 模态分析⽅法9.3 ⽴体桁架结构模态分析9.3.1 问题描述9.3.2 分析9.3.3 设置环境变量9.3.4 设置材料属性9.3.5 创建⼏何模型9.3.6 划分⽹格9.3.7 施加约束9.3.8 设置分析类型9.3.9 设置分析选项9.3.10 求解9.3.11 观察固有频率结果9.3.12 读⼊数据结果9.3.13 观察振型等值线结果。
有限元入门
有限差分方法
(Finite Differential Method)
该方法将求解域划分为差分网格，用有限 个网格节点代替连续的求解域。有限差分 法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中 的导数用网格节点上的函数值的差商代替 进行离散，从而建立以网格节点上的值为 未知数的代数方程组。该方法是一种直接 将微分问题变为代数问题的近似数值解法， 数学概念直观，表达简单，是发展较早且 比较成熟的数值方法。
三、 塑性加工中的有限元法概述
有限元法与其它塑性加工模拟方法相比，功能最 强、精度最高、解决问题的范围最广。它可以采 用不同形状、不同大小和不同类型的单元离散任 意形状的变形体，适用于任意速度边界条件，可 以方便地处理模具形状、工件与模具之间的摩擦 、材料的硬化效应、速度敏感性以及温度等多种 工艺因素对塑性加工过程的影响，能够模似整个 金属成形过程的流动规律，获得变形过程任意时 刻的力学信息和流动信息，如应力场、速度场、 温度场以及预测缺陷的形成和扩展。
1-7 有限单元法的基本内容
有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛 函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载 体是有限元分析软件。必须掌握的基本内容应包括： 1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念） 2、数学求解原理（即能量原理） 3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（有限元分析 步骤） 4、有限元法的应用（即有限元法的工程问题研究） 5、各种分析建模技巧及计算结果的评判 6、学习典型分析软件的使用，初步掌握一种塑性有限元 软件 注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具
CAE课有限元分析理论基础
类型。
精度要求
03
根据问题对精度的要求，选择足够高阶的有限元以保证求解精
度。
常用有限元的介绍
四面体有限元
适用于解决三维问题，具有较高的计算效率 和适应性。
壳体有限元
适用于解决薄壁结构问题，能够模拟结构的 弯曲和变形。
六面体有限元
适用于解决二维和三维问题，精度较高但计 算效率较低。
梁有限元
适用于解决细长结构问题，能够模拟结构的 轴向拉伸和弯曲。
CAE课有限元分析理论基础
目 录
• 引言 • 有限元分析的基本原理 • 有限元的分类和选择 • 有限元分析的实现过程 • 有限元分析的应用实例 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
目的
有限元分析（FEA）是一种数值分析方法，用于解决复杂的工程问题，如结构 分析、热传导、流体动力学等。本课程旨在使学生掌握有限元分析的基本原理 和应用。
弯曲有限元
适用于解决大变形问题，如结 构动力学、流体动力学等。
非线性有限元
适用于解决非线性问题，如塑 性力学、断裂力学等。
耦合有限元
适用于解决多物理场耦合问题 ，如流体-结构耦合、电磁-热
耦合等。
有限元的选择
问题特性
01
根据问题的物理特性、边界条件和求解精度要求选择合适的有
限元类型。
计算资源
02
考虑计算资源的限制，选择计算效率高、内存占用小的有限元
04 有限元分析的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
首先需要明确分析的对象和所受的边界条件， 这是建立有限元模型的基础。
几何建模
根据分析对象的特点，利用CAD软件建立几何 模型。
模型简化
有限元基础知识归纳
有限元基础知识归纳(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
有限元分析基础-文档资料
2019.8
内容结构
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法 平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元
2
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
21
第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
9
第一章 概述
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
18
第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
0.有限元基础知识
§4 弹性力学基本知识
1.弹性力学基本理论
§4 弹性力学基本知识
2.变分原理介绍 （1）泛函与变分
§4 弹性力学基本知识
§4 弹性力学基本知识
§4 弹性力学基本知识
§4 弹性力学基本知识
§4 弹性力学基本知识
（2）李兹法
§4 弹性力学基本知识§4来自弹性力学基本知识§4 弹性力学基本知识
3）计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是， 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的。因而， 这种作用在单元边界的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去， 也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
3.整体分析
有限元法的分析过程是先分后合，即先进行单元分析，在建立了单元刚 度方程以后，再进行整体分析，把这些方程集成起来，形成求解区域的刚度 方程，称为有限元位移法基本方程。集成所遵循的原则是各相邻单元在共同 节点处具有相同的位移。 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原 来的结构重新联接起 来，形成整体的有限元方程：
K为整体结构的刚度矩阵；δ为整体节点位移向量；F为整体载荷向量。
§2 有限元法基本步骤
4.求解方程，得出节点位移
解有限元方程式得出位移。这里可以根据方程组的具体特点来选择合适 的计算方法。
5.由节点位移计算单元的应变与应力 解出节点位移以后，根据需要，可由弹性力学的几何方程和弹性方程来 计算应变和应力。 通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，化 整为零，集零为整，把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体。
Hyper Works 有限元
有限元基础知识
§1 有限元法简介 §2 有限元法的基本步骤 §3 有限元法的工程应用 §4 弹性力学基本知识
有限元分析基础
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
单元结点位移条件
当 x0 时
v vi，
v x
i
当 xl
时 v vj，
v x
j
1 vi
2 i
3
3 l2
vi v j
1 l
2i
j
4
2 l3
vi v j
1 l2
i j
34
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
有限元原理基础知识
有限元原理基础知识学习思路:有限元原理是目前工程上应用最为广泛的结构数值分析方法，它的理论基础仍然是弹性力学的变分原理。
在有限元方法中，试函数的选取不是整体的，而是在弹性体内分区（单元）完成的，因此试函数形式简单统一。
有限元原理将单元内部位移用节点位移表示，这可以使用插值函数构造单元位移函数。
并且通过单元位移描述单元的应力和应变分量。
通过最小势能原理建立单元位移与单元节点力的关系，构造单元平衡方程。
对于由单元集合得到的弹性体整体，应用最小势能原理构造整体平衡方程。
这个方程是一个线性方程组，求解可以得到弹性体的位移，以及单元的应力和应变分量。
近年来，随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元原理为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。
特别是以计算机的强大计算能力为后盾开发的大型通用有限元程序，目前已经成为工程技术人员手中强大的结构分析工具。
如果你需要进一步学习有限元方法的理论和应用，请查阅参考资料。
学习要点：1. 有限元原理与变分原理的关系；2. 有限元原理的基本概念；3. 单元与单元位移确定；4. 有限元单元分析；5. 有限元整体分析。
弹性力学问题的本质是求解偏微分方程的边值问题。
由于偏微分方程边值问题的复杂性，只能采取各种近似方法或者渐近方法求解。
变分原理就是将弹性力学的基本方程－偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的一种方法。
有限元原理是目前工程上应用最为广泛的结构数值分析方法，它的理论基础仍然是弹性力学的变分原理。
那么，为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛。
有限元原理与一般的变分原理求解方法有什么不同呢。
问题在于变分原理用于弹性体分析时，不论是瑞利-里茨法还是伽辽金法，采用整体建立位移试函数或者应力试函数的方法。
由于试函数要满足一定的条件，导致对于实际工程问题求解仍然困难重重。
有限元方法选取的试函数不是整体的，而是在弹性体内分区（单元）完成的，因此试函数形式简单统一。
有限元分析基础知识70页文档
有限元分析基础知识
26、机遇对于有定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
有限元ppt课件
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
有限元分析理论基础
2 有限元法的基本原理2.1有限元简介有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
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因为有限元法有以上特点，所以采用这种方法的计算过程也被人称为仿真计算或者模拟计 算等等。
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有限元软件的应用
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早期的有限元技术高高在上，只有一些国家的部门，如宇航、军事部门可以使用，需要 应用者有很高的有限元理论水平。而此后的一些有限元分析软件也都存在界面不友好、难学 难用的缺点，虽然应用的范围大了一些，但也都是集中在大学和一些研究机构，只有少数专 业人员才能有机会接触，普通的工程师很难应用。 然而现在像ADINA这样的有限元软件已经提供了很好的前后处理功能，使应用者可以 把有限元求解器作为一个黑匣子来对待，不再需要有很深厚的有限元理论基础，有限元分析 的大门终于向普通工程师敞开了。 目前成熟的有限元软件把高高在上的有限元技术平民化，易学易用，简洁直观，能够在 普通的 PC机上运行，不需要专业的有限元经验。使普通的工程师可以进行仿真分析，迅速 得到分析结果，从而最大限度地缩短设计周期，降低测试成本，提高产品质量，加大利润空 间。
单元刚度矩阵的形成
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其中：
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单元刚度矩阵的理解
针对一个单元计算：
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其中：
展开后：
当单元的第j个节点位移为单 位位移而其他节点位移为0时 ，需在单元第i个节点位移方 向上施加和节点力大小。
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结果光滑正因为每一个小块（单元）上的结果是根据各自的节点位移和插值函数得到的，所以在单元与单
元交接处有可能出现结果不连续的问题，为了使结果连续以符合实际情况，需要在相邻单元之间使结果光 滑。光滑的方法很多，一般常用的是平均法。
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弹性力学基本方程的矩阵形式
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有限元基础知识
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主要内容
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有限元方法简介 什么是有限元软件 有限元发展历史
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有限元方法简介
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有限元方法简介
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有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），最初的思想是把一个大 的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是 简单的，这样的话小区域内的变形和应力都容易求解出来，进而可以获得整个结构的变形 和应力。 事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果 也就越接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题 的精确解，但是当然随着单元数量的增加，计算量也相应增大。 有限元法中的相邻的小区域通过边界上的节点联接起来，可以用一个简单的插值函数 描述每个小区域内的变形和应力（建立节点位移和小区域内变形和应力的关系）。求解过 程只需要计算出节点处位移，非节点处的应力或者变形是通过函数插值获得的。 大多数有限元程序都是以节点位移作为基本变量，求出节点位移后再计算单元内的应 力，这种方法称为位移法。
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有限元软件的分析过程
有限元分析过程可分成三个阶段，前处理、求解和后处理。
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前处理主要是采用CAD技术来建立几何模型，然后在几何模型上定义荷载、边界条件等物理 条件，最后划分单元网格。总之前处理就是进行分析数据的输入，这个过程也称为建模， 这里的模就是指的物理模型（包括几何模型、荷载、边界条件、网格等等）。 后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便地提取信息，了解计算结果。目前为了使应 用者能直观的看到计算结果，有限元的计算结果也需要用CAD技术生成形象的图形输出，如 生成位移图、应力、温度、压力分布的等值线图，和表示应力、温度、压力分布的彩色明 暗图，以及随机械载荷和温度载荷变化生成位移、应力、温度、压力等分布的动态显示图。 在前处理与后处理之间的过程是求解，一般都是由有限元软件的求解器自动进行的。使用 者可以把求解器作为“黑匣子”处理。
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有限元发展历史
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历史典故
历史典故 • 有限元法最初是20世纪50年代作为处理固体力学问题的方法出现的。追溯历史， 早在1943年，Courant已应用了单元的概念。 • 1945年~1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大的发展。 • 1956年，Turner、Clough等人把刚架位移发的思路推广应用于弹性力学平面问题 ：他们把连续体划分为三角形和矩形单元，单元中的位移函数采用近似表达式， 推导单元的刚度矩阵，建立节点位移与节点力之间的单元刚度方程。 • 1960年，Clough首先把这种解决弹性力学的方法，给予特定的名词，称为“有限 元法”。 • 首先提出有限元法这个名词的Clough就是ADINA总裁Bathe教授的博士生导师，他 带领Bathe及自己的工作小组开发了著名的线性有限元软件sap。 • Bathe对于有限元方法的发展也做出了很多开创性的贡献，著名的求解模态的子空 间叠代法就是Bathe的成果。 • Bathe离开Clough后，在MIT领导自己的工作组开发了ADINA，他当时的主要目的 是使自己的程序除了能够求解相对简单的线性问题外，还能够求解非线性问题和 动力问题。此后ADINA又增加了流体的功能和热求解功能，并且可以求解耦合场 问题，现在发展成为一个多物理场耦合求解的有限元系统。
平衡方程：
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平衡方程的矩阵表示：
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弹性力学基本方程的矩阵形式
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有限元方法用途
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有限元法在结构分析中就是计算结构的应力应变状态和变形的，可以做动力分析、静力 分析、谱分析。
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弹性力学基本方程的矩阵形式
单元内任意一点的位移表示（一次多项式）：
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通过节点位移确定广义坐标：
计算得到：
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弹性力学基本方程的矩阵形式
其中：
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因此任意一点的位移可表示为：
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有限元软件的应用范围
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目前有限元软件在结构问题、流体问题、传热学、电磁学、声学等方面都有大量的应 用。ADINA主要的应用领域是结构、流体和热，以及相互耦合的问题。 有限元法在结构上应用的主要目的是求解结构的变形、应力、应变等。在流体上应用主 要是求解流体的流动状态，这时也叫CFD（计算流体动力学）软件。在热领域的应用主要是 求解热量在物体中的流动和边界上的损失，得到物体的温度分布。
弹性力学基本方程的矩阵形式
应变表示：
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弹性力学基本方程的矩阵形式
应力表示：
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利用最小位能原理建立有限元方程
离散系统的总位能： 令：
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离散系统的总位能可表示为：
令：
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附件：三角形单元举例
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单元位移模式及差值函数构造
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典型的3节点三角形单元节点编码为i j m，以逆时针方向编码为正方向。每个节点有2 个位移分量。
每个节点有2个位移自由度：
每个单元有6个位移自由度：
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什么是有限元软件
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什么是有限元软件
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有限元软件指的是采用有限元方法求解各种问题的软件，也被称为仿真软件或者模拟计算 软件。 有限元法使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做 出来。这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产 品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以 有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
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弹性力学基本方程的矩阵形式
应变关系：
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应变关系的矩阵表示：
其中：
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物理方程（应力-应变关系）：
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其中：
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弹性力学基本方程的矩阵形式
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有限元方法步骤总结
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有限元法就是把一个很难求解的连续体的问题离散化成很多的小块，在每一个小块内用插值函数进行线性
的（一阶单元）或者二次的（二阶单元）简化，把这一个小块内的所有的连续的未知量都用小块边上的节 点的位移代表，这些节点的位移就是基本自由度（位移法）。然后再把每一个小块都组合起来，施加上外 荷载等建立平衡方程进行计算，通过计算得到每一个节点的位移后，再通过每一个小块内的插值函数得到 每一个小块内的所有未知量。
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