大学物理同步训练第10章气体动理论
大学物理气体的动理论习题答案
（4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。
上述说法中正确的是
（A）（1）、（2）、（4）;（B）（1）、（2）、（3）;（C）（2）、（3）、（4）;（D）（1）、（3）、（4）。
2. 两 容 积 不 等 的 容 器 内 分 别 盛 有 He 和 N2 ， 若 它 们 的 压 强 和 温 度 相 同 ， 则 两 气 体
9．速率分布函数 f(v)的物理意义为：
[B ]
（A）具有速率 v 的分子占总分子数的百分比。
（B）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比。
（C）具有速率 v 的分子数。
（D）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子数。
1
10．设 v 代表气体分子运动的平均速率，vP 代表气体分子运动的最可几速率，( v2 )2 代表
℃升高到 177℃，体积减小一半。试求：
（1）气体压强的变化；
（2）气体分子的平均平动动能的变化；
（3）分子的方均根速率为原来的倍数。
解：
（1）由
p1V1 T1
p2V2 T2
,
代入T1
=300K，T2
=450K，V2
=
1 2
V1可得
p2 =3p1
即压强由p1变化到了3 p1。
（2）分子的平均平动动能
（D） 6 p1 。
5. 一瓶氦气和一瓶氮气，两者密度相同，分子平均平动动能相等，而且都处于平衡状态， 则两者[ C ]
（A）温度相同，压强相等； （B）温度，压强都不相同； （C）温度相同，但氦气的压强大于氮气压强； （D）温度相同，但氦气的压强小于氮气压强。
6．1mol 刚性双原子分子理想气体，当温度为 T 时，其内能为
大学物理第10章课后习题
（3） nm 2.45 1025 5.311026 1.30 kgm
3
（ 4 ） 因 为 气 体 分 子 可 视 为 立 方 模 型 ： nl 1 , 因 此 分 子 间 的 平 均 距 离 l 为
1 l ( )1 3 3.44 10 9 m n
（5）平均速率 v 为 v
(2) 质子的方均根速率为
v2
3kT 3 8.31 108 1.57 106 ms-1 m 1.67 1027
10.12（１）在一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体。如果压缩气体并对它加热， 使它的温度从 27℃升到 177℃、体积减少一半，求气体压强变化多少？（２）这时气体分子 的平均动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？ 解 （1）由理想气体状态方程 p nkT 可得压缩前后分别满足
： 7 因 为 p氖：p氦 1
且 p氖 p氦 2.4mmHg ，
所 以 p氖 0.3 mmHg ，
p氦 2..01 105 0.3 p 760 n氖 氖 9.63 1021 m-3 23 kT 1.38 10 300
N v0 2 v0
v0
2N 3
2 v0
av （3）平均速率 v vf (v ) v dv v0 0 0
所以
v0
avdv
11 2 2 av0 ， 又因为 a 6 3v0
v
11 v0 9
10.8 求速率在 2v p 到 2.01v p 之间的气体分子数占总数的百分之几?
n氦 p氦 kT 6.74 10 22 m-3
3
10.4 一热气球的容积为 2200m ，气球本身和负截质量共 725kg，若其外部空气温度为 20℃，要想使气球上升，其内部空气最低要加热到多少度？ 解 由理想气体状态方程 PV
《大学物理》第十章气体动理论习题参考答案
第十章 气体动理论一、选择题参考答案1． (B) ；2． (B )；3． (C) ；4． (A) ；5． (C) ；6． (B )；7． (C )； 8． (C) ；9． (D) ；10． (D) ；11． (C) ；12． (B) ；13． (B) ；14． (C) ；15． (B) ；16．(D) ；17． (C) ；18． (C) ；19． (B) ；20． (B) ；二、填空题参考答案1、体积、温度和压强，分子的运动速度（或分子的动量、分子的动能）2、一个点；一条曲线；一条封闭曲线。
3. kT 21 4、1:1；4:1 5、kT 23；kT 25；mol /25M MRT 6、12.5J ；20.8J ；24.9J 。
7、1:1；2:1；10:3。
8、241092.3⨯9、3m kg 04.1-⋅10、（1）⎰∞0d )(v v v Nf ；（2）⎰∞0d )(v v v f ；（3）⎰21d )(212v v v v v Nf m 11、氩；氦12、1000m/s ； 21000m/s13、1.514、215、12M M三、计算题参考答案1．解：氧气的使用过程中，氧气瓶的容积不变，压强减小，因此可由气体状态方程得到使用前后的氧气质量，进而将总的消耗量和每小时的消耗量比较求解。
已知atm 1301=p ，atm 102=p ，atm 13=p ；L 3221===V V V ，L 4003=V 。
质量分布为1m ，2m ，3m ，由题意可得RT Mm V p 11=RT Mm V p 22= RT M m V p 333=所以该瓶氧气使用的时间为h)(6.94000.132)10130(3321321=⨯⨯-=-=-=V p V p V p m m m t 2．解：设管内总分子数为N ，由V NkT nkT p ==有 1210611)(⨯==.kT pV N （个）空气分子的平均平动动能的总和= J 10238-=NkT 空气分子的平均转动动能的总和 = J 106670228-⨯=.NkT 空气分子的平均动能的总和 = J 10671258-⨯=.NkT3．解：（1）根据状态方程RT MRT MV m p RT M m pV ρ==⇒=得 ρp M RT = ，pRT M ρ= 气体分子的方均根速率为1-2s m 49533⋅===ρp M RT v （2）气体的摩尔质量为1-2m ol kg 108.2⋅⨯==-p RTM ρ所以气体为N 2或CO 。
大学物理第十章气体的动理论习题答案
5. 一瓶氦气和一瓶氮气，两者密度相同，分子平均平动动能相等，而且都处于平衡状态， 则两者[ C ] （A）温度相同，压强相等； （B）温度，压强都不相同； （C）温度相同，但氦气的压强大于氮气压强； （D）温度相同，但氦气的压强小于氮气压强。
6． 1mol 刚性双原子分子理想气体， 当温度为 T 时， 其内能为
[
C
]
(A)
3 RT 2
3 (B) kT 2
(C)
5 RT 2
5 (D) kT 2
7． 在一容积不变的封闭容器内， 理想气体分子的平均速率若提高为原来的 2 倍， 则[ D ] （A）温度和压强都提高为原来的 2 倍。 （B）温度为原来的 2 倍，压强为原来的 4 倍。
（C）温度为原来的 4 倍，压强为原来的 2 倍。 （D）温度和压强都为原来的 4 倍。 8． 已知氢气与氧气的温度相同， 请判断下列说法哪个正确？ （A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。 （B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的密度一定大于氢气的密度。 （C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。 （D） 氧分子的质量比氢分子大， 所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。 9．速率分布函数 f(v)的物理意义为： （A）具有速率 v 的分子占总分子数的百分比。 （B）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比。 （C）具有速率 v 的分子数。 （D）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子数。
一．单项选择题： 1．关于温度的意义，有下列几种说法： （1）气体的温度是分子平均平动动能的量度。 （2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义。 （3）温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同。 （4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。 上述说法中正确的是 （A） （1） 、 （2） 、 （4）;（B） （1） 、 （2） 、 （3）;（C） （2） 、 （3） 、 （4）;（D） （1） 、 （3） 、 （4） 。 2. 两 容 积 不 等 的 容 器 内 分 别 盛 有 He 和 N2 ， 若 它 们 的 压 强 和 温 度 相 同 ， 则 两 气 体 [ A ] [ B ]
大学物理A 练习题 第10章《气体分子运动论》
《第10章 气体分子运动论》一 选择题1. 关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度．(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同． (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 这些说法中正确的是(A) (1)、(2)、(4)． (B) (1)、(2)、(3)． (C) (2)、(3)、(4)． (D) (1)、(3)、(4)．[ ]2. 温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能ε和平均平动动能w 有如下关系： (A) ε和w 都相等． (B) ε相等，而w 不相等．(C) w 相等，而ε不相等． (D) ε和w 都不相等．[ ]3. 若f (v )表示分子速率的分布函数，则对下列四式叙述：(1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 区间内的分子数． (2) ⎰21d )(v v v v f 表示在v 1→v 2速率区间内的分子数．(3)⎰∞0d )(v v v f 表示在整个速率范围内分子速率的总和．(4) ⎰∞d )(v v v v f 表示在v 0→∞速率区间内分子的平均速率.上述对四式物理意义的叙述(A) 正确的是(1). (B) 正确的是(2).(C) 正确的是(3). (D) 正确的是(4). (E) 都不正确．[ ]4. 设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令()2O pv 和()2Hp v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；.4)/()(22H O =p p v v (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；.4/1)/()(22H O =p p v v (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；.4/1)/()(22H O =p p v v (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；.4)/()(22H O =p p v v [ ](v )5. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是：(A) Z 和λ都增大一倍． (B) Z 和λ都减为原来的一半． (C) Z 增大一倍而λ减为原来的一半. (D) Z 减为原来的一半而λ增大一倍．[ ]二 填空题1. 有一瓶质量为M 的氢气(视作刚性双原子分子的理想气体)，温度为T ，则氢分子的平均平动动能为____________，氢分子的平均动能为______________，该瓶氢气的内能为_________________．2. 一容器内储有某种气体，若已知气体的压强为 3×105 Pa ，温度为27℃，密度为0.24 kg/m 3，则可确定此种气体是________气；并可求出此气体分子热运动的最概然速率为_____________m/s ．(普适气体常量R = 8.31 J ·mol -1·K -1)3. 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v p 代表最概然速率，那么，速率在v p 到v 范围内的分子数占分子总数的百分率随气体的温度升高而__________(增加、降低或保持不变)．4. 分子的平均动能公式ikT 21=ε (i 是分子的自由度)的适用条件是___________________ ______________________．室温下1 mol 双原子分子理想气体的压强为p ，体积为V ，则此气体分子的平均动能为_________________．5. 已知f (v )为麦克斯韦速率分布函数，N 为总分子数，则(1) 速率v > 100 m ·s -1的分子数占总分子数的百分比的表达式为_________； (2) 速率v > 100 m ·s -1的分子数的表达式为__________．三计算题1. 一超声波源发射超声波的功率为10 W．假设它工作10 s，并且全部波动能量都被1 mol 氧气吸收而用于增加其内能，则氧气的温度升高了多少？(氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R＝8.31 J·mol-1·K-1 )2. 质量m＝6.2 ×10-17 g的微粒悬浮在27℃的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为1.4 cm·s-1．假设粒子速率服从麦克斯韦速率分布，求阿伏伽德罗常数．(普适气体常量R＝8.31 J·mol-1·K-1 )3. 许多星球的温度达到108 K．在这温度下原子已经不存在了，而氢核(质子)是存在的．若把氢核视为理想气体，求：(1) 氢核的方均根速率是多少？(2) 氢核的平均平动动能是多少电子伏特？（普适气体常量R＝8.31 J·mol-1·K-1，1 eV＝1.6×10-19J，玻尔兹曼常量k＝1.38×10-23 J·K-1 )4. 由N 个分子组成的气体，其分子速率分布如图所示． (1) 试用N 与0v 表示a 的值．(2) 试求速率在1.50v ～2.00v 之间的分子数目． (3) 试求分子的平均速率．5. 一显像管内的空气压强约为1.0×10-5 mmHg ，设空气分子的有效直径d = 3.0×10-10 m ，试求27℃时显像管中单位体积的空气分子的数目、平均自由程和平均碰撞频率． （空气的摩尔质量28.9×10-3 kg/mol, 玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J ·K -1 760 mmHg = 1.013×105 Pa ）00四研讨题1. 比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？2. 速率分布分布函数假设气体分子速率分布在0～∞范围内,也就是说存在大于光速c的分子。
厦门大学 大学物理B 第10章 气体动理论(2)
如图设气体密度沿 z 轴变化，在 z 处有一垂直 平 面 dS 。 实 验 表 明 单 位 时间内通过这个面积的 z 0 气体质量与平面处的密 度梯度成正比，与平面 面积成正比。
O
( z)
dM
即：
dM d D( ) z0 dS dt dz
扩散系数：
z
1 D v 3
气体扩散现象的 微观本质是质量的定 向迁移。
z0
dQ
设上下 两端之间有 O T 导热物质，T 由上而下递 减，热量将沿 z 轴传递，在 z=z0 输处有一假想 的分界面，面积为dS
dQ dT 实验表明： dS dt dz
微观解释：
dQ dT 实验表明： dS dt dz : 热传导系数，由导热物质性质及状态决定 1 v Cv 3 ρ：密度；Cv：气体定容比热
p，2V0 T
p0，V0 TA
p0，V0 TB
设两种气体混合前的温度分别为TA、TB
解:
m i i E RT pV M 2 2
(1) 求内能
i m i E RT pV 2 M 2
气体 A：单原子分子（1 mol）， i = 3 3 i E A pV p0V0 ( J ) 2 2 气体 B：双原子分子（2 mol）， i = 5 5 EB p0V0 ( J ) 2 (2) 设混合平衡后温度为 T： 混合前内能 = 混合后内能 3 3 5 5 1mol RT 2mol RT p0V0 p0V0 2 2 2 2 8 p0V0 所以混合平衡后温度为：T (K ) 13 R
作业：
习题 10-5： o 计算 0 C 温度下，氢气和氧气的平均平动动能、平 均转动动能和平均动能。
西南交通大学《大学物理》气体分子动理论
别为 CVO2
=
R, 2
CV H 2
=
R 2
由理想气体状态方程 pV = M R 和题意标准状态下（两气体压强、体积相同）有 Tµ
M
（ 两气体的摩尔数之比为 µ
) O2
=
p 1V1 T1
= V1 = 1
M ( µ ) He
p2V 2 V 2 2 T2
m 根据理想气体内能公式 E = M ⋅ i RT 得 µ2
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《大学物理》作业 No.10 气体分子动理论 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题：
1. 在容积 V = 4×10 −3 m3 的容器中，装有压强 p = 5×10 2 P a 的理想气体，则容器中气体分子的平均平动
处的分子数密度。
n 若大气中空气的摩尔质量为 M mol ，温度为 T，且处处相同，并设重力场是均匀的，则空气分子数密度减少
a 到地面的一半时的高度为
。（符号 exp[α ]，即 e α ）
− Mmol gh
n 解：由玻尔兹曼粒子数按势能（高度）分布规律 n = n0e RT 得
i 空气分子数密度减少到地面的一半时的高度为
4. 在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比 V1 = 1 ，则其内能之比 V2 2
E1 / E2 为：
[
] (A) 1/2
(B) 5/3
(C) 5/6
(D) 3/10
解：氧气为双原子分子，其总自由度为 5，氦气为单原子分子，其总自由度为 3，故它们的摩尔热容量分
3
大学物理讲义(第10章气体动理论)第十节
*10.10 焦耳-汤姆逊实验 真实气体的内能一、焦耳实验1807年,盖-吕萨克曾经作过确定气体内能的实验,到1845年焦耳又更精确地重复作了类似的实验,两次实验得到了同样的结果.焦耳的实验如图10.17所示.容器A 内充满被压缩的气体,B 内为真空,A 、B 用活门C 隔开,整个装置浸入一个用绝热材料包起来的盛水容器中.将活门打开后,气体将充满整个容器,这里气体所进行的过程叫自由膨胀过程: 所谓"自由"是指气体向真空膨胀时不受阻碍作用.焦耳测量了气体膨胀前后气体和水的平衡温度,发现没有变化.这个结果一方面说明了膨胀前后气体的温度没有改变,另外也说明水和气体没有发生热量交换,即气体进行的是绝热自由膨胀过程.气体向真空自由膨胀过程中不受外界阻力,所以外界不对气体作功.虽然,在膨胀过程中,后进入B 中的气体将对先进入B 的气体作功.但这功是系统(即气体)内部各部分之间所作的,而不是外界对系统(气体)作的.又由于和外界无热量交换,所以在此过程中A=0，Q=0,由热力学第一定律知,气体的内能保持不变,即 21U U在这个实验中,气体膨胀前后体积虽发生了变化,温度却未变,而上式又表明,态函数内能未变,这说明气体的内能仅是温度的函数,与体积无关.二、焦耳-汤姆逊实验焦耳实验是比较粗糙的,因为水的热容量比气体的热容量大得多,体积膨胀所产生的微小温度变化所引起的周围水温的变化是很难精确测定的.1852年焦耳和汤姆逊(即开尔文)又用另外的方法研究气体的内能,这就是焦耳-汤姆逊实验.其主要装置如图10.18所示.在一个绝热良好的管子L 中,装置一个由多孔物质(如棉絮一类东西)作成的多孔塞H,使气体不容易很快通过,从而使多孔塞两边的气体保持一定的压强差.实验时气体不断地从高压一边经多孔塞流向低压一边,并使气体保持稳定流动状态,即保持高压边的压强为P 1,低压边为P 2,图中21T T 和为两个温度计,用以测定两边气体在稳定情况下的温度和温度差,这种在绝热条件下高压气体经多孔塞流向低压一边的过程称为节流过程.实验结果表明,在室温附近大多数气体(如空气、氧、氮等)在节流过程中,都要降温,唯有氢气和氦气温度却升高,气体在一定压强下经过节流膨胀而发生温度变化的现象称为焦耳-汤姆逊效应.凡气体温度降低者称正焦耳-汤姆逊效应(即致冷效应),温度升高者称为负焦耳-汤姆逊效应.例如,在室温下,当多孔塞一边的压强为P 1=2atm,而另一边压强P 2=1atm 时,空气的温度将降低0.25℃,而二氧化碳的温度降低1.3℃,在同样的压强改变下,氢气的温度却升高0.3℃,但当温度低于-68℃时,膨胀后氢气的温度也将降低.对于同一种气体,焦耳-汤姆逊效应可以是正的,也可以是负的.具体应由气体的温度和压强而定,在一定温度和压强下,气体经节流过程温度不发生变化的现象称为零焦耳-汤姆逊效应,发生零焦耳-汤姆逊效应的温度称为转换温度,图10.19是N 2在不同温度和压强下进行节流膨胀的实验结果.图中的曲线为转换曲线 .曲线上每一点的坐标表示在不同压强下的转换温度,即气体在曲线上每一点所对应的状态下进行微小的节流膨胀后温度将不改变. 由图可以看出,在压强小于某一极大值时,在每一压强下,有两个转换温度,在这两个温度之间是致冷区,以外是致温区.转换温度在致冷和液化技术上具有重要的意义.如低温工程中用焦耳-汤姆逊效应使氢气和氦气降温和液化时,必须先用其它方法把气体预先冷却到一定温度以下,就是这个道理.图中曲线与纵坐标轴的交点A 所代表的温度的意义是,当气体处于这个温度以上时,无论初态压强为何值进行节流膨胀都不会发生正效应.三、真实气体的内能焦耳-汤姆逊效应是一相当繁杂的现象,详细分析已超出了本课程的范围.但如用理想气体进行焦耳-汤姆逊实验,就不会发生温度改变.因为按分子动理论的观点,理想气体的内能就是构成气体的所有分子各种运动形式的动能及分子内原子间的振动势能的总和,而它们只与温度有关. 即无论原来的压强和温度以及膨胀前后的压强差如何,理想气体恒发生零焦耳-汤姆逊效应.然而,用一般气体进行实验时,都表明在气体体积发生变化的同时,温度有改变,这说明真实气体的内能还与体积有关.实际上这正反映了分子间存在相互作用力的影响.故气体在膨胀前后内能的增量不能用C V,m (T 2-T 1)表示,其中还应包括分子间相互作用的势能增量,而分子间的势能与分子间的距离有关,当真实气体体积改变时,分子间的平均距离随之改变,从而平均说来,内能中反映分子间势能贡献的部分也变化了,这就是实际气体内能随体积变化的原因.。
大学物理测试卷(气体动理论)
大学物理测试卷（气体动理论）text6一、选择题（共24分）1．（3’）已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？（A ）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强；（B ）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的密度一定大于氢气的密度；（C ）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大；（D ）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。
2．（3’）在一个容积不变的容器中，储有一定时的理想气体，温度为T 0时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0z ，平均自由程为0λ，当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞次数z 和平均自由程λ分别为：（A ）v =40v ；z =40z ；λ=40λ（B ）v =20v ；z =20z ；λ=0λ（C ）v =20v ；z =20z ；λ=40λ（D ）v =40v ；z =20z ；λ=0λ3．（3’）有容积不同的A 、B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体，若两种气体的压强相同，那么，这两种气体的单位体积的内能ΑV E )/(和ΒV E )/(的关系（A ）为ΑV E )/(<ΒV E )/(（B ）为ΑV E )/(>ΒV E )/(（C ）为ΑV E )/(=ΒV E )/(（D ）不能确定4．（3’）给定理想气体，从标准状态(p 0 , V 0 , T 0 )开始作绝热膨胀，体积增大到3倍，膨胀后温度T 、压强p 与标准状态时T 0 、p 0之关系为（γ为比热比）（A ）T=0)31(T γ；p=01-)31(p γ （B ）T=01-)31(T γ；p=0)31(p γ（C ）T=0-)31(T γ；p=01-)31(p γ （D ）T=01-)31(T γ；p=0-)31(p γ5．（3’）三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为2A v ：2B v ：2C v =1:2:4，则其压强之比p A : p B : p C 为（A ）1:2:4 （B ）4:2:1 （C ）1:4:16 （D ）1:4:86．（3’）若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了。
同济大学《大学物理》第十章 气体动力论
The Maxwell distribution（麦克斯韦速率分布函数）
f (v) 4 (
)3
2
e
v2
2kT
v2
2 kT
f(v)
f (v)dv dN N
0 f (v)dv 1
v
The average speed:（算术平均速率）
v
vdN N
vf
(v)dv
v 8kT 8RT 1.60 RT
1 the gas consists of a large number of molecules that make elastic collisions with each other and with the walls of the container
2 the molecules are separated, on the average, by the distances that are very large compared with their diameters
Emol
m M
i 2
RT
Where m is the mass of the gas M is the molar mass of the gas
Probability distribution（概率分布） Discrete distribution
Normalization condition（归一化 条件）
Suppose the gas is held in a cube container, one molecule moves ceaselessly The increase of molecule‘s momentum
vix vix 2 vix
《大学物理》作业No.10气体分子动理论
《大学物理》作业No.10气体分子动理论《大学物理》作业 No.10气体分子动理论一、选择题1. 两个相同的容器，一个盛氢气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体），开始时它们的压强和温度都相等。
现将6 J热量传给氦气，使之升高到一定温度。
若使氦气也升高同样的温度，则应向氦气传递热量:[ B ] (A) 6 J (B) 10 J (C) 12 (D) 5 J解：两种气体开始时p、V、T均相同，所以摩尔数也相同。
现在等容加热△T，由题意△T ＝ 6 J所以△T ＝。
2. 在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比，则其内能之比为：[ C ] (A) 1/2 (B) 5/3 (C) 5/6 (D) 3/10解：由所以,根据内能公式得二者内能之比为3. 在容积V = 4×10m3的容器中，装有压强p = 5×10P a的理想气体，则容器中气分子的平均平动动能总和为：[ B ] (A) 2 J (B) 3 J (C) 5 J (D) 9 J解：一个分子的平均平动动能为容器中气体分子的平均平动动能总和为＝3(J)。
4. 若在某个过程中，一定量的理想气体的内能E随压强p的变化关系为一直线（其延长线过E ~ p图的原点），则该过程为[ C ] (A) 等温过程 (B) 等压过程(C) 等容过程 (D) 绝热过程解：由，可见只有当V不变时，E ~ p才成正比。
5. 若为气体分子速率分布函数，N为分子总数，m为分子质量，则d v的物理意义是:[ D ] (A) 速率为v的各分子的总平均动能与速率为v的各分子的总平均动能之差。
(B) 速率为v的各分子的总平动动能与速率为v的各分子的总平动动能之和。
(C) 速率处在速率间隔v~ v之内的分子的平均平动动能。
(D) 速率处在速率间隔v~ v之内的分子平动动能之和。
解：因为dv，所以ddN表示在~速率间隔内的分子平动动能之和。
6. 一定量的某种理想气体若体积保持不变，则其平均自由程和平均碰撞频率与温度的关系是：[ D ] (A) 温度升高，减少而增大。
《大学物理教程(第三版)》第十章 气体动理论
第三篇气体动理论和热力学基础物质的运动形式是多种多样的，自然科学的不同学科以不同的物质运动形式作为其研究对象．统计物理学和热力学的研究对象是一种比较复杂的物质运动形式，即物质分子的热运动．什么叫做热运动？自然界的物质都是由大量分子组成的，而这些分子又永远不停地作不规则的运动，这种不规则的运动称为热运动．物质中大量分子的热运动的宏观表现称为热现象，例如热传导、扩散、液化、凝固、熔解、汽化等都是热现象，都是分子热运动的宏观表现．有关这类现象的研究属于热学范畴，所以统计物理学和热力学属于热学范畴．统计物理学和热力学的研究对象相同，都是热现象，但研究方法不相同，热力学的研究方法留在下一章热力学基础中介绍，第十章气体动理论里将简要说明统计物理学的研究方法．自然界的物质由大量分子组成，每一个分子都有它自己的质量、速度和能量，这些属于个别分子的物理量称为微观量．用实验方法来测定微观量是很困难的，一般是不可能的．通常实验所观察到的物理量如温度、压强等都不是属于个别分子的量，而是表征大量分子的集体特性的量，这些物理量称为宏观量．统计物理学的任务是从物质是由大量分子组成以及分子作热运动这一观点出发来研究热现象的本质的，它所用的方法是统计方法．这种方法是对个别分子的运动运用力学规律，然后对大量分子求它们的微观量的统计平均值，建立微现量的统计平均值与宏观量之间的关系，因而它能够从物质的微观结构出发来说明物质的宏观现象的本质．在§10－4推导压强公式的过程中将学习到这种求平均值的统计方法．第十章气体动理论§10－1 热力学第零定律温度温标一、热平衡热力学第零定律通常，温度的概念与人体感觉到的物体冷热程度相联系，较热的物体应有较高的温度．不过，我们的感官常常会产生错觉．例如，我们从冰箱的冷藏室中同时取出一盒牛奶和一个金属盘，虽然两者的温度相同，但是根据手上的感觉会认为金属盘更凉一些．这是由于金属比纸盒导热性能好，热量从手传输到金属盘比传输到纸盒快得多的原因．因此，要定量地给出物体的温度，首先应该有温度的严格定义．如果用石棉板类的绝热材料将两个物体与其他所有物体隔开，并使这两个物体在不发生物质交换和力的相互作用的情况下能够传热．这可以由两物体的直接接触，或通过导热特性良好的金属壁间接接触，或借助热辐射来实现．物体间的这种接触称为热接触．实验表明，两个物体通过热接触，热的物体变冷，冷的物体变热，经过一段时间后，两物体的宏观性质不再随时间变化，即达到了一个共同的平衡状态，我们称这两个物体达到了热平衡．如果将两个物体A和B用绝热材料隔开，使之不发生热接触，并引入第三个物体C，让物体C通过导热材料同时与物体A和B实现热接触，如图10－1图10－1所示．经过一段时间后，C和A以及C和B 将分别达到热平衡．这时，如果再使物体A 和B 发生热接触，则A 和B 的宏观性质都不会随时间变化，即表明A 和B 也达到了热平衡．由这样的实验可以得出结论：在无外界影响的条件下，如果两个物体各自都与第三个物体达到热平衡，则此二物体也必定处于热平衡．这一结论称为热力学第零定律，或热平衡定律．二、温度 温标按照热力学第零定律，处于热平衡的物体具有一个共同的宏观性质，因此可以定义这个决定物体热平衡的宏观性质为温度，即两个处于热平衡的物体温度相同．这个定义也为温度的测量提供了理论基础．如果处于热接触的两个物体之一就是温度计，那么当达到热平衡时，二者的温度相同，于是由温度计的温度可以给出待测物体的温度．而温度计的温度则是通过它的随温度改变而显著单调变化的某一物理性质来标志的．例如酒精温度计和水银温度计是利用液体体积的热胀冷缩作为测温属性，金属热电偶温度计则是利用温差电动势作为测温属性．温度的数值表示法称为温标．通常建立一种温标需要三要素：测温物质、测温属性和固定标准点．在日常生活与科技工作中普遍采用的摄氏温度用t 表示，单位为摄氏度，符号为℃．摄氏温标规定，在标准大气压下，冰水混合物的平衡温度(冰点)为0℃，水沸腾的温度(汽点)为100℃，在0℃和100℃之间按温度计测温物质的测温属性随温度作线性变化来刻度．由于不同测温物质的测温属性随温度的变化不可能都是一致的，因此这样建立的温标的三要素都与测温物质和测温属性的选择有关，故称为经验温标．所以，有必要找到一种不依赖于物质属性的温标作为统一标准的温标，我们将在下一节中进一步讨论这一问题．§10－2 气体的状态参量 理想气体状态方程 平衡状态一、气体的状态参量在力学中，物体的运动状态是用物体的位置和速度来描述的，在热学中气体的状态则要用气体的体积V 、压强p 和温度t 等物理量来描述，这几个物理量称为气体的状态参量．由于气体分子作热运动，盛在容器中的气体总是充满整个容器，所以气体的体积就是容器的容积．在国际单位制中，体积的单位是立方米．容器中的气体分子不断与容器壁碰撞，大量分子与器壁碰撞的结果形成一持续的作用力，器壁单位面积所受的正压力称为气体的压强，在国际单位制中压强的单位是帕斯卡，简称为帕，符号是Pa ，1 Pa = 1 N/m 3．通常使用的压强单位还有标准大气压(atm )，它与压强的国际单位Pa 的换算关系如下：l atm = 1.013×105 Pa二、理想气体状态方程 理想气体温标气体的三条实验定律，即玻意耳定律、查理定律和盖-吕萨克定律．1. 玻意耳定律在温度t 不变的情形下，一定量气体的压强p 和体积V 的乘积为一常量：C pV =(常量) （10－1）2．查理定律在压强p 不变的情形下，一定量气体的体积V 随温度t 作线性变化：)1(0t V V V α+= （10－2）其中αV 为气体的体膨胀系数，V 0为0℃时气体的体积．3．盖-吕萨克定律在体积V 不变的情形下，一定量气体的压强p 随温度t 作线性变化：)1(0t p p p α+= （10－3）其中αp 为气体的压强系数，p 0为0℃时气体的压强．一般的气体在压强不太大(与大气压比较)、温度不太低(与室温比较)时，都服从这三条定律，但不同的气体服从这三条定律的范围不相同．例如H 2、O 2及He 等气体在比较大的压强范围和温度范围都服从这三条定律．气体愈稀薄，气体的状态变化与三条实验定律的符合程度就愈好．在气体无限稀薄的极限情况下，所有气体的体膨胀系数αV 和压强系数αp 都趋于共同的极限值α，其数值为C 15.27310︒==t α在这种极限情况下的气体叫做理想气体．由(10－2)和(10－3)式可以看出，当温度t = -273.15℃时，理想气体的压强p 和体积V 都趋于0．温度t = -273.15℃是可能达到的最低温度的极限，称为绝对零度．由于实际气体在达到这样低的温度前早就液化或固化了，因此理想气体实际上是不存在的，只是一个理想模型．但在较高的温度和较低的压强下，一般气体都可当作是理想气体来处理．利用理想气体的性质可以建立理想气体温标．理想气体温标以绝对零度为零点，水、冰和水蒸汽三相平衡共存的温度规定为固定标准点温度．严格地不依赖于任何物质的测温性质的温标是建立在下一章中要讨论的热力学第二定律基础上的热力学温标，用该温标确定的温度称为热力学温度．热力学温度是国际单位制的七个基本单位之一．热力学温度用T 表示，单位为开尔文，简称为开，符号为K ，定义为水的三相点温度的16.2731．这也相当于将水的三相点温度273.16 K 规定为热力学温标的基本固定温度．可以证明，在理想气体温标能适用的范围内，理想气体温标与热力学温标是一致的．热力学温度T 与摄氏温度t 的关系为T /K = t /℃ + 273.15采用热力学温度后，由气体的上述三条实验定律可以导出质量一定的理想气体的p 、V 、T 三个状态参量的下列关系： C TpV =(常量)（m 一定） （10－4） 设p 0、V 0、T 0为气体在标准状态下的压强、体积和温度，则上式可写为00T V p T pV = （10－5） 其中p 0 = 1.013×105 Pa ，T 0 = 273.15 K ．假设气体的质量为m (以kg 为单位)，气体的摩尔质量1为M (以kg/mol 为单位)，则气体的物质的量为Mm ．在标准状 1 在国际单位制中，摩尔(mol )是一个物质系统的物质的量．该系统所包含的基本单元(可以是原子、分子、离子、电子等或这些粒子的组合)数与10×10-3kg 碳同位素C-12的原子数相等的物质的量就是1 mol ．1 mol 物质的质量称为该物质的摩尔质量．对于由分子组成的物质，其摩尔质量恰好等于以g 为单位时的分子量．例如氮气的摩尔质量2N M = 28×10-3kg·mol -1，氧气的摩尔质量2O M = 32×10-3 kg·mol -1等．态下1 mol 的任何气体的体积都是V m = 22.4×10-3 m 3/mol ，所以，质量为m 的气体的体积为m 0V Mm V =，代入(10－5)式得 0m 0T V p M m T pV = 0m 0T V p 为一常量，称为摩尔气体常量，用R 表示，则上式化为 RT Mm pV =（10－6） (10－6)式就是理想气体状态方程．这是质量为m 的气体在平衡状态下的三个参量p 、V 、T 之间的关系式．当m 为一定时，如果p 、V 、T 中有两个为已知，即可求出第三个，如果m 为未知或是变化的，则m 为第四个参量．p 、V 、T 、m 这四个参量满足(10－6)式，已知其中三个，可求出第四个．R 的数值及单位 R 的数值与各状态参量所用单位有关(1) 在国际单位制中压强的单位为Pa ，体积的单位为m 3，温度的单位为K ，则 K)J/(mol 31.8K15.273/mol m 104.22N/m 10013.133250m 0⋅=⨯⨯⨯==-T V p R (2) 在热学中能量曾用卡为单位，符号为cal ，由于1 J = 0.239 cal ，所以R = 8.31 J/(mol·K)×0. 239 cal/J = 2 cal/(mol·K )三、平衡状态 准静态过程质量一定的气体盛在容器中，它具有一定的体积．如果气体各部分的压强相同，温度相同，我们说这气体处于平衡状态．实验证明，如果气体和外界没有能量交换，在它内部又没有能量转换(例如没有化学反应或原子核发生变化)，则不论气体原来是否处于平衡状态，经过一定时间以后，它一定变为平衡状态，并且长期处于这种状态．当气体处于平衡状态时，它具有一定的压强p 、体积V 和温度T ，所以质量一定的气体，它的平衡状态可用状态参量p 、V 、T 一组值来表示，例如(p 1、V 1、T 1)表示一个状态，(p 2、V 2、T 2)表示另一个状态．根据理想气体状态方程(10－6)式，三个状态参量p 、V 、T 中只要给出其中两个(例如p 、V )，第三个(T )就确定了．所以气体的每一平衡状态可以用p －V 图上的一个点来表示(在此图中纵坐标为p ，横坐标为V )，如在图10－2中的点a (p 1、V 1、T 1)和b (p 2、V 2、T 2)． 如果气体与外界交换能量，它的状态就要发生变化，状态的变化必然要破坏气体原来的平衡状态．通常过程进行得较快，在气体尚未达到新的平衡状态时又发生了下一步的变化，即在过程进行中气体要经历一系列非平衡的中间状态．如果过程进行得足够缓慢，气体所经历的每一中间状态都无限接近于平衡状 图10－2态，这个过程称为准静态过程．准静态过程可以用p －V 图上的连续曲线表示．图10－2中曲线ab 即为从状态a 到状态b 的一个准静态过程．§10－3 气体动理论的基本概念人们从大量的实验事实总结出如下关于气体动理论的几个基本概念．一、一切宏观物体都是由大量分子组成 分子间有空隙从化学中知道，一切宏观物体都是由分子组成的．分子间有空隙的实验根据是：(1) 一切物体都是可以被压缩的，特别是气体容易被压缩；(2) 水和酒精混合后体积变小；(3) 有人曾用2.026×109 Pa 的压强压缩钢筒中的油，结果发现油可以透过筒壁渗出，这说明钢的分子间也有空隙存在．二、分子永不停息地作不规则的运动分子永不停息地运动的实验根据是扩散现象．把两种不同的金属，如铅及金互相压紧，则经过几个月以后，在铅中发现有金，在金中发现有铅．这说明固体分子也可以扩散．制造半导体器件时，为了改变半导体材料的物理性能，在半导体中掺入某种杂质，就是利用固体中的扩散现象．例如要在半导体硅中掺入杂质硼，就预先在硅片表面沉积一层含硼的二氧化硅(SiO 2)，然后把硅片放在1 100～1 200℃的高温炉中维持几十分钟，硼就向硅中扩散到一定程度，硼原子进入硅中证明硼原子是运动的．分子的运动是无规则的，布朗运动是一个典型例证．在显微镜下观察悬浮在水面上的藤黄粉末的运动，如果将其中三个颗粒的位置每隔半分钟记录一次，并分别用直线将这些位置逐一连接，便得到如图10－3所示的曲折路线．藤黄颗粒不是分子，但它的运动间接反映了其周围水分子的运动情况．藤黄颗粒的运动是由周围水分子对它的无规则的撞击所引起．由于藤黄颗粒很小，其表面积也很小，每一瞬间沿各个方向与藤黄颗粒发生碰撞的水分子不多，致使颗粒所受到的各个方向的撞击力不平衡，其大小和方向是不确定的，因此周围水分子传递给颗粒的瞬时动量的方向和大小也就是不确定的、无规则的．藤黄颗粒越小，这种不平衡即涨落现象越明显．这就是引起藤黄颗粒作无规则的布朗运动的原因．基于这种假设，1905－1908年爱因斯坦等物理学家从理论上定量地证明了布朗粒子位移平方的平均值与时间成正比，并于1908年为皮兰的实验所证实．图10－3就是皮兰所记录下的实验结果．实验证明，温度越高，扩散速度越大(即扩散进行越快)，温度越高，布朗运动越剧烈，这说明分子的无规则运动与物体的温度有关，温度越高，分子的运动图10－3越剧烈，因此，分子的无规则运动叫做分子的热运动．三、分子间有相互作用力物体既然是由一个个的分子组成的，为什么固体和液体的分子不会分散开而是聚集在一起呢？这是因为分子间有引力作用之故，分子间的引力使分子互相靠拢而不分散开．我们把固体拉伸时要受到抵抗，也是因为分子间有引力作用，阻碍它们互相分开．分子间不但有引力而且还有斥力，当我们把固体或液体压缩时也要受到很大的抵抗，这表明分子间有斥力作用，分子间的斥力阻碍分子互相靠拢，所以我们受到抵抗．分子间的引力或斥力统称为分子力，分子力与分子间的距离有关，其关系如图10－4所示，图中横坐标表示分子间距离r ，纵坐标表示分子力F ，F 为正时表示斥力，F 为负时表示引力．当分子间距离为r 0时(r 0～10-10m )分子间的作用力F = 0．当分子间的距离小于r 0时，分子力表现为斥力，并且随分子间距离的减小，斥力增加得很快．这就是固体和液体难以压缩的原因．当分子间的距离大于r 0时，分子力表现为引力．随着分子间距离的增加，引力先是增加，后来又慢慢减少．当分子间距离大于10-9m 时，分子间的作用力就可以忽略不计了，这表明分子间的作用力是短程力．§10－4 气体动理论的压强公式在本篇的引言中讲过，物理量有微观量和宏观量，个别分子的质量、速度等为微观量，气体的压强、温度等为宏观量，气体动理论的任务是用统计方法建立宏观量与相应的微观量之间的关系．这一节将用统计方法建立理想气体的压强与相应的微观量之间的关系，下一节将利用这个关系及理想气体状态方程建立气体的温度与相应的微观量之间的关系．理想气体的微观模型 在§10－3中所讲的基本概念是气体动理论的基础，也是本节推理的基础，但对理想气体来说，还要补充一些假设，根据这些假设推出的结果和理想气体性质符合，所以这些假设称为理想气体的微观模型.这些假设是：(1) 气体分子的大小与气体分子间的平均距离相比较要小得多，可以忽略不计．说明：把标准状态下的气体压缩成液体时，它的体积将缩小为原来体积的10001．在液体中分子几乎是一个挨一个地紧密地排列的，可见在气体状态时分子间的平均距离D 大约是分子的直径d 的10(31000)倍，即D ≈ 10d ．气体越稀薄，分子间的平均距离就越大，分子的大小与分子间的平均距离比较就越小，故可以忽略不计．(2) 由于气体分子间的平均距离甚大，所以除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可以忽略不计．说明；气体分子间的作用力是短程力，当分子间的距离大于其直径的10倍 图10－ 4(即10-9 m )时，这种力便小到可以忽略．而理想气体分子间的平均距离是很大的(D ≈ 10d 或更大)，所以，理想气体分子在运动过程中的绝大部分时间内，都不会受到分子力作用．我们可以认为除碰撞瞬间外，每一个分子的运动可以看作是由惯性支配的自由运动．(3) 分子间的相互碰撞以及分子与器壁间的碰撞可以看作是完全弹性碰撞． 假设分子间的相互碰撞或分子与器壁间的碰撞不是完全弹性碰撞，分子的动能将因碰撞而减小，每碰撞一次就减小一次，而气体分子间的碰撞是十分频繁的，在1 s 内，一个分子大约要遭到一百万万次的碰撞．这样，经过不长的时间，所有分子的动能都要变为零，分子的运动便完全停止了，这是与实验事实不相符的． 除分子模型外，还要对气体中分子的运动做出如下统计性假设：对于大量气体分子来说，当气体处于平衡状态时，分子沿各个方向运动的机会是相等的，没有任何一个方向气体分子的运动比其他方向更为显著，即在任何时刻沿各个方向运动的分子数目相等．如果这个假设不成立，则气体将集中在容器中某部分，这是与事实不符的．当气体处于平衡状态时，容器中气体的密度到处一样．这个假设的统计意义是气体分子的速度沿各个方向的分量的各种平均值相等，例如：222z y x v v v ==．理想气体压强公式的推导 容器中的气体之所以对器壁产生压力，乃由于大量分子与器壁碰撞的结果．一个分子与器壁碰撞一次即施加一冲量于器壁．对一个分子来说，它每次施给器壁的冲量多大，碰在什么地方，这些都是偶然的，断续的，但气体中有大量分子，每一时刻都有大量分子与器壁碰撞，大量分子与器壁碰撞的结果，就形成一种恒定的、持续的压强．下面我们就从这个观点出发来推导压强公式．为了方便起见，假设容器是长方形的，各边长分别为l 1、l 2、l 3，容器中有N 个同类的气体分子，每一个分子的质量为m ．当气体处于平衡状态时，容器壁各处的压强相同，我们只需要计算其中一个器壁上的压强即可．现在来计算与x 轴垂直的器壁A 1面上的压强．取气体中一个分子α来考虑．首先计算这个分子与A 1面每碰撞一次施于A 1面的冲量．假设这个分子的速度为v ，在x 、y 、z 三个方向的分速度为v x 、v y 、v z (图10－5)．假设器壁是完全光滑的，它只能沿垂直于器壁的方向施力于分子，所以当分子α与A 1面碰撞时，它受到A 1面的作用力垂直于A 1面，即是沿x 轴的负方向．由于在y 、z 方向没有受力作用，所以α分子的y 、z 方向分速度不改变(牛顿第二定律)．又因分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，在碰撞前后分子速图10－5 图10－6度的大小不变，所以它的x 方向分速度由v x 改为-v x (图10－6)．因此，α分子的动量的改变为(-m v x ) -m v x = -2m v x ．根据动量定理，这动量的改变等于器壁A 1面施于α分子的冲量，方向为沿x 轴的负方向．由牛顿第三定律，α分子施于A 1面的冲量等于+2m v x ．其次计算1 s 内α分子与A 1面碰撞的次数．为此，我们考虑α分子在x 轴上的投影的运动，这投影的速度为v x ．因为只有当分子与A 1或A 2面碰撞时，它的x 方向分速度才发生改变，而且只改变方向不改变大小，所以它的投影的运动是以不变的速率v x 在A 1和A 2两面之间来回运动，每来回一次α分子与A 1面碰撞一次，它的投影来回一次所需的时间为x l v 12，1 s 内来回的次数为12l x v ，所以1 s 内α分子与A 1面碰撞12l x v 次． 根据以上计算结果，在1 s 内α分子施于A 1面的冲量为12122l m l m x x x v v v = （10－7） 如上所述，虽然一个分子与A 1面的碰撞以及作用在A 1面上的力是间歇的，不连续的，但容器内有大量分子，每一瞬间都有大量分子与A 1面碰撞，结果使A 1面受到一个连续的、均匀的压力，正如密集的雨点打在雨伞上使我们感到一个均匀的作用力一样．那么，大量分子与A 1面碰撞使A 1面受到的压力等于什么呢？根据平均力=时间冲量的关系，A 1面所受到的平均力F 的大小应等于1 s 内容器中所有分子施于A 1面的冲量的总和．设v ix 为第i 个分子在x 方向的分速度，根据(10－7)式，容器中全部分子平均在1 s 内施于A 1面的总冲量为∑12l m ix v ，故A 1面所受到的平均力为∑∑====N i ix Ni ix l m l m F 121112v v 根据压强定义，A 1面上的压强为 )()(22221321222213211232132Nl l l Nm l l l m l l l m l l F p Nx x x Nx x x N i ix v v v v v v v +++=+++===∑= 式中括号内的量是N 个分子的x 方向分速度的平方的平均值，可写为2x v ，l 1l 2l 3为气体的体积，321l l l N 为单位体积内的分子数，用n 表示，则上式可写为 2xnm p v = （10－8）按照统计性假设，气体分子沿各个方向的分速度的平方的平均值应相等，即222z y x v v v == （10－9）又因 2222iziy ix i v v v v ++= 由此得 N N N N iz iy ix i ∑∑∑∑++=2222v v v v即 2222z y x v v v v ++= （10－10） 其中2v 为N 个分子的速度的平方的平均值．由(10－9)、(10－10)两式得 222231v v v v ===z y x （10－11） 代入(10－8)式得231v nm p = （10－12） ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22132v m n p （10－13） 式中221v m 是气体分子的平均平动动能．(10－12)式或(10－13)式即为气体动理论的压强公式．是气体动理论的基本公式之一．回顾以上推导的过程，我们首先对个别分子(α分子)应用牛顿力学规律——动量定理，求出它与A 1面碰撞一次施于A 1面的冲量；其次求出容器中全部分子平均在1 s 内施于A 1面的冲量∑12l m ix v ；再其次应用平均力概念及压强定义建立宏观量p 与微观量的平均值2x v 之间的关系(10－8)式．这里所用的方法就是统计方法．(10－11)式也是用统计方法得到的．在(10－13)式中221v m 是大量分子的平均平动动能，n 是单位体积的分子数，只有当分子数甚大时，这两个量才有确定的意义，否则就涨落不定．所以只当分子数目甚大时，压强p 才有确定意义．在(10－13)式中压强p 是一个统计平均量，单位体积内的分子数n 也是一个统计平均量，所以(10－13)式是p 、n 、221v m 三个统计平均量之间的相互联系的一个统计规律，而不是一个力学规律．§10－5 气体分子的平均平动动能与温度的关系由气体动理论的压强公式和理想气体状态方程可以推出气体分子的平均平动动能与温度的关系．理想气体状态方程是RT Mm pV =。
工科物理大作业10-气体动理论
1010 气体动理论班号 学号 姓名 成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1. 两种摩尔质量不同的理想气体，它们的压强、温度相同，体积不同，则下列表述中正确的是：A. 单位体积内的分子数相同；B. 单位体积中气体的质量相同；C. 单位体积内气体的内能相同；D. 单位体积内气体分子的总平均平动动能相同。
（A 、D ）[知识点] 理想气体状态方程nkT p =及内能公式RT i E 2=。
[分析与解答] 根据理想气体状态方程nkT p =，当气体的压强与温度相同时，单位体积内的分子数n 相同。
由理想气体状态方程RT Mm pV =，得RTpM V m =，即当气体压强与温度相同，但摩尔质量不同时，单位体积中气体的质量不相同。
又由理想气体内能公式RT i M m E 2=，结合状态方程，得pV i E 2=，则有p i V E 2=，可见当压强相同的两种理想气体的自由度相同（即为同结构分子）时，单位体积内气体的内能才会相同。
理想气体分子的平均平动动能kT k 23=ε，则有p n E k k 23==ε，则当气体的压强相同时，单位体积内的气体分子的总平均平动动能相同。
2. 以a 代表气体分子的方均根速率，ρ 表示气体的质量体密度。
则由气体动理论可知，理想气体的压强p 为：A. 2a p ρ=； B. a p ρ31=； C. 231a p ρ=； D. （C ）[知识点] RT Mm pV =，MRT 32=v[分析与解答] 由方均根速率的定义和题意有a MRT ==32v（1）由理想气体状态方程 RT Mm pV = (2)由题意 V m ρ= （3）联立以上三式，则有 231ρa p =3. 对处于平衡状态下的一定量某种理想气体，在关于内能的下述表述中，正确的是： A. 内能是所有分子平均平动动能的总和； B. 气体处于一定状态，就相应有一定的内能； C. 当理想气体状态改变时，内能一定随着变化；D. 不同的理想气体，只要温度相同，其内能也相同。
大学物理学(下册)第10章 气体动理论
➢ 处于平衡态下的理想气体的统计假设 每一分子在容器中任意位置出现的 概 率都是相等的 分子沿各个方向运动的概率都相同
自由度上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。
平方项的平均值
k
i 2
kT
平动自由度
结论：分子的每一个平动自由度上具有相
同的平均平动动能，都是kT/2
10.5.3 理想气体的内能 一个系统内分子热运动能量的总和称为系统的内能。系统的 内能包括系统内所有分子的动能和势能。
理想气体内能是分子动能之和 说明：
Nv
f (v) dN
此式的物理意义：速率在v附近，单位速率 区间内的分子数占总分子数的百分比。称为
Ndv 分子速率分布函数。
速率分布函数归一化条件
由： f (v) dN Ndv
f (v)dv
dN dv
0
0 Ndv
N dN
0 N
1
0.45 0.4
0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
yz xyz
vi2x
P 1 nmv2 3
p
nmv
2 x
等概率原理：
v
2 x
v
2 y
v
2 z
统计平均的概念：
v
2 x
v12x
v22x
v
2 Nx
＝
N
vi2x N
v2
v
2 x
v
2 y
vz2
10.3.3 压强公式的统计意义及微观本质
ch10 气体动理论 习题及答案
第10章 气体动理论 习题及答案1、什么是热力学系统的平衡态？气体在平衡态时有何特征？当气体处于平衡态时还有分子热运动吗？答：一个系统在不受外界影响的条件下，其宏观性质不随时间变化，则称该系统处于平衡态。
平衡态的特征：（1） 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换。
（2） 系统的宏观性质不随时间改变。
气体处于平衡态时，气体分子仍然处于无规则的热运动。
2、何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?解：在不涉及化学反应、核反应、电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和。
由于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为m 的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即RTi M m E 2是温度的单值函数．3、温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度的微观本质是分子平均平动动能的量度． 4、试说明下列各量的物理意义．（1）kT 21（2）kT 23（3）kT i2（4）RTi M m 2（5）RT i 2（6）RT 23解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k21T ．(2)在平衡态下，分子平均平动动能为kT 23.(3)在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量为kT i2.(4)由质量为m ，摩尔质量为M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为RTi M m 2.(5) 1摩尔自由度为i 的分子组成的系统内能为RT i2.(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT 23，或者说热力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为RT 23.5、最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率各有何用处?答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有P v 的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．分布函数的特征用最概然速率P v 表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．6、速率分布函数)(v f 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度，N为系统总分子数)．（1）v v f d )( （2）v v nf d )( （3）v v Nf d )( （4）⎰vv v f 0d )( （5）⎰∞d )(v v f （6）⎰21d )(v v v v Nf解：)(v f ：表示一定质量的气体，在温度为T 的平衡态时，分布在速率v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.(1) v v f d )(：表示分布在速率v 附近，速率区间v d 内的分子数占总分子数的百分比. (2) v v nf d )(：表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数密度． (3) v v Nf d )(：表示分布在速率v 附近、速率区间dv 内的分子数．(4)⎰vv v f 0d )(：表示分布在21~v v 区间内的分子数占总分子数的百分比．(5)⎰∞d )(v v f ：表示分布在∞~0的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.(6)⎰21d )(v v v v Nf ：表示分布在21~v v 区间内的分子数.7、在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等。
A10_气体动理论
【 对 】 【 错 】 【 对 】
3 kT 2
1 mol 氧分子的平动动能： 3 3 RT 8.31 300 3.7 103 J 2 2
转动动能：
2 RT 2.5 103 J 2
3 1 mol 单原子分子氦气的内能： RT 3739.5 J 2
1 克氦气的内能：
3 3 103 RT 8.31 300 0.95 103 J —— 摩尔质量 4 103 kg / mol 3 2 2 4 10
T p
T1 R tan 1 p1 T2 R tan 2 p2
选择题_01 图示
从图中显然看出 1 2 ，因此 V1 V2 ， a 到 b 是一个压缩过程。 02．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的二倍，那么 (A) 温度和压强都升高为原来的二倍； (B) 温度升高为原来的二倍，压强升高为原来的四倍； (C) 温度升高为原来的四倍，压强升高为原来的二倍； (D) 温度与压强都升高为原来的四倍。 03．一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状 态的温度，可能实现的过程为 (A) 先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； (B) 先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； (C) 先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； (D) 先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 04. 温度、 压强相同的氦气和氧气， 它们分子的平均动能 和平均平动动能 t 有如下关系： 【 C 】 (A) (C) 【 D 】 【 D 】
2 n t ， 表明宏观量压强 p 是由两个微观量的统计平均值 n (分子数密 3
大学物理下册课件第十章 气体动理论
vi2x N
1 V
mN
v
2 x
令分子密度： n N
V
p nmv 2 x
４．平衡态下分子各方向运动的机会均等
v2
v
2 x
v
2 y
v
2 z
p 1 nmv 2 3
v
2 x
v
2 y
v
2 z
1v2 3
理想气体压强公式
考虑：分子
质点
分子运动
平动
W平均平动动能
1 mv2 2
2
2
二. 关系式的意义
(1)宏观：T的大小反映物体的冷热程度
微观：温度T的高低反映大量气体分子热运动剧烈程 度．是分子平均平动动能大小的量度．
温度是宏观量,表征大量气体分子热运动剧烈程度. 对个别
分子无意义。温度公式 W 1 mv 2 3 kT
2
给出宏观量T 与微观量的统计平均值
1
2
mv2
温度往往与人体感觉到的物体冷热程度相联系 人体感觉：较热的物体应有较高的温度 感官常常会产生错觉
从冰箱冷藏室中同时取出的物体，哪一个更凉？
绝热材料
热
C
接
触
A
导热材料
在无外界影响的条
件下，如果两个物体各
热 接
自都与第三个物体达到
触
B
热平衡，则此二物体也 必定处于热平衡。
足够长时间后
——热力学第零定律
各部分压强、温度相同
平衡状态 a(p1,V1,T1)
一定质量的气体
的平衡状态，可以用 一组( p,V,T)值表示
《大学物理学》气体的动理论自学练习题
《大学物理学》气体动理论可能用到的数据：8.31/R J mol =； 231.3810/k J K -=⨯； 236.0210/A N mol =⨯。
一、选择题12-1．处于平衡状态的一瓶氮气和一瓶氦气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( C )（A ）温度，压强均不相同； （B ）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强； （C ）温度，压强都相同； （D ）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强。
【分子的平均平动动能3/2ktkT ε=，仅与气体的温度有关，所以两瓶气体温度相同；又由公式P nkT =，n 为气体的分子数密度，知两瓶气体的压强也相同】2．容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T ，分子质量为m ，则分子速度在x 方向的分量平均值为：（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）( D )（A ）x υB ）x υC ）x υ=m kT 23；（D ）x υ=0。
【大量分子在做无规则的热运动，某一的分子的速度有任一可能的大小和方向，但对于大量分子在某一方向的平均值应为0】3．若理想气体的体积为V ，压强为P ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 ( B )（A ）m PV /； （B ）)/(kT PV ； （C ）)/(RT PV ； （D ）)/(mT PV 。
【由公式P nkT =判断，所以分子数密度为Pnk T=，而气体的分子数为N nV=】4．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于( D ) （A ）气体的体积； （B ）气体分子的压强； （C ）气体分子的平均动量；（D ）气体分子的平均平动动能。
【见第1题提示】5．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是( A )（A ）氧气的温度比氢气的高；（B ）氢气的温度比氧气的高； （C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。