证明分数一定是小数或无限循环小数
无限循环小数判断-定义说明解析
无限循环小数判断-概述说明以及解释1.引言1.1 概述无限循环小数是数学领域的一个重要概念，它是指某些小数在十进制表示下出现无限重复的情况。
在数学中，无限循环小数常常伴随着周期性的数字模式，如0.3333...或者0.6666...等。
由于其特殊的性质，无限循环小数在实际生活和科学研究中经常出现，并且具有重要的应用价值。
本文旨在探讨判断无限循环小数的方法，并对其应用场景进行分析和介绍。
首先，我们将详细定义无限循环小数的概念，为读者提供清晰的认识。
随后，我们将介绍几种常用的判断无限循环小数的方法，包括纯循环小数和混循环小数的判定原理。
接着，通过示例分析，我们将具体说明这些方法的应用过程和实际操作步骤。
除了对无限循环小数的判断方法进行探讨外，我们还将重点探讨无限循环小数在实际生活和科学领域中的应用场景。
无限循环小数作为数学中重要的概念，与分数、比例、百分比等领域密切相关。
我们将着重介绍其中与金融、地理、物理等领域相关的案例，展示无限循环小数的实际应用和重要价值。
最后，本文将总结无限循环小数的判断方法，并对其应用进行展望。
我们将阐述无限循环小数在数学研究和实际生活中的潜在应用价值，并指出研究的局限性和未来的发展方向，为读者提供一个深入理解和探索无限循环小数的窗口。
通过对无限循环小数的概述和研究，我们可以更好地理解和应用这一数学概念，为实际问题的解决提供更准确和科学的方法。
无限循环小数作为数学中一个重要的研究领域，其应用潜力和发展前景广阔，希望本文能够为读者带来启示和灵感，促进该领域的深入研究和应用。
1.2文章结构文章结构部分应包括以下内容：在这个部分中，我将介绍本文的结构和各个章节的内容。
本文共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对无限循环小数判断这一主题进行概述，介绍无限循环小数的定义、判断方法以及应用场景等内容。
并给出本文研究的目的和写作的动机。
正文部分将详细介绍无限循环小数的定义和判断方法。
证明是循环小数有理数
证明是循环小数有理数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述循环小数是数学中一种特殊的小数表示方法。
它由一组无限循环的数字组成，其中某一段数字会不断重复出现。
例如，0.3333...和0.6666...都是循环小数。
在本文中，我们将证明循环小数都是有理数。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数。
证明循环小数是有理数，可以帮助我们更深入地理解小数表示的特殊性质，以及数学中的有理数概念。
本文将以引言、正文和结论三个部分展开。
引言部分将对循环小数的概念进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将详细论述循环小数的性质和表示方式，并给出循环小数是有理数的证明。
结论部分将对已证明的结果进行总结，并探讨循环小数的应用和意义，展望相关领域的研究方向。
通过本文的阅读，读者将了解循环小数的基本概念和性质，以及其背后的数学原理。
同时，证明循环小数是有理数的过程将让我们对数学中的有理数有更深入的理解和认识。
在本文的结尾，我们将给出一个总结和结束语，以期引发读者对循环小数这一数学问题的思考和探索。
让我们一起开始探索循环小数，揭开其有理数的面纱吧！1.2 文章结构文章结构是指文章的整体组织方式，包括章节的划分和各个章节的内容安排。
本文共分为三个章节，即引言、正文和结论。
引言部分主要是对整篇文章进行简要介绍和概述，包括循环小数的定义、性质以及表示方式等基本概念。
同时，引言还需要明确文章的目的，即证明循环小数是有理数的目的，以及通过此证明的意义和应用。
最后，引言还需要对整篇文章的结构进行概括性的总结。
正文部分是本文的核心内容，包括了循环小数的定义、性质、表示方式以及最重要的证明循环小数是有理数的过程。
其中，2.1节会详细介绍什么是循环小数，包括循环小数的定义和特点等。
2.2节将深入探讨循环小数的性质，比如循环节的长度、循环节的周期性等。
2.3节将介绍循环小数的表示方式，包括纯循环小数和混循环小数等。
最后，2.4节将着重讲解循环小数是有理数的证明过程，使用数学推理和运算法则等方法，展示循环小数是有理数的确凿证据。
证明分数一定是小数或无限循环小数
证明分数一定是小数或无限循环小数分数一定是小数或无限循环小数。
要证明这一点，我们可以从两个方面进行论证：一方面，使用数学语言和推理来证明；另一方面，使用直观的例子来说明。
首先，我们可以使用数学语言来进行证明。
假设有一个分数a/b，其中a和b是整数，b不等于0。
如果a/b是一个有限小数，那么我们可以将其表示为m个数字的形式：a/b = d1d2d3...dm，其中d1, d2,d3, ..., dm是十进制数字。
我们可以假设这些数字的最高位是d1，最低位是dm。
我们可以将这个有限小数转化为分数的形式：a/b = d1 *10^(m-1) + d2 * 10^(m-2) + ... + dm-1 * 10 + dm。
换句话说，我们可以将有限小数表示为一个分数，这个分数的分子是一个整数，分母是一个整数。
然而，我们可以推出一个矛盾的结论：如果分数a/b是一个有限小数，那么我们可以找到一个整数n，使得a/b=n。
但是，这与我们最初的假设矛盾，即a和b是整数，b不等于0，且a/b是一个非整数。
因此，我们可以断定，分数一定是一个无限循环小数或者是一个无限不循环小数。
由于我们可以找到许多这样的例子，进一步显示了分数可能是无限循环小数或小数。
这是因为在十进制系统中，我们只有有限数量的数字来表示分数，因此无法精确表示无限个数字。
因此，我们只能使用一个数字或一个无限循环的数字来代表分数。
综上所述，分数一定是小数或无限循环小数。
这个结论可以通过数学语言和推理来证明，也可以通过直观的例子进行说明。
无论从理论上还是实际观察到的现象中，我们都可以得出这样的结论。
分数与小数的互化
分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第2节中的内容．通过本讲的学习，我们需要学会分数与有限小数及无限循环小数的互化，并利用分数与小数互相转化的方法比较分数与小数的大小，从而熟练分数与小数的互化，为后面学习分数与小数的四则混合运算做好准备．1、分数化小数利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如：3350.65=÷=．2、可化为有限小数的分数的规律一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．3、有限小数化为分数原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分．注意：结果一定要化为最简分数．分数与小数的互化内容分析知识结构模块一：分数与有限小数的互化知识精讲【例1】 把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．35、56、18、920、7112、124【难度】★【答案】0.6；0.833；0.125；0.45；1.583；2.25． 【解析】考察分数与小数的互化．【例2】 把下列小数化成分数．0.12，0.076，1.35，2.02．【难度】★【答案】3197112252502050，，，．【解析】2531001212.0==，25019100076076.0==，207110035135.1==，50121002202.2==．【总结】考察分数与小数的互化．【例3】 比较下列两组数的大小：1320______0.66，1.35______37180． 【难度】★【答案】< ；<． 【解析】66.065.02013<=，35.14625.180371>=．【总结】考查分数与小数的大小比较，可以将分数化为小数，也可将小数化成分数，然后再比较大小．【例4】 将12，35，58，710，1320，1725按从小到大的顺序排列．【难度】★★【答案】12<35<58<1320<1725<710． 【解析】1=0.52，3=0.65，5=0.6258，7=0.710，13=0.6520，17=0.6825．【总结】主要考查分数的大小比较，可以将分数化为小数，然后再比较大小．例题解析【例5】 下列说法错误的是（ ）A ．任何分数都能化为小数B ．任何小数都能化为最简分数C ．任何分数都能化为有限小数D ．任何有限小数都能化为分数【难度】★★ 【答案】C【解析】分数可以化为有限小数和无限不循环小数． 【总结】考查分数化为小数的方法．【例6】 在分数313，714，1150，1215，2332，76中能化为有限小数的分数有______个．【难度】★★【答案】4【解析】714，1150，1215，2332均可化为有限小数．【总结】考察分数转化为有限小数的条件．【例7】 10.26分米 = ______分米 = ______米；0.26天 =______小时．（填分数） 【难度】★★ 【答案】501310；500131；25156．【解析】501310100261026.10==，251562450132426.0=⨯=⨯． 【总结】考察利用小数分数之间的转化表示单位之间的换算．【例8】 0.24的倒数是______，1.35的倒数是______． 【难度】★★【答案】625，2720．【解析】2561002424.0==，2027207110035135.1===． 【总结】先将小数化为分数，然后再求倒数．【例9】 （1）120.252-；（2）120.253-．【难度】★★【答案】（1）2.25；（2）1212． 【解析】（1）120.25 2.50.25 2.252-=-=；（2）111120.252233412-=-=．【总结】分数与小数混合运算时，有不能化为有限小数的分数时，将所有的数字转化为分数来进行运算．如果可以转换为有限小数时，则可以化做小数再加减运算．【例10】 甲水果店的苹果以9元4千克的价格出售，乙水果店的苹果以16元7千克的价格出售，哪家水果店苹果的价格比较便宜？【难度】★★ 【答案】乙． 【解析】因为1696416916494⨯=⨯⨯=，9166391697167⨯=⨯⨯=，所以16794>， 故乙水果店便宜．【总结】考查利用分数的大小比较解决实际问题．【例11】 某学校组织“分数计算竞赛”，甲、乙、丙三位同学分别耗时0.6小时、3760小时和42分钟，三人中用时最少的是谁？【难度】★★★ 【答案】甲． 【解析】42分钟=6042小时；0.6小时=53小时=6036小时．所以分钟小时小时4260376.0<<，故甲用时最少．【总结】考查利用分数的大小比较解决实际问题．【例12】 已知，a 是一个不大于30的正整数，且9a能化成有限小数，则a 可能取的值有______个．【难度】★★★ 【答案】13【解析】满足条件的有2，4，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，30，共有13个．【总结】本题主要考查分数化为有限小数的条件，主要化成最简分数之后，分母的因数 只有2和5就可以．1、 循环小数一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数．一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．例如：0.3333…的循环节为“3”，写作0.3g；0.1363636…的循环节为“36”，写作0.136g g． 像“0.3g”这样的循环小数称为纯循环小数，其循环节从小数点后第一位开始； 像“0.136g g ”这样的循环小数称为混循环小数，其循环节不从小数点后第一位开始． 2、 纯循环小数化为分数纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母全部由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数，最后再化为最简分数．例如：123410.123999333==g g ． 3、 混循环小数化为分数混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节之前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的前几位数是9，末几位数是0，9的个数等于一个循环节中的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．例如：1231122610.123990990495-===g g ． 模块二：分数与循环小数的互化知识精讲【例13】0.102102…的循环节是_______，写作_________，保留2位小数写作_______．【难度】★【答案】102；••201；0.10．【解析】考察循环小数的读法和写法．【例14】已知：0.12222，0.353555…，3.23232323，0.1010010001…，0.1353535…，0.231544307…，其中循环小数有_____个．【难度】★【答案】2个【解析】循环小数有0.353555…，0.1353535…．【总结】考察循环小数的定义．【例15】将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．（1）75；（2）1215；（3）79；（4）4199．【难度】★【答案】（1）1.4；（2）0.8；（3）•7.0，循环节为7；（4）••14.0，循环节为41．【解析】考察分数与小数的互化．【例16】将下列两组数按从小到大的顺序排列．（1）29、16、0.2、516；（2）315、1.62g、138、1.60g g．【难度】★★【答案】（1）16<0.229<516<；（2）3151.60<g g1.62<g138<．【解析】（1）因为20.29•=、10.166•=、0.2、50.312516=，所以16<0.229<516<；（2）因为31 1.65=、131.6258=，所以3151.60<g g1.62<g138<．【总结】考察分数与小数的大小比较，可以将小数化为分数，也可将分数化为小数．例题解析【例17】 将下列循环小数化为分数．（1）0.3g；（2）0.21g g；（3）0.36g；（4）0.321g g．【难度】★★【答案】（1）31；（2）337；（3）3011；（4）53165．【解析】（1）310.393==g； （2）2170.219933==g g ；（3）36333110.36909030-===g ； （4）3213318530.321990990165-===g g ． 【总结】考察循环小数化为分数的方法，参考知识精要．【例18】 分数511化为循环小数后，小数点右边第200位上的数字是______． 【难度】★★【答案】5．【解析】••=54.0115，则小数点右边第200位上的数字为5．【总结】考察分数化为小数的方法以及数字的规律．【例19】 移动循环小数2.3020304gg的前一个循环点，使产生的循环小数尽可能小，这个新循环小数是__________．【难度】★★ 【答案】2.3020304gg．【解析】考察循环小数的比较大小．【例20】 将67化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？ 【难度】★★【答案】453．【解析】••=257148.076循环数字有6位，因为100÷6=16余4，所以小数点后的前100个数字之和为：()()453175824175816=+++++++++⨯．【总结】考察分数化成小数的方法，以及对循环节的理解和运用．【例21】 将31 1.25⨯g 的结果化为带分数：______．【难度】★★【答案】45431．【解析】因为9212.1=•，所以381188431 1.215594545⨯=⨯==g ．【总结】现将循环小数化为分数，然后根据分数的乘法法则进行计算．【例22】 计算：（1）2.45 3.13+g gg；（2）2.609 1.32-gg g；（3）4.3 2.4⨯gg；（4）1.240.3÷g gg． 【难度】★★ 【答案】（1）165975；（2）283919900；（3）27286；（4）1141 【解析】（1）45131527522972.453.13232323599901115165165165-+=+=+=+=g gg； （2）609603261322.609 1.3221219009910099--=-=-g g g 283919900=； （3）3439222864.3 2.442999927⨯=⨯=⨯=g g ；（4）243123411.240.3139999911÷=÷=⨯=g g g ．【总结】本题主要考查无限循环小数化成分数的方法以及分数的运算．【例23】 10.610.610.60.6+++gggg．【难度】★★【答案】132205．【解析】212121212121212126443333321231333331339233263=+=+=+=+=+++++++原式239205344132=+=． 【总结】考察繁分数的运算，本题要先将小数化成分数再进行计算．【例24】 计算：0.140.250.360.470.58++++ggggg． 【难度】★★★【答案】1831．【解析】0.140.250.360.470.58++++ggggg．141252363474585=909090909013233343539090909090165319018-----++++=++++== 【总结】本题一方面考查无限循环小数化成分数的方法，另一方面考查分数的加法运算．【例25】 将纯循环小数0.ab g g化为最简分数时，分子与分母之和为19，求a 和b ． 【难度】★★★ 【答案】72a b ==，． 【解析】100.99a b ab +=g g，当分母为9时，则分子为10，则分数为910，不合题意；当分母为11时，分子为8，则分数为••=27.0118，所以72a b ==，． 【总结】考察循环小数化为分数的方法以及对纯循环小数的理解及运用．【例26】 某学生计算1.23g乘以一个数a 时，把1.23g误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3，则正确的结果该是多少？【难度】★★★ 【答案】111． 【解析】因为30719021190223132.1==-=•，所以3.023.13071=-a a ，所以3.03001=a ，所以90=a ；则正确的结果为111903037903071=⨯=⨯．【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查无限循环小数与分数的互化以及分数的运算．【例27】 循环小数0.12345gg与0.2345gg在小数点后面第几位第一次同时出现数字5？ 【难度】★★★【答案】小数点后面第20位第一次 同时出现数字5．【解析】0.12345gg循环节有5位，0.2345gg循环节有4位，则小数点后面第20位第一次同时出现数字5．【总结】考察循环小数循环节的规律以及对最小公倍数的运用．【例28】 真分数7x化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是91，那么x 等于多少？【难度】★★★【答案】2【解析】••=742851.071，••=485712.072，••=128574.073，••=871425.074，••=514287.075，••=257148.076，观察发现循环节的数字都是1，4，2，8，5，7，一个循环节的和为27758241=+++++，32791=÷余10，只有72中1082=+，所以x 等于2．【总结】考察分数与小数的互化以及对数字规律的观察与总结．【例29】 求证：20.63=g． 【难度】★★★【答案】设a =•6.0，则a 106.6=•，所以66.06.610=-=-••a a ，所以69=a ，所以32=a ． 【解析】考察分数化为循环小数的方法．【例30】 求证：110.3630=g ． 【难度】★★★【答案】设a =•63.0，则a 106.3=•，a 1006.36=•，所以336.36.3610100=-=-••a a ，所以3390=a ，所以3011=a ． 【解析】考察分数化为循环小数的方法．【习题1】 把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，则将其保留3位小数．74、415、1324、8335． 【难度】★【答案】7 1.754=、41 1.85=、130.54224=、83 3.22935=． 【解析】考察分数化小数的方法．【习题2】将1722化为循环小数：______． 【难度】★【答案】••7277.0．【解析】考察分数化小数的方法．【习题3】 将0.1503g g 化为分数：______． 【难度】★★【答案】4995751． 【解析】1503115027510.1503999099904995-===g g ． 【总结】考察循环小数化成分数的方法．【习题4】 将1.44、1.4g、41100、1.41从大到小排列：____________________． 【难度】★★【答案】41100<1.41<1.44<1.4g ． 【解析】因为04.110041=，所以41100<1.41<1.44<1.4g ． 【总结】考察分数与小数的大小比较，注意合理方法的选用．随堂检测【习题5】 计算：30.4524⨯=g g ______． 【难度】★★ 【答案】45． 【解析】因为115994554.0==••，所以351150.45241144⨯=⨯=g g ． 【总结】先将循环小数化为分数，然后再做乘法．【习题6】 甲、乙两个工人加工零件，甲平均每分钟加工0.9个，乙平均每分钟加工1011个，谁的工作效率高些？ 【难度】★★【答案】乙 【解析】因为100.900.911••=>，所以乙的工作效率高．【总结】考查分数与小数的大小比较在实际问题中的应用．【习题7】 0.540.36+=g g g______． 【难度】★★ 【答案】990899． 【解析】545364945393608990.540.3690999011990990990-+=+=+=+=g g g ． 【总结】先将循环小数化为分数，然后再做分数加减法．【习题8】 将613化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？． 【难度】★★【答案】448． 【解析】••=861534.0136，循环节共有6位，则4166100Λ=÷， 所以()448516483516416=+++++++++⨯． 【总结】考察分数化成小数的方法，以及对循环节的总结及运用．【习题9】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++g g g g g g ．【难度】★★★ 【答案】512． 【解析】0.010.120.230.340.780.89+++++g g g g g g11212323437878989090909090901112131718190909090909021612905-----=+++++=+++++== 【总结】考察循环小数化为分数的方法以及分数的加法运算，注意结果要化到最简．【习题10】 设a 、b 、c 是0 ~ 9的数字（允许相同），将循环小数0.abc g g 化成最简分数后，分子有多少种不同的情况？【难度】★★★【答案】660． 【解析】0.999abc abc =g g ，因为a 、b 、c 是0 ~ 9的数字，所以abc 可以为001到999．因为373331119999⨯⨯⨯=⨯=，所以001到999中以3为公因数有333个数可以约分，还剩666个．以37为公因数的有27个可以约分，还剩639个．算重复的有 9个，所以剩 下639+9=648．而其中81的倍数有12个，所以共有648+12=660个．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，也比较综合，主要是认真分析题意，根据所学知识求出结论．【作业1】 填空： 12=______； 14=______； 34=______； 15=______； 18=______； 38=______； 58=______； 78=______； 120=______； 125=______； 140=______； 150=______． 【难度】★ 【答案】0.5；0.25；0.75；0.2；0.125；0.375；0.625；0.875；0.05；0.04；0.025；0.02．【解析】考察分数化成小数的方法．【总结】常见分数与小数需要背诵．【作业2】 将无限循环小数3.102g g表示成分数形式：______． 【难度】★【答案】333343． 【解析】102343.10233999333==g g ． 【总结】考察循环小数化分数．【作业3】 将下列小数化成最简分数．0.35，0.02，1.135【难度】★【答案】712712050200，，． 【解析】0.3520710035==，0.022110050==，1.13520027110001351==． 【总结】考察小数化成分数的方法，注意分数一定要化成最简分数．课后作业【作业4】 将435化成循环小数是______，小数点右边第2016位上的数字是______． 【难度】★★ 【答案】0.1142857&&，5． 【解析】40.114285735=&&循环节共有6个数字，()2016163355-÷=L ，所以小数点右 边第2016位上的数字是5．【总结】考察分数化小数的方法以及对循环节的理解及运用．【作业5】 119、522、0.227g g 、0.227g g 、1.2g 这些数中，是否有相等的两个数？若有，请将它们一一写出来．【难度】★★ 【答案】119=1.2g 、522=0.227g g ． 【解析】227222550.22799099022-===g g ；2270.2271000=g g ；2111.2199==g ． 【总结】考察循环小数化分数的方法以及分数的大小比较．【作业6】 化肥厂第一天生产化肥12.5吨，第二天比第一天多生产113吨，两天共生产化肥多少吨？【难度】★★ 【答案】3126． 【解析】31263115.125.12=⎪⎭⎫ ⎝⎛++（吨）． 【总结】考察分数加减法的实际应用．【作业7】 191.21.2427⨯+g g g ． 【难度】★★ 【答案】920． 【解析】192241911123194119201.21.241127999279992727279⨯+=⨯+=⨯+=+=g g g ．【总结】先将循环小数化为分数再做乘法运算．【作业8】 有8个数，0.51g g ，23，59，0.51g ，2447，1325是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51g ，那么按从大到小排列时，第6个数是哪一个数？【难度】★★★【答案】0.51g． 【解析】因为20.63•=，50.59•=，240.510647=L ，130.5225=， 所以2447<0.51g 0.51<g g 1325<59<23<，由于这6个数从小到大的顺序排列0.51&在第二位，而0.51&在八个数按从小到大的顺序排列时位于第4个，所以另外两个数都小于0.51&，所以这八个数从大到小排列时，第四个是0.51&． 【作业9】 纯循环小数0.abc g g写成最简分数时，分子和分母的和是58，那么三位数abc = ______．【难度】★★★【答案】567． 【解析】0.999abc abc =g g ，而37391119999⨯⨯=⨯=，又因为0.abc g g 小于1，且分子和分母 的和是58，所以当分母为37时，则分子为21，即分数为••=765.03721；所以567abc =． 【总结】考察循环小数化为分数的方法．【作业10】 真分数13a 化成小数后，如果小数点后连续2017个数字之和是9075，那么a 等于多少？【难度】★★★【答案】4或5． 【解析】将分数131213111310139138137136135134133132131，，，，，，，，，，，化为小数后发现所有的循环节都是又0、7、6、9、2、3或4、6、1、5、3、8构成．则一个循环节的和为27329670=+++++， 或46153827+++++=，而3336279075Λ=÷，而 只有134，135小数点后第一位为3， 所以45a =或． 【总结】本题主要考查对循环节的规律的归纳及运用．。
循环小数的概念
循环小数的概念引言在数学中，我们经常会遇到一些特殊的小数，它们的小数部分存在一段或多段重复的模式。
这种小数被称为循环小数。
本文将介绍循环小数的概念以及其相关性质和应用。
循环小数的定义循环小数是指小数部分存在一定的重复模式的数。
当进行除法运算时，如果出现了重复的商数或余数，那么所得到的小数就是循环小数。
循环小数可以用一个或多个数字组成的周期来表示，并在周期前或后可能存在有限的不循环的数字序列。
循环节和周期在循环小数中，重复的模式被称为循环节，用一对括号将其括起来表示。
例如，0.333…可以写作0.(3)，其中3为循环节。
循环节的长度称为周期。
例如，0.1666…可以写作0.(16)，其中16为循环节，周期为2。
有些循环小数的循环节长度可以为1，例如1/3=0.(3)。
无理数和有理数的关系循环小数是有理数的一种特殊情况。
有理数是可以表示为两个整数之间的比值的数，包括整数、有限小数和循环小数。
而无理数则不能用有限小数或循环小数来表示。
循环小数可以通过有限小数来近似表示。
例如，π是无理数，但可以用3.14或3.14159等有限小数来近似表示。
这种近似只能取得一定的精度，无法完全表达无理数的无限小数部分。
循环小数的转化循环小数可以转化为分数形式。
例如，将0.(6)转化为分数形式的步骤如下：1.假设循环小数为x，循环节长度为n，那么将x乘以10的n次方，得到10^n*x。
2.将10^n x减去原始循环小数x，得到10^n x - x = 9*x。
3.将步骤2的结果除以10^n - 1，得到(10^n x - x) /(10^n - 1) = 9x / (10^n - 1)。
4.将步骤3的结果化简为最简分数形式，即得到0.(6)= 9/15 = 3/5。
通过这个转化方法，我们可以将循环小数转化为最简分数形式，从而更方便地进行计算和分析。
循环小数的应用循环小数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.将循环小数转化为分数形式，可以帮助我们准确计算和描述比例关系，例如在商业应用中计算利润率、市场份额等。
分数转化成循环小数的判断方法
分数转化成循环小数的判断方法分数转化成循环小数的判断方法：①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。
循环小数的小数部分化成分数的规则把循环小数的小数部分化成分数的规则①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
循环小数化分数例题讲解1我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢因为所有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数．循环小数如何化为分数呢从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．无限循环小数化分数无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：……循环节为3则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：(1-^(n))/当n趋向无穷时（）^（n）=0因此……==1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
分数化无限循环小数的方法
分数化无限循环小数的方法分数可以表示为有限小数或无限循环小数的形式。
有限小数是指小数部分有限位数的小数，例如1/2=0.5。
而无限循环小数是指小数部分有无限多位数的小数，并且存在循环节，例如1/3=0.333333…..，其中3无限循环。
下面将介绍一种方法，将无限循环小数转化为分数，该方法称为长除法。
长除法是一种用于将无限循环小数表示为分数的方法。
下面以1/3为例进行说明：1/3是一个无限循环小数，我们可以通过长除法将其转化为分数。
具体步骤如下：1.将1作为被除数，3作为除数，进行长除法运算，得到商和余数。
1÷3=0，余数为12.将余数1乘以10，再除以3，得到商和新的余数。
(1×10)÷3=3，余数为13.将新的余数1乘以10，再除以3，得到商和新的余数。
(1×10)÷3=3，余数为14.重复以上步骤，直到余数重复出现。
经过多次运算后，发现余数开始重复出现，即余数为1时，再次出现余数为1，表示循环节开始。
此时，我们可以止步不前，得出循环节为1。
5.将循环节部分记为a，将不循环部分记为b，则原无限循环小数可以表示为分数的形式：1/3 = b + a/99其中，99是由循环节中的9的个数决定的，本例中循环节为1，所以99为一个9。
将1/3转化为分数，可以得到：1/3 = 0 + 1/99所以1/3可以表示为0.010*******...的形式。
通过以上步骤，我们可以将无限循环小数转化为分数的形式。
下面再通过另外一个例子来进一步说明：将3/11转化为分数的形式：1. 3÷11=0，余数为32. (3×10)÷11=2，余数为83. (8×10)÷11=7，余数为94. (9×10)÷11=8，余数为1在第4步时，余数1再次出现，表示循环节开始。
所以3/11可以表示为：3/11 = 0.27272727...其中，循环节为27，所以可以表示为：3/11 = 0.27/99通过以上示例可以看出，长除法是一种有效且简单的方法，可以将无限循环小数转化为分数的形式。
无限循环小数的简便记法
无限循环小数的简便记法一．概念描述现代数学：循环小数的定义一般有如下两种：①从小数点后某一位开始不断地重复出现一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数或无限循环小数：被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
如3.258258258……=3.258(2和8上添一个小点)。
循环小数分为两大类：混循环小数和纯循环小数。
混循坏小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数，如3. 258(5和8上添一个小点)。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，如3.258(2和8上添一个小点)。
②公理化定义：循环小数是无限小数的一种特殊形式。
对一个无限小数0.a1a2…an。
…，若能找到两个正整数s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i。
（i=1，2，…，t;k=l，2，…）成立，则称此无限小数为循环小数，记为0.a1a2…ass+1…s+t。
对于一个循环小数而言，满足上式的s,t值有无数多个，如果取其中最小的s,t值，则称as+1as+2…as+t为这个循环小数的循环节，t称为循环节的长度；若最小的s=0，则这个循环小数称为纯循环小数；如果最小的s>0，则相应的循环小数称为混循环小数，并把小数点之后至循环节之前的部分a1a2…as称为非循环节。
任何一个循环小数必可化为分数。
从数学的观点看，第一个定义通俗易懂，小学数学教材的表述与其相似。
第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。
小学数学：2005年人教版教材五年级下册的第28页明确指出：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。
这与”循环小数”在现代数学中的第一个定义是基本上一致的。
在小学数学教材中考虑到学生的认知，不提及十进制，而是默认为十进制无限小数。
二．概念解读循环小数是在实际度量和生产生活中产生的。
无限循环小数化成分数的方法
无限循环小数化成分数的方法无限循环小数，顾名思义就是小数部分无限循环重复的数字。
在数学中，我们经常会遇到无限循环小数，那么如何将无限循环小数化成分数呢？接下来，我们将介绍几种方法来解决这个问题。
首先，我们来看一个简单的例子，0.3333...，这个小数无限循环重复的数字是3。
我们可以将它表示为0.3（3）的形式，其中括号内的数字表示循环的部分。
这样，我们就将无限循环小数化成了分数，即1/3。
接下来，我们来介绍一种常见的方法，设x=0.3333...，则10x=3.3333...。
接着，我们将两个式子相减，得到9x=3，从而得出x=1/3。
这就是将无限循环小数化成分数的一种常用方法。
通过这个例子，我们可以看到，将无限循环小数化成分数的关键在于找到一个适当的变换，使得原来的无限循环小数可以表示为一个分数。
除了上述方法外，还有一种更直观的方法来将无限循环小数化成分数，那就是利用无限循环小数的性质。
我们知道，无限循环小数可以表示为一个有限小数加上一个无限不循环小数的和。
比如0.272727...可以表示为0.27+0.0027+0.000027+...，这样我们就可以将无限循环小数化成一个分数的形式。
此外，我们还可以利用数学定理来将无限循环小数化成分数。
比如，对于形如0.abcabc...的无限循环小数，我们可以利用“无穷等比数列求和公式”来将其化成分数的形式。
这种方法需要一定的数学知识作为基础，但是一旦掌握，就可以轻松地将无限循环小数化成分数。
总的来说，将无限循环小数化成分数并不是一件困难的事情，只要我们掌握了一定的方法和技巧，就可以轻松地解决这个问题。
通过本文的介绍，相信读者们已经对这个问题有了更深入的理解，希望可以对大家有所帮助。
初中数学 数学论文 用猜想验证的方法化循环小数为分数
用猜想验证的方法化循环小数为分数把循环小数化成分数的方法,可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到。
下面我们运用猜想验证的方法来推导。
（一）化纯循环小数为分数大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。
那么,一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。
如:＠①、＠②……化成分数时，它们的分母可以写成几呢？想一想：可能是10吗？不可能。
因为1/10＝0.1〈@①，3/10＝0.3>＠②；可能是8吗?不可能。
因为1/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0。
375〉＠②；那么，可能是几呢？因为1/10〈@①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8,所以分母可能是9。
下面我们来验证一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①;3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝@②。
计算结果说明我们的猜想是对的.那么,所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗？让我们根据自己的猜想, 把＠③、＠④化成分数后再验证一下。
@③＝4/9 验证:4/9＝4÷9＝0.444……@④＝6/9＝2/3 验证：2/3＝2÷3＝0。
666……经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论:循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循环节组成的数作分子,用9 作分母；然后，能约分的再约分。
循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分数时，它们的分母又可以写成多少呢？想一想：可能是100吗？不可能。
因为12/100＝0。
12〈＠⑤,13/100＝0。
13〈＠⑥。
可能是98吗？不可能。
因为12/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0。
1327〉＠⑥；可能是多少呢？因为12/100<@⑤〈12/98，13/100〈＠⑥〈13/98,所以分母可能是99。
小数的产生和意义 (2)
小数的产生和意义引言在我们日常生活中，小数是非常常见的数学概念之一。
小数的产生和意义对于我们理解数学、进行准确计算以及应用数学在各领域都有着重要的意义。
本文将探讨小数的产生方法及其在现实生活中的实际应用。
一、小数的产生方法小数是表达实数且在整数和分数之间的数。
小数可以通过不同的方式得到，这些方式包括：1. 分数转小数分数是指一个数被另一个数除得到的数值。
在进行分数转小数时，我们可以使用长除法或者直接进行除法运算。
例如，把分数2/5转化为小数的计算过程如下：2 ÷ 5 = 0.4所以，分数2/5可以转化为小数0.4。
2. 百分数转小数百分数是指一个数被100除所得的数值。
将百分数转化为小数的方法是将百分数除以100。
例如，把百分数75%转化为小数的计算过程如下：75 ÷ 100 = 0.75所以，百分数75%可以转化为小数0.75。
3. 无限循环小数无限循环小数是指小数部分有一段数字循环出现的小数。
例如，将1除以3所得到的小数0.3333…就是一个无限循环小数，它的小数部分永远重复数字3。
二、小数的意义小数在我们的日常生活和各个领域中有着广泛的应用和重要的意义。
1. 测量与精确计算小数在物理、化学、工程学等领域中被广泛应用于测量和精确计算。
在测量中，我们常用小数来表示长度、体积和重量等物理量。
例如，在计算某物体的长度时，我们可能得到一个小数值，例如3.14米。
这个小数值可以更精确地表示物体的长度，而不是使用整数值。
在科学研究和工程设计中，我们需要进行复杂的计算和测量，小数的使用可以使得计算更加精确和准确。
2. 金额和金融领域小数在金融领域中也有着重要的应用。
在金融交易中，金额往往是以小数的形式表示的。
例如，银行账户余额、股票价格、外汇汇率等都是以小数形式进行记录和计算的。
小数的使用使得金融交易更加精确和方便。
同时，小数的运算规则也适用于金融计算，例如利率计算和投资回报率的计算。
分数与无限循环小数的关系
分数与无限循环小数的关系
哎呀呀，同学们，你们有没有想过分数和无限循环小数之间的关系呀？这可太有趣啦！
就比如说，咱们学数学的时候，分数好像是个规规矩矩的“乖孩子”，而无限循环小数呢，就像是个有点调皮、总在不停跑圈的“小精灵”。
有一次，在数学课上，老师给我们出了一道题，让我们把三分之一化成小数。
我拿起笔，刷刷刷地算起来，结果发现它居然是0.3333…… 这可把我惊到啦！我就想，这分数怎么就变成了个没完没了的小数呢？
我扭头问同桌：“你说这分数咋就跟无限循环小数有关系啦？”同桌挠挠头说：“我也不太清楚，可能它们背后有啥神秘的魔法吧！”
后来老师给我们解释，就好像把一块蛋糕平均分成三份，咱们每次只能取其中一份，永远也取不完，可不就成了无限循环嘛！
再想想，五分之四如果化成小数，就是0.8，这多简单，一下子就结束了。
可像七分之一，变成小数就是0.142857142857……一直循环下去，就像个停不下来的小火车。
咱们平常做数学题，不就是在这分数和无限循环小数之间来回穿梭嘛！有时候，把分数变成无限循环小数能让咱们更好地理解问题；有时候呢，把无限循环小数变回分数，又能让计算变得简单。
这就好比咱们玩游戏，分数是一个关卡，无限循环小数是另一个关卡，只有搞清楚它们之间的关系，才能顺利通关呀！
所以说，分数和无限循环小数的关系可太重要啦，咱们可得好好研究，这样数学的世界才能被咱们轻松玩转！。
第1节：整数、小数、分数
第1节整数、分数、小数知识梳理1、数的分类无限小数：小数部分的位数是无限的。
循环小数：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数，循环小数中依次不断地重复出现的一个数字或几个数字，叫做循环节。
纯循环小数是循环节从小数部分的第一位开始的数，如：9.6，8.4075等都是纯循环小数。
混循环小数是循环节不是从小数部分的第一位开始的数，如：9.06，8.104075等都是混 循环小数。
2、自然数、整数、分数、小数、百分数的意义以及它们的读法和写法。
3、百分数、小数、分数的互化。
4、分数与小数的基本性质。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
5、小数点位置移动规律：小数点向右移动一位、两位、三位、……，移动后的数就扩大到 原来的10倍、100倍、1000倍……；反之，小数点向左移动一位、两位、三位、……，移动后的数就缩小到原来的110、1100、11000…… 6、数位顺序表考点1：多位数的读写【例1】地球上每年都有一千五百万零四百公顷的森林被毁掉，横线上的数写作（），它是由（）个万和（）个百组成的，这个数省略万后面的尾数约是（）。
剖析：此题主要考査自然数的读写、组成和省略尾数。
写数时要注意，哪一位上一个单位也没有，就用0占位。
填数的组成时，把写出的数每四位一分，那么前四位数就表示这个数中有多少个万，由于这个数百位后没有单位，那么它就是由1500个万和4个百组成的。
省略尾数时，先从后面向前数到万位，再看千位上的数是大于5还是小于5，此数的千位上是0，小于5，所以直接省略万后面的尾数得1500万。
解：15000400，1500，4，1500 万【当堂演练1】1、一个数十万位上的数是最大的一位数，万位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，其余各位的数都是0，则这个数写作（），读作（），省略万后面的尾数约是（）。
分数化无限循环小数的方法
分数化无限循环小数的方法分数化无限循环小数是将一个无限循环小数表示为分数的方法，通常使用数学运算中的重复模式来找到分数表示形式。
在本文中，我们将探讨有关无限循环小数的定义、分数化的方法和示例。
1.无限循环小数的定义无限循环小数是一种小数，它的小数部分包含一个或多个数字的无限循环序列。
通常以“∞”或“...”等记号表示，例如：1.3333...或者0.6666...。
这种小数可以被表示为一个分数，这样就能够避免无限的计算。
2.分数化无限循环小数的方法分数化无限循环小数的方法有多种，其中最常用的是长除法和设方程法。
（1）长除法长除法是一种逐次除法的过程，用于将无限循环小数表示为分数。
该方法的步骤如下：a.将循环小数表示为x；b.令10x = n；c.求解分数n/x，并化简得到最简分数。
举个例子，将0.3333...表示为一个分数：令x = 0.3333...，则有10x = 3.3333...则10x - x = 3.3333... - 0.3333... = 3则9x = 3则x = 3/9 = 1/3所以0.3333... = 1/3这就是利用长除法将无限循环小数表示为分数的方法。
（2）设方程法设方程法是另一种分数化无限循环小数的方法，主要是通过设定一个方程等式，然后解方程得到分数的表达形式。
具体的步骤如下：a.令循环小数表示为x；b.设一个方程式10^kx = n，其中k是循环节的长度；c.解方程得到分数n/x。
举个例子，将0.181818...表示为一个分数：令x = 0.181818...，则100x = 18.181818...，10x = 1.818181...，则100x - 10x = 18.181818... - 1.818181... = 17则90x = 17,则x = 17/90所以0.181818... = 17/90这就是设方程法将无限循环小数表示为分数的方法。
3.分数化无限循环小数的示例下面我们将通过一些示例来演示如何使用长除法和设方程法将无限循环小数表示为分数。
小数和分数的互化
小数和分数的互化小数和分数是数学中常见的数的表示方式，它们可以相互转换。
在本文中，我将详细介绍小数和分数的互化方法，包括小数转分数和分数转小数。
一、小数转分数小数转分数的方法取决于小数的位数和循环情况。
以下是小数转分数的几种常见情况：1. 有限小数：有限小数是指小数部分有限位数的小数。
对于有限小数的转换，我们将小数部分的数字作为分子，分母为10的幂次方，分母的幂次为小数部分的位数。
例如，将0.25转换为分数，小数部分是25，位数是2，所以可以写成25/10^2，即25/100。
进一步化简得到1/4。
2. 无限循环小数：无限循环小数是指小数部分有无限循环的小数。
对于无限循环小数的转换，我们将循环部分的数字作为分子，分母为9的幂次方，分母的幂次为循环部分的位数。
例如，将0.333...转换为分数，循环部分是3，位数是1，所以可以写成3/9，进一步化简得到1/3。
3. 有限小数和无限循环小数的组合：有时候小数部分既有有限位数又有无限循环部分，我们可以将它们分别转换为分数，然后相加。
例如，将3.142857...转换为分数，有限部分是3，位数是1，无限循环部分是142857，位数是6。
所以有限部分可以写成3/1，无限循环部分可以写成142857/999999。
最后将它们相加得到3/1 + 142857/999999，进一步化简得到22/7。
二、分数转小数分数转小数的方法很简单，我们可以通过除法将分子除以分母得到一个小数。
以下是分数转小数的几种常见情况：1. 简单分数：对于分母是10的幂次方的分数，我们可以根据分母的位数确定小数点的位置。
例如，将1/10转换为小数，分母是10，位数是1，所以小数点在1的右边，结果是0.1。
2. 分母为2或5的分数：对于分母是2或5的分数，可以直接除以2或5得到小数。
例如，将3/2转换为小数，直接除以2得到1.5。
3. 循环小数：对于循环小数，我们可以通过长除法的方式将分子除以分母，找到循环节。
12.1实数的概念
无限不循环小数叫做无理数。
你知道哪些数是无理数?
1、开不尽方的数都是无理数
像
2， 3， 12 这样的数是无理数
3
注意:带根号的数不一定是无理数
例如：
25
25 5 25是有理数
做一做
问题1：用计算器计算 2
结果显示为： 1.414 213 562
问题2：你能利用平方关系验算得到的结果吗？ 问题1 中的结果平方后会等于2吗？
用计算器计算：1.414 213 562 = 1.999 999 999
2
做一做
问题3：验证的结果不是2，而是接近2， 这说明什么？ 用计算机计算 2 ，结果为：
就是说求得 的 2 的 值只是一个 近似值。
1.414213562373095048801688724 20969807856967187537694807317 66797379907324784621070388503 87534327641572735013846230912 29702492483605585073721264412 14970999358314132226659275055 927557999505011527820605715… … 问题4:后面能否写完？后面有没有规律？ 那么它属于什么小数？
例如：
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
—168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕 0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的 正整数组成〕
概 念
如：
整 理
3 3
1、无限不循环小数叫做无理数
2 ，3 ，5 ，，2 ，3
有理数的分类： 整数 有限小数
证明分数一定是小数或无限循环小数
证明分数一定是小数或无限循环小数优质解答任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢?我们先看下面的分数.（1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位.（2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5.（3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位.于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：（1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数；（3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数.例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位?上述分数都是最简分数,并且32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13,117=33×13,850=2×52×17,根据上面的结论,得到：不循环部分有两位.将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法.1.将纯循环小数化成分数.将上两式相减,得将上两式相减,得从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法.纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同.2.将混循环小数化成分数.将上两式相减,得将上两式相减,得从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法.混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数所以只需证明分数不可能是无限不循环小数因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）所以除法进行下去,必定会出现余数相同的情况余数相同则接下来的结果必相同,于是就出现了循环所以分数不可能是无限不循环小数。
小学数学无限循环小数怎么表示
小学数学无限循环小数怎么表示无限循环小数的表示
例如，3..........意思是3.3，第二个3加一点。
无限循环小数：从小数点后某一位开始不断地出重复现前一个或一节数码的十进制无限小数。
如2.1666…、35.232323…等，被重复的一个或一节数码称为循环节。
无限循环小数:有些小数是无限的，但不是循环的。
无理数不像循环小数。
每个数都是重复的，但也属于无限小数。
无限循环小数化成分数
所有无限非循环小数都不能分解成分量。
那么循环小数可以分成分吗？这是可以的。
那么我们如何把一个纯循环小数分成数呢？
比如将循环小数0.1212……化成分数。
设x=0.12……，它的循环节是两位，那么我们直接扩大100倍，变成
100x=12.1212……。
100x-x=12.1212……-0.1212……，循环部分可以抵消掉，99x=12,x=12/99。
一些常见的分数化无限循环小数
1/3=0.3333……
1/6=0.1666……
1/7=0.……
1/9=0.1111……
1/11=0.090909……
1/99=0.010101……
1/101=0.……
1/111=0.……
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证明分数一定是小数或无限循环小数
优质解答
任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小
数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循
环小数呢?我们先看下面的分数.
（1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化
因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位.
（2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5.
（3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质
因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位.
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于
分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循
环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数.
例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部
分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位?
上述分数都是最简分数,并且
32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13,
117=33×13,850=2×52×17,
根据上面的结论,得到：
不循环部分有两位.
将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法.
1.将纯循环小数化成分数.
将上两式相减,得将上两式相减,得
从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法.
纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同.
2.将混循环小数化成分数.
将上两式相减,得
将上两式相减,得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法.
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.
数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数
所以只需证明分数不可能是无限不循环小数
因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候
而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）
所以除法进行下去,必定会出现余数相同的情况
余数相同则接下来的结果必相同,于是就出现了循环所以分数不可能是无限不循环小数。