函数模型的应用
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第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[解] 建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)， (2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30， 解得 a＝1，b＝7，c＝0， 则 f(x)＝x2＋7x， 故 f(4)＝44，与计划误差为 1.
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
(3) 由(2) 得到的函数模型为 y＝2.2 ＋1.8x.则 由 y＝2.2＋ 1.8×25，求得 y＝47.2，即当最大积雪深度为 25 cm 时，可以灌 溉土地约为 47.2 公顷．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为 30 cm， 问可以灌溉土地多少公顷？
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[解] 根据题意，有 98＝20＋(100－20)e－60k， 整理得 e－60k＝3490. 利用计算器，解得 k＝0.0004222. 故 θ＝20＋80e－0.0004222t. 从早上六点至中午十二点共过去 6 小时，即 360 分钟． 当 t＝360 时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152， 由计算器算得 θ≈89℃>85℃， 即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[针对训练] 1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度 是 θ1 度，室内气温是 θ0 度，t 分钟后，开水的温度可由公式 θ＝θ0 ＋(θ1－θ0)e－kt 求得，这里，k 是一个与热水瓶类型有关的正的常 量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为 100℃，过 1 小时后又测得瓶内水温变为 98℃.已知某种奶粉必须用不低于 85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满 100℃ 的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述 奶粉？(假定该地白天室温为 20℃)
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
可以用指数函数模型来解决的几类问题 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长 率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为 y＝N(1 ＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
回答以下问题： (1)树叶沙沙声的强度是 1×10－12 W/m2，耳语的强度是 1×10 －10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是 1×10－8 W/m2，试分别求 出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度 水平必须保持在 50 分贝以下．试求声音强度 I 的范围．
第四章 4.5 4.5.3
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )
(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．( )
(3)函数 y＝12·3x＋1 属于幂函数模型．(
)
(4)某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，…，
[解] 由(2)得到的函数模型为 y＝2.2＋1.8x，则由 y＝2.2＋ 1.8×30，求得 y＝56.2，即当最大积雪深度为 30 cm 时，可以灌 溉土地约为 56.2 公顷．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
建立拟合函数的方法策略 根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择 合适的函数模型，并求解新的问题．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[ 解] (1) 由题意可知树叶沙沙 声的强度是 I1 ＝1×10－12 W/m2，则II10＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平 为 0 分贝；耳语的强度是 I2＝1×10－10 W/m2，则II20＝102；∴LI2 ＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为 20 分贝；恬静的无线 电广播的强度是 I3＝1×10－8 W/m2，则II30＝104，∴LI3＝10×lg104 ＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为 40 分贝．
现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的关系 可以表示为 y＝2x＋1.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
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课堂互动探究
第四章 4.5 4.5.3
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题型一 利用已知函数模型解决实际问题 【典例 1】 我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与 它的强度有关系，声音的强度用 I(W/m2)表示，但在实际测量时， 常用声音的强度水平 LI 表示，它们满足以下公式： LI＝10·lgII0(单位为分贝，LI≥0，其中 I0＝1×10－12，这是人 们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．
第四章 4.5 4.5.3
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题型三 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【典例 3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，
在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度 x 与当年灌溉面积
y.现有连续 10 年的实测资料，如表所示.
最大积雪深度 灌溉面积 y(公
年序
x(cm)
顷)
第四章 4.5 4.5.3
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2．常见的图象对应的数学模型 (1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选 y＝ bax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型． (2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选 y＝ blogax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型． (3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．
(2)由题意知 0≤LI<50，即 0≤10lgII0<50，∴1≤II0<105，即 10 －12≤I<10－7.故新建的安静小区的声音强度 I 大于或等于 10－12 W/m2，小于 10－7 W/m2.
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
利用已知函数模型解决实际问题的解题要点 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的 是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关 系式，最后结合其实际意义作出解答．
1．能利用已知函数模型求解实际问题． 2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必 要性．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
1．常见的函数模型 建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模 型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见 的以下函数模型： 指数函数模型：y＝b·ax＋c(a>0 且 a≠1，b≠0) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(a>0 且 a≠1，m≠0)．
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
课标A版·数学·必修第一册
4.5
函数的应用(二)
第四章 4.5 4.5.3
4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
函数模型的应用
第四章 4.5 4.5.3
Baidu Nhomakorabea
课标A版·数学·必修第一册
课前自主预习
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[针对训练]
2．一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且使森林
面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为2a.已知到今年为
止，森林面积为
2 2 a.
(1)求 p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[解] (1)由题意得 a(1－p%)10＝2a，即(1－p%)10＝
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
[解] (1)当 x＝1 时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当 x＝2 时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1 ＋1.2%)2； 当 x＝3 时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2% ＝ 100·(1＋1.2%)3； … 故 y 关于 x 的函数解析式为 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
第四章 4.5 4.5.3
4
18.6
5
26.4
6
23.4
7
13.5
8
16.7
9
24.0
10
19.1
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36.6 49.8 45.0 29.2 34.1 45.8 36.9
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
第四章 4.5 4.5.3
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[针对训练] 3．某汽车制造商在 2019 年初公告：公司计划 2019 年生产 目标定为 43 万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份 2016 2017 2018 产量 8(万) 18(万) 30(万) 如果我们分别将 2016、2017、2018、2019 定义为第一、二、 三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型 g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系？
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数 y＝kx＋b(k≠0) 模型．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？ [答案] 指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对 数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数 增长速度均匀不变
第四章 4.5 4.5.3
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题型二 自建函数模型解决实际问题 【典例 2】 目前某县有 100 万人，经过 x 年后为 y 万人．如 果年平均增长率是 1.2%，请回答下列问题： (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年)． [思路导引] 已知条件中年平均增长率为 1.2%，建立指数模 型求解．
[解] (1)描点、作图，如图(甲)所示：
第四章 4.5 4.5.3
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(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由 此，我们假设灌溉面积 y 与最大积雪深度 x 满足一次函数模型 y ＝a＋bx(a，b 为常数且 b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)， (24.0,45.8)，代入 y＝a＋bx，得2415..18＝ ＝aa＋ ＋1204..40bb， ， 用计算器可得 a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函 数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程 度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关 系．
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象． (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图 象． (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为 25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ [思路导引] 借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解 决问题．
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
第四章 4.5 4.5.3
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(2)当 x＝10 时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人． (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万，即 100×(1＋1.2%)x ＝120，解得 x＝log1.012112000≈15.3. 因为 x 为年份，根据实际意义知，大约 16 年后该县的人口 总数将达到 120 万．
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[解] 建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)， (2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30， 解得 a＝1，b＝7，c＝0， 则 f(x)＝x2＋7x， 故 f(4)＝44，与计划误差为 1.
第四章 4.5 4.5.3
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(3) 由(2) 得到的函数模型为 y＝2.2 ＋1.8x.则 由 y＝2.2＋ 1.8×25，求得 y＝47.2，即当最大积雪深度为 25 cm 时，可以灌 溉土地约为 47.2 公顷．
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[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为 30 cm， 问可以灌溉土地多少公顷？
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[解] 根据题意，有 98＝20＋(100－20)e－60k， 整理得 e－60k＝3490. 利用计算器，解得 k＝0.0004222. 故 θ＝20＋80e－0.0004222t. 从早上六点至中午十二点共过去 6 小时，即 360 分钟． 当 t＝360 时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152， 由计算器算得 θ≈89℃>85℃， 即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.
第四章 4.5 4.5.3
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[针对训练] 1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度 是 θ1 度，室内气温是 θ0 度，t 分钟后，开水的温度可由公式 θ＝θ0 ＋(θ1－θ0)e－kt 求得，这里，k 是一个与热水瓶类型有关的正的常 量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为 100℃，过 1 小时后又测得瓶内水温变为 98℃.已知某种奶粉必须用不低于 85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满 100℃ 的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述 奶粉？(假定该地白天室温为 20℃)
第四章 4.5 4.5.3
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可以用指数函数模型来解决的几类问题 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长 率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为 y＝N(1 ＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
第四章 4.5 4.5.3
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第四章 4.5 4.5.3
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回答以下问题： (1)树叶沙沙声的强度是 1×10－12 W/m2，耳语的强度是 1×10 －10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是 1×10－8 W/m2，试分别求 出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度 水平必须保持在 50 分贝以下．试求声音强度 I 的范围．
第四章 4.5 4.5.3
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．( )
(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．( )
(3)函数 y＝12·3x＋1 属于幂函数模型．(
)
(4)某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，…，
[解] 由(2)得到的函数模型为 y＝2.2＋1.8x，则由 y＝2.2＋ 1.8×30，求得 y＝56.2，即当最大积雪深度为 30 cm 时，可以灌 溉土地约为 56.2 公顷．
第四章 4.5 4.5.3
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建立拟合函数的方法策略 根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择 合适的函数模型，并求解新的问题．
第四章 4.5 4.5.3
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[ 解] (1) 由题意可知树叶沙沙 声的强度是 I1 ＝1×10－12 W/m2，则II10＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平 为 0 分贝；耳语的强度是 I2＝1×10－10 W/m2，则II20＝102；∴LI2 ＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为 20 分贝；恬静的无线 电广播的强度是 I3＝1×10－8 W/m2，则II30＝104，∴LI3＝10×lg104 ＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为 40 分贝．
现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的关系 可以表示为 y＝2x＋1.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
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题型一 利用已知函数模型解决实际问题 【典例 1】 我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与 它的强度有关系，声音的强度用 I(W/m2)表示，但在实际测量时， 常用声音的强度水平 LI 表示，它们满足以下公式： LI＝10·lgII0(单位为分贝，LI≥0，其中 I0＝1×10－12，这是人 们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．
第四章 4.5 4.5.3
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题型三 拟合数据构建函数模型解决实际问题
【典例 3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，
在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度 x 与当年灌溉面积
y.现有连续 10 年的实测资料，如表所示.
最大积雪深度 灌溉面积 y(公
年序
x(cm)
顷)
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2．常见的图象对应的数学模型 (1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选 y＝ bax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型． (2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选 y＝ blogax＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型． (3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．
(2)由题意知 0≤LI<50，即 0≤10lgII0<50，∴1≤II0<105，即 10 －12≤I<10－7.故新建的安静小区的声音强度 I 大于或等于 10－12 W/m2，小于 10－7 W/m2.
第四章 4.5 4.5.3
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利用已知函数模型解决实际问题的解题要点 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的 是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关 系式，最后结合其实际意义作出解答．
1．能利用已知函数模型求解实际问题． 2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必 要性．
第四章 4.5 4.5.3
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1．常见的函数模型 建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模 型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见 的以下函数模型： 指数函数模型：y＝b·ax＋c(a>0 且 a≠1，b≠0) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(a>0 且 a≠1，m≠0)．
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第
四
指数函数与对数函数
章
第四章 指数函数与对数函数
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函数的应用(二)
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函数模型的应用
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[针对训练]
2．一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且使森林
面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为2a.已知到今年为
止，森林面积为
2 2 a.
(1)求 p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
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[解] (1)由题意得 a(1－p%)10＝2a，即(1－p%)10＝
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[解] (1)当 x＝1 时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当 x＝2 时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1 ＋1.2%)2； 当 x＝3 时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2% ＝ 100·(1＋1.2%)3； … 故 y 关于 x 的函数解析式为 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
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第四章 4.5 4.5.3
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36.6 49.8 45.0 29.2 34.1 45.8 36.9
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[针对训练] 3．某汽车制造商在 2019 年初公告：公司计划 2019 年生产 目标定为 43 万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份 2016 2017 2018 产量 8(万) 18(万) 30(万) 如果我们分别将 2016、2017、2018、2019 定义为第一、二、 三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型 g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系？
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(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数 y＝kx＋b(k≠0) 模型．
第四章 4.5 4.5.3
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1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？ [答案] 指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对 数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数 增长速度均匀不变
第四章 4.5 4.5.3
课标A版·数学·必修第一册
题型二 自建函数模型解决实际问题 【典例 2】 目前某县有 100 万人，经过 x 年后为 y 万人．如 果年平均增长率是 1.2%，请回答下列问题： (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年)． [思路导引] 已知条件中年平均增长率为 1.2%，建立指数模 型求解．
[解] (1)描点、作图，如图(甲)所示：
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(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由 此，我们假设灌溉面积 y 与最大积雪深度 x 满足一次函数模型 y ＝a＋bx(a，b 为常数且 b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)， (24.0,45.8)，代入 y＝a＋bx，得2415..18＝ ＝aa＋ ＋1204..40bb， ， 用计算器可得 a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函 数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程 度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关 系．
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象． (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图 象． (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为 25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ [思路导引] 借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解 决问题．
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(2)当 x＝10 时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人． (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万，即 100×(1＋1.2%)x ＝120，解得 x＝log1.012112000≈15.3. 因为 x 为年份，根据实际意义知，大约 16 年后该县的人口 总数将达到 120 万．