第七章 概率与概率分布
概率分布方法
第七章 概率分布方法在社会、生产、科研和生活实践中，许多问题的不确定现象都是由随机因素的影响造成的，即将这种现象可以视为已希望随机事件，而随机事件一般是按照一定的概率出现的。
与此有关的随机因素的变化往往都会服从于一定的概率分布。
在实际中，就是利用这些概率分布规律对问题进行研究，从而可以对所研究的实际问题做出估计、判断、预测和决策。
因此，概率分布方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用。
7.1 排列和组合7.1.1 排列选排列：从n 个不同的元素中，每次任取k (k n ≤)个不同元素按次序排成一列，称为选排列，其排列种数记为kn P ，即!(1)(2)...(1)()!k n n P n n n n k n k =---+=-.全排列：从n 个不同的元素中，每次取n 个不同元素按次序排成一列，称为全排列，其排列种数记为nn P ，即(1)(2)...2.1!nn P n n n n =--=.有重复的排列：从n 个不同的元素中，每次取k ()k n ≤个元素，可以重复，按次序排成一列，这种排列称为有重复的排列，其排列种数为()k kn P n k n =≤不尽相异元素的全排列：如果在n 个元素中，分别有12,,...m n n n 个元素相同，且12...m n n n n +++=，则这n 个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列，其排列种数为121!!!!n n n P n n n =.7.1.2 组合无重复组合：从n 个不同的元素中，每次任取k ()k n ≤个不同元素，不考虑其次序组合成一组，称为组合，其组合数记为kn C ，或()nk，即!()()!!!k k n np n C k n n k k k ==≤-并且规定01n C =多组组合：把n 个不同的元素分成()m m n ≤组，第i 组中有 (1,2,...,)i n i m =个不同元素，且 12...m n n n n +++=，这样的组合数为1,2, (12)!!...!mn n n n m n C n n n =.有重复的组合：从n 个不同的元素中，每次取出()k k n ≤个元素，可以重复，不考虑次序组合成一组，这种组合成为有重复的组合，其组合数为1()k k n n k C C k n +-=≤.7.2 事件与概率7.2.1 随机试验与事件实际中，把对自然现象进行一次观察或一次科学试验统称为试验。
概率论第七章 第1节
根据样本概率最大原则，m的估计值为3。
最大似然估计法原理
一般地，不仿设总体X是离散型分布X～p(x,θ)，如果 X1,X2,…,Xn是来自这个总体的一个随机样本，x1,x2,…,xn 是这个随机样本的样本值，则这个样本发生的概率为：
记这个概率为θ的函数：
16
最大似然估计法原理
如果在一次抽样中样本值x1,x2,…,xn出现了，我们就认为 它之所以出现是因为它发生的概率最大导致的。因此我们 就选择能使这个概率最大的那个θ作为θ的估计值，这就 是极大似然估计法。 “样本值概率最大原则”
矩估计法理论依据
命题2：设总体X的l=1,2,…,k阶矩存在即E(Xl)=μk,则l阶样 本矩A1,A2,…,Ak的连续函数g(A1,A2,…,Ak)也依概率收敛于总 体矩的连续函数即
根据这两个命题，我们使用如下方法来进行矩估计： (1)用样本矩A1,A2,…,Ak来估计总体矩； (2)用样本矩的连续函数g(A1,A2,…,Ak)来估计总体矩的连续 函数g(μ1,μ2,…,μk)。
砍掉充分小的dxi,记这 个概率为θ的函数：
30
连续型总体中参数 θ的似然函数!
最大似然估计值 最大似然估计量
怎样求最大值点？
基于此通常先取对数，再求最大值点。
化成求 对数似 然函数 的最大 值点!
如果对数似然函数二阶可导，并且概率 密度函数是单峰函数，则驻点就是最大 值点!通过求一阶导数能得驻点：
第七章 参数估计
1、什么是参数估计？ 当总体的分布类型已知，但其中仍有未知参数。比如总体 X服从参数μ,σ2的正态分布，但μ,σ2未知。但是我们 能根据来自总体X的一个简单随机样本X1,X2,…,Xn通过适 当的方法对这些未知参数进行估计，得到它的一个近似值 或近似区间。 2、参数估计有哪些形式？ (1)点估计：矩估计法、极大似然估计法。 (2)区间估计：正态总体下区间估计法。
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第七章随机变量及其分布 内容安排〗
内容安排高中课程中的概率内容，按知识发生发展的逻辑顺序分为两章，以使学生整体把握概率研究的一般路径，理解概率的思想方法，在必修中安排了如下内容：抽象概率的研究对象——随机现象，分析随机试验的可能结果并用数学符号表示，建立样本空间的概念；利用集合工具或语言刻画随机事件，理解事件的关系与运算的意义；建立古典概率模型，理解概率的意义；通过类比和由特殊到一般的方法，研究概率的基本性质；从直观经验出发归纳两个事件独立的定义，利用性质和独立性计算概率．在本章，首先结合古典概型，采用归纳的方法建立条件概率的概念，导出乘法公式和全概率公式，从而为计算复杂事件的概率提供有力工具．在此基础上，引入随机变量的概念，在更高的观点下，利用数学工具，采用统一的方式系统、全面地研究离散型随机变量取值的概率分布及数字特征，在函数的学习中，学习完函数的概念、表示、性质等一般知识后，通过学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且为我们奠定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础、与函数的学习类似，本章我们通过研究二项分布、超几何分布等重要离散型随机变量的分布，不仅进一步理解了离散型随机变量在描述随机现象中的作用，而且对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解．本章最后根据频率稳定到概率的原理，借助误差数据频率分布直方图，建立正态分布模型．71节是条件概率与全概率公式．条件概率是概率论的重要概念，由此导出的乘法公式彻底解决了积事件概率的计算问题．全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式，其基本思想是利用一组两两互斥的事件，将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件，再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率，它为计算某些事件的概率提供了有力的工具．在本节，教科书创设不同的情境，让学生先直观认识条件概率的意义，通过列举试验的样本空间，发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率，然后从特殊到一般，抽象出条件概率的定义．同样地，通过具体实例，提炼出求复杂事件概率的基本思路，将其一般化得到全概率公式．利用全概率公式计算概率，体现了分解与综合、化难为易的转化思想．72节是离散型随机变量及其分布列．现实世界中有各种各样的随机现象，它们的复杂性差异很大．从随机试验的样本空间看，有的包含有限个样本点，有的包含可列无限个样本点，有的包含不可列无限个样本点，定义于不同样本空间上的随机变量最基本的有离散型和连续型两类．本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量及其分布列．教科书通过创设具体的随机试验情境，引导学生归纳试验中的数值指标（变量）的共同特征，领悟随机变量是样本空间到实数集的映射，用分布列描述随机变量取值的概率规律，理解利用随机变量可以更好地刻画随机现象．73节是离散型随机变量的数字特征．对随机变量的研究，除了了解其可能取值及取值的概率外，在实际决策中，还需用一些“数值”刻画随机变量取值在某些方面的特征、例如，用均值刻画随机变量取值的平均水平，用方差刻画随机变量取值相对于其均值的离散程度．本节的主要内容为离散型随机变量均值和方差的意义、定义（计算公式）、性质及应用，教科书以比较两名运动员射箭水平为问题情境，根据频率稳定到概率的原理，使学生认识到观测值的频率分布稳定到分布列，观测值的平均数稳定到一个常数，由此引入离散型随机变量的均值的概念．这个过程揭示了随机变量均值的意义——观测值平均数的稳定值．以比较两名同学射击水平的稳定性为任务，类比一组数据方差的定义，以及随机变量均值的定义，引入随机变量方差的定义．本节例题的设计侧重随机变量均值和方差在实际决策中的应用．74节是二项分布与超几何分布．教科书通过具体的问题情境，归纳概括出n重伯努利试验的特征，由特殊到一般推导试验成功次数的分布列，探究二项分布的均值和方差；通过比较放回和不放回随机抽样中次品数的分布，抽象出超几何分布的特征，推导出超几何分布的均值，讨论二项分布与超几何分布的联系与区别，并进行简单应用．75节是正态分布．正态分布是概率论中最重要的连续型概率模型，由于《标准（2021年版）》不要求对一般的连续型随机变量及其分布进行讨论，因此教科书从一组误差数据出发，了解连续型随机变量，借助误差频率直方图描述误差分布，建立正态分布模型、本节的主要内容为正态密度曲线、正态密度函数、正态分布的特征、随机变量落入某个区域内的概率表示、正态分布的均值和方差、3σ原则及简单应用．本章中重要概念的得到、概率公式的推导、概率模型的建立都是从特殊到一般、从具体到抽象通过归纳得到的，这既是数学研究中经常使用的方法，也是数学教学应该遵循的原则．通过本章的教学，要使学生体会利用研究对象的性质探寻解决问题的方法、将复杂问题化归为简单问题的数学思想；掌握用随机变量及其分布列，将不同背景的概率问题转化为统一的数学问题，从而利用各种数学工具系统、全面地研究随机现象规律的一般方法；通过构建二项分布、超几何分布、正态分布概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力．进一步提升学生的数学抽象素养和逻辑推理素养．本章的重点为条件概率、乘法公式和全概率公式，事件的独立性与条件概率的关系；离散型随机变量的概念、分布列和数字特征，二项分布，超几何分布，正态分布．本章的难点为条件概率意义的理解，全概率公式的应用；在实际问题中抽象模型的特征，识别二项分布和超几何分布；描述服从正态分布的随机变量的概率分布．课时安排本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：71条件概率与全概率公式约2课时72离散型随机变量及其分布列约1课时73离散型随机变量的数字特征约2课时74二项分布与超几何分布约2课时75正态分布约1课时小结约2课时。
新教材2023年高中数学第七章随机变量及其分布列7
[规律方法] 应用乘法公式的关注点 1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的 概率，求事件A与B同时发生的概率． 2 ． 推 广 ： 设 A ， B ， C 为 三 个 事 件 ， 且 P(AB) ＞ 0 ， 则 有 P(ABC) ＝ P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
[解析] (1)令事件 A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色 E 型玻璃球}．
解法一：∵P(A)＝1116，P(A∩B)＝146＝14，
1 ∴P(B|A)＝PPA∩AB＝141＝141.
16
解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，
∴P(B|A)＝nnA∩AB＝141.
题型二
概率的乘法公式
典例2 (1)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝ ___0_._7_5__；
及格的概率是
( A)
A．51
B．130
C．12
D．31
[解析] 设 A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”， P(B|A)＝PPAAB＝00..0135＝15，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的 概率为15.
2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一
次失败、第二次成功的概率是
(2)某市场供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂 产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率为80%，则买到一个甲厂的合 格灯泡的概率为___0_.6_6_5___.
[解析] (1)∵P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6， ∴ P (AB)＝ P (B) ·P (A|B) ＝0.5×0.6＝0.3. ∴P(B|A)＝PPAAB＝00..34＝0.75. (2)记事件 A 为“买到甲厂产品”，事件 B 为“买到合格产品”，则 P(A)＝70%，P(B|A)＝95%，所以 P(AB)＝P(A) ·P(B|A)＝70%×95%＝0.665.
概率与概率分布PPT课件
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
《概率论与数理统计》第七章
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
第七章 随机变量及其分布(章末小结课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）小红和小明在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1， ， ， 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明谁的盈利多？请说明理由.
方法总结 求离散型随机变量的均值、方差的步骤： 明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； 求出随机变量取各个值的概率； 列出分布列； 用期望、方差公式求解； 标准差代入公式 求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型7 正态分布
例7 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是( ).
方法总结 正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向 ， ， 这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率.解题过程渗透了直观想象、数学运算以及数据分析的素养.
高尔顿与高尔顿板
一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿（ ， —1911）是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟，虽然不像达尔文那样声名显赫，但也不是无名之辈.并且，高尔顿幼年是神童，长大是才子，九十年的人生丰富多彩，是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛，研究水平颇深，纵观科学史，在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等，还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学，以及优生学、指纹学、照相术、登山术等等.
高一数学第七章概率知识点
高一数学第七章概率知识点概率是数学中的一个重要概念，研究随机事件发生的可能性大小。
在高一数学课程的第七章中，我们将学习概率的基本概念、计算方法以及与概率相关的统计分布。
本文将介绍一些重要的概率知识点，使读者对概率有一个初步的了解。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的一种数值。
在实际问题中，随机事件可能有多个结果，每个结果发生的概率是不同的。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、事件的分类在概率问题中，我们可以将事件分为两类：互斥事件和不互斥事件。
当两个事件不能同时发生时，称这两个事件为互斥事件；当两个事件可以同时发生时，称这两个事件为不互斥事件。
三、概率的计算公式我们通过事件发生的次数与总次数之比来计算概率。
对于一个随机事件A，如果事件A发生的次数为n，总次数为N，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = n/N。
在计算概率时，我们需要注意事件的互斥性和相互独立性。
四、加法定理和条件概率加法定理是指对两个不互斥事件A和B，事件A或事件B发生的概率可以表示为P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)。
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B) = P(A且B)/P(B)。
条件概率是概率理论中一个重要的概念，常用于解决实际问题。
五、独立事件和相互依赖事件当事件A的发生与事件B的发生没有任何关系时，称事件A与事件B是独立事件；当事件A的发生与事件B的发生有关系时，称事件A与事件B是相互依赖事件。
对于独立事件，我们可以根据乘法定理来计算其概率。
六、排列组合与概率在概率问题中，我们常常需要考虑的是从一个集合中抽取若干个元素，形成一个子集合的问题。
这就涉及到排列和组合的问题。
排列是指从n个元素中取出m个元素，并且考虑元素的顺序；组合是指从n个元素中取出m个元素，但不考虑元素的顺序。
排列组合与概率密切相关，可以通过排列组合的方法来计算概率。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
高中数学 新人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1.1条件概率 课件
【解析】选C.设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”．则“某人检验呈阳性时 他确实患病”为B|A，
又P(B|A) ＝PP((AAB)) ＝99%0.×20%.1% ＝49.5%.
2．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35 ，在刮台风的条件下， 下大雨的概率为190 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A．23 B．2570 C．190 D．130
1．若P(A∩B)＝35 ，P(A)＝34 ，则P(B|A)＝( ) A．54 B．45 C．53 D．43
2．下列式子成立的是( A．P(A|B)＝P(B|A) C．P(AB)＝P(B|A)·P(A)
) B．0<P(B|A)<1 D．P(AB|A)＝P(B)
【解析】选C.由P(B|A)＝PP（（AAB）） 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，而P(A|B)＝PP（（ABB）） 知 A不正确，C正确；当P(B)为零时知P(B|A)＝0，所以B不正确；D选项应是P(AB|A) ＝P(B|A)，故D不正确．
第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条 件 概 率
基础预习初探
主题1 条件概率的概念及性质 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取．
(1)问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？
提示：由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 ，与其他同学
(2)设“点数a，b之和不大于5”为事件B， 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“a，b中至少有一个为2”为事件C， 包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数a，b 之和不大于5的条件下，a，b中至少有一个为2”的概率：P＝nn（（BBC）） ＝150 ＝12 .
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
概率与概率分布
三、概率分布
若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全 部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知 道随机试验的概率分布(probability distribution)。
为了深入研究随机试验 ，先引入随机变量(random variable)的概念。
二项分布的累计函数:
i
F(x) P(x) x0
x ~ B(n, p)
性质
n
由于(p+q)n=1，所以 P( x) 1 x0
二项分布的数学期望 E(x)=np
方差 D(x)=npq
标准差 npq
例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即 p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次 抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头 中死3头、2头、1头以及全部愈好的概率为多少？
对立事件
必有一件发生，但 A+B=U; A•B=V;B=Ā;
不同时发生，也不 P(A+B)=1; P(A•B)=0;
能同时不发生
P(B)=P(Ā)=1-P(A)
互不相关; 独立事件 多个彼此独立事件 P(A•B)=P(A)•P(B);
1、有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。
lim n
P |
1 n
Xi
|
1
意义：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值
依概率收敛于它的数学期望 。
切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立，每个Xk的方差存在，且一
致有界， 即存在常数c，使得
概率论第七章
例 X ~ N ( , 2 ), , 2 未知, 即得 , 2 的矩估计量 n 1 2 2 ˆ X, ˆ ( Xi X ) . n i 1 一般地, 1 n 用样本均值X X i作为总体X的均值的矩估计, n i 1 n
注. 1 定义中选用的是原点矩，也可以用中心矩， 只要给定总体矩，采用相应的样本矩就可以。
令:
P x ,
i 1
n
n
i
离散.
L x 1 , x 2 , x n ,
2 Sn ˆ 1 p X 即 2 X X n ˆ 2 ˆ p X S n
(5)
X~P(), E(X)=D(X)=
ˆX 故
或
2 ˆ Sn
注: 由此例可知, 矩估计量不唯一。
例2.5
设总体X的概率密度为 ( 1) x 0 x 1 f ( x; ) ( 1) 0 其它 X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本。0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一 个样本观察值，试求 的矩估计值。
解：E ( X ) xf ( x; )dx x ( 1) x dx ( 1) x 1dx
0 0 1 1
( 1)
令
2X 1 ˆ 解之得的矩估计 1 X 由样本值 0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7计算得 x 0.5667
解： (1)
因为X ~ N ( , 2 )，E ( X ) ，D( X ) 2
故有 X，
( 2)
2 S n2
1
X ~ E ( )，E ( X ) 1 ˆ 故 X，即 X 1
第七章概率论基础
ABC 或 ABC ABC BAC 或 AB BC AC CAB ABC ACB BCA
7.1.3
随机事件的概率
一、频率和概率的统计定义 定义2：大量重复试验（观察） Ｎ次，Ａ出现m次，事件A的频率为： m 频率W(A)= N
实例 “抛掷一枚硬币,观察字面,花面出 现的情况”.
分析:
(2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结 果会出现. 故为随机试验.
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出 现的点数”. 2.“从一批产品中,依次任 选三件,记录出现正品 与次品的件数”. 3.考察某地区 10 月份的 平均气温.
表7-1
掷币试验
投掷次数N 正面数m
2048 4040 1061 2048
频率
0.5181 0.5069
Pearson
Pearson
12000
24000
6019
12012
0.5016
0.5005
结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。 思考：少量的试验（如7次）能否出现同样结果？
例4
字母
表7-2
证： 按概率的古典定义来证明 设试验的可能结果是由N个基本事件总数构 成，其中事件A包含M1个，事件B包含M2个， 由于事件A与B互不相容，所以A包含的基本事件 与B包含的基本事件一定是完全不相同的， M 1M 2 M 1 M 2 P( A包含的基本事件共有 B ) M P( A ) P( B) 则 A+B ＋ M 个，于是得 N N 1 N2
概率与数理统计 第七章-1-最大似然估计
定义 对给定的样本值x1 , x2 ,… , xn, 若
存在: qˆ qˆ(x1, x2,L , xn) 使
L(qˆ) max L(q ).
参数q的 取值范围。
q
则称qˆ qˆ(x1, x2,L , xn)为q的最大似然估计值；
定义 对给定的样本值x1 , x2 ,… , xn, 若
存在: qˆ qˆ(x1, x2,L , xn) 使
)
0
求出驻点;
2.
由
dL(q dq
)
0
或
d
ln L(q dq
)
0
求出驻点;
3. 判断并求出最大值点:
qˆ qˆ(x1, x2,L , xn)
即为参数q的最大似然估计值；
qˆ qˆ(X1, X2,L , Xn)
为参数q的最大似然估计量 .
需要注意：
需要注意： ① 当似然函数对未知参数q不可微或由
最大似然估计法的思想:
在一次抽样得到结果x1, x2,…, xn的情 况下, 一般认为这个结果出现的概率:
P{X1= x1, X2 =x2 ,…, Xn = xn} 是最大的。
因此，应该寻找使这个结果出现的可
能性最大的那个qˆ 作为真值q的估计.
下面分别就离散型总体和连续型总体 情形作具体讨论.
设X1, X2,…, Xn是取自总体X的样本， 样本的观察值为x1 , x2 ,… , xn(一次抽样得 到结果) ,其概率为:
概率论与数理统计
张保田 第七章 参数估计
第一节 点估计 二、 最大似然估计法
极大似然法是在总体类型已知条件 下使用的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
概率论与数理统计第七章
矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 1,2, ,k 。 (1) 写出总体的前 k 阶矩μ1, μ2, , μk ,，一般是这 k 个未知参数的函数, 记为：
μi μi (θ1 , θ2 ,
θ j θ j ( μ1 , μ2 ,
(3)
, θk )
, μk )
你就会想，只发一枪便打中，猎人命中的概率一 般大于这位同学命中的概率。看来这一枪是猎人 射中的。
这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基 本思想 ：一次试验就出现的事件有较大的概率。
718 例7.4 设总体 X 服从0-1分布, 且P {X = 1} = p, 用最大似然法求 p 的估计值。 解： 总体 X 的分布律为
以Ai分别代替上式的 可得 a , b 的矩估计量为
i , i 1, 2,
总体矩
n 3 2 2 ˆ a A 3( A A ) X ( X X ) , 1 2 1 i n i 1 n 3 ˆ 2 2 b A 3( A A ) X ( X X ) . 1 2 1 i n i 1
1. 矩估计法（简称“矩法” ） 矩法是基于一种简单的“替换”思 想建立起来的一种估计方法 。又称 数字特征法估计。 是由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。
1 n l 依据：(1) 样本矩 Al X i 依概率收敛于相应 n i 1 的总体矩 l , l 1, 2,.., k .
(2) 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数。
解:
1
2X 1 ˆ , 由矩法, 可得α的矩估计量 1 X
矩法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体 是什么分布。 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布 提供的信息。一般场合下 , 矩估计量不具有唯一 性。
高中数学第七章随机变量及其分布7.1.1条件概率教师用书教案新人教A版选择性必修第三册
第七章随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率新版课程标准学业水平要求1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. 1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的定义.(数学抽象)2.掌握简单的条件概率的计算问题.(数学运算)3.能利用条件概率公式、概率的乘法公式解决简单的实际问题.(数学模型、数学运算)必备知识·素养奠基1.条件概率(1)定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗?为什么?提示:不同.P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同.2.古典概型中的条件概率还可以怎样计算?提示:P(B|A)=(2)特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B).2.概率的乘法公式对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A).3.条件概率的性质设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)P(A∩B)= P(AB).()(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.( )(3)P=P P.( )提示:(1)√.事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB),所以P(A∩B)= P(AB).(2)×.若事件A,B互斥,则事件A∩B是不可能事件,P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0.(3)×.P=P P.2.设A,B为两个事件,若P(A∩B)=,P(B)=,则P(A|B)=( )A. B. C. D.【解析】选C.由P(A|B)===.3.某产品长度合格的概率为,质量合格的概率为,长度、质量都合格的概率为,任取一件产品,已知其质量合格,则它的长度也合格的概率为________.【解析】令A:产品的长度合格,B:产品的质量合格,A∩B:产品的长度、质量都合格,则P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=.任取一件产品,已知其质量合格,它的长度也合格,即为A|B,其概率P(A|B)===.答案:关键能力·素养形成类型一条件概率的计算角度1 利用条件概率公式计算【典例】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【思维·引】设出事件,利用条件概率公式求解.【解析】设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为=20.事件A所含样本点的总数为×=12.故P(A)==.因为事件A∩B含=6个样本点.所以P(A∩B)==.所以在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为P(B|A)===.【素养·探】★本例考查条件概率的计算,同时考查了数学抽象与数学运算的核心素养.若本例条件不变,求第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【解析】设第1次抽到文科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次抽到文科题且第2次抽到理科题为事件A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为=20.事件A所含样本点的总数为×=8.故P(A)==.因为事件A∩B含×=6个样本点.所以P(A∩B)==.所以在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为P(B|A)===.角度2 利用缩小样本空间计算【典例】集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.【思维·引】正确理解条件概率的特点,结合古典概型求解.【解析】将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个样本点,在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P==.【类题·通】条件概率计算的关注点1.原型:在题目条件中,若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时,一般可认为是条件概率.2.方法:(1)在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=计算求得P(B|A);(2)若事件为古典概型,可利用公式P(B|A)=,即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率.【习练·破】抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.(1)求P(A),P(B),P(A∩B);(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?【解析】(1)设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则所有可能的事件为(x,y),建立一一对应的关系,由题意作图如图显然:P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=.(2)方法一:P(B|A)==.方法二:P(B|A)===.类型二条件概率的实际应用【典例】有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________.【思维·引】仔细阅读分析题意,利用条件概率公式解题.【解析】记“寿命超过500小时”为事件A,“寿命超过800小时”为事件B,则所求事件为B|A,因为B⊆A,所以B∩A=B,又P(A)=0.9,P(B∩A)=P(B)=0.8,所以P(B|A)= =.答案:【内化·悟】条件概率的实际应用问题的解题的难点是什么?提示:条件概率是指事件A发生的条件下,事件B发生的概率,需正确分析事件A,B并计算其概率.【类题·通】解决条件概率问题的关注点(1)关键:理清条件和结论,建立条件概率模型;(2)注意:B∩A事件的含义;(3)公式:P(A|B)=,P(B|A)= .【习练·破】某种元件用满6 000小时未坏的概率是,用满10 000小时未坏的概率是.现有1个此种元件,已经用过6 000小时未坏,求它能用到10 000小时的概率.【解析】设A:用满10 000小时未坏,B:用满6 000小时未坏,显然AB=A,所以P(A|B)====.类型三利用乘法公式求概率【典例】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为________.【思维·引】认真分析题意,利用乘法公式求解.【解析】记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为事件AB(发芽,又成活),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.答案:0.72【内化·悟】乘法公式与条件概率公式是什么关系?提示:乘法公式是条件概率公式的变形式.【类题·通】应用乘法公式的关注点1.功能:已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率,求事件A与B同时发生的概率.2.推广:设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A). 【习练·破】某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为________.【解析】记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5. 所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的概率为0.4.答案:0.4【加练·固】一批彩电,共100台,其中有10台次品,采用不放回抽样依次抽取3次,每次抽一台,求第3次才抽到合格品的概率.【解析】设A i(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件,则有P(A3)=P()P()P(A3) =××≈0.008 3.课堂检测·素养达标1.某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%,已知一学生数学不及格,则他的语文也不及格的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.设A为事件“数学不及格”,B为事件“语文不及格”,P(B|A)===,所以当数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为.2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A. B. C. D.1【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.3.甲、乙两市都位于长江下游,根据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )A.,B.,C.,D.,【解析】选C.P(A|B)===,P(B|A)===.4.第一个袋中有黑、白球各2只,第二个袋中有黑、白球各 3 只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.则第一、二次均取到白球的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.记A i:第i次取得白球,i=1,2,则P=,P=,由乘法公式求得,P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=×=.【新情境·新思维】高三毕业时,小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念,已知小红、小鑫二人相邻,则小鑫、小芸相邻的概率是________.【解析】设“小红、小鑫二人相邻”为事件A,“小鑫、小芸二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),而P(A)==,AB表示事件“小鑫与小红、小芸都相邻”,故P(AB)==,于是P(B|A)==.答案:。
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第三章概率与概率分布3．1 随机事件与概率3．1．1 样本空间与随机事件随机现象：自然现象和社会现象有许多，但按对结果的观察可分为必然现象与随机现象。
我们把在一定条件（条件组）下，每次观察都得到相同结果（必然发生），叫必然现象。
如“水在1000C时一定沸腾”，“早晨，太阳必然从东方升起”，“一棵石子掷到河中，必然要沉到河底”。
我们把在相同条件（条件组）下重复进行，试验的可能结果不止一个，试验前无法预料哪一个结果出现的现象叫随机现象。
如“掷一枚硬币，得到正面或反面”，“从一批产品中抽取一件，抽到正品或次品”，“用枪射击一只鸟，鸟被击中”等。
曾有某个知名物理学家提出，只要事件发生的条件组给得十分充分，偶然、随机事件也是一种必然事件。
如掷硬币时把受力的方向、空气的阻力计算清楚，可知结果朝向；从袋中抽球、或抽取产品朝某个方向、排在第几位置的产品或球，则可知道抽得球的颜色或产品的等级。
但是，从现实和应用的角度来看，事件发生的条件不可能知道齐备，例如，对未来发生的事情，难以预知。
如买一张彩票，是否中奖；“某地区明天的用电量在1500兆瓦与1600兆瓦之间”，难以预料，所以随机现象的研究是有意义的。
概率论与统计学就是研究随机现象的统计规律性的科学。
随机试验：为了研究随机现象，我们要对随机现象进行观察，我们把对随机现象进行一次观察，叫做一次随机试验。
基本事件：在随机试验中，它的的每一个最简单不能分解的观察结果称为基本随机事件，简称基本事件，对应于由基本事件组合而成的事件称复合事件。
样本空间：用集合论的观点来描述随机事件，若将每一个基本随机事件用一个样本点表示，所有样本点的集合，即所有基本随机事件的集合，称为样本空间。
例：如掷一骰子，有6种可能的点数，S={1,2,3,4,5,6}, {2},{4}为基本事件，A={2，4，6}即掷的偶数点事件，B为掷得点数大于等于3为复合事件。
例：连续掷硬币两次，观测正、反面朝上的情况，令w1={正面，正面}，w2={反面，正面}，w3={正面，反面}，w4={反面，反面}，则样本空间：Ω={w1,w2,w3,w4}=( {正面，正面}，{反面，正面}，{正面，反面}，{反面，反面})例：你的一个同学约定在某天晚上7点到8点之间来你家作客，令w为“他来到你家的时间”，则：Ω={w|19时<=w<=20时}。
3．1．2 事件的概率随机事件怎么描述？它发生的可能性的测度用概率、隶属度、证据等描述。
进行随机试验时，有些是必然会发生的，称必然事件，P(S)=1 。
有些是必然不会发生的，称不可能事件。
P( )=0, 但一般随机事件发生的可能性介于0与1之间。
将事件A发生的可能性称为事件A的概率。
概率有多种定义法：1．概率的古典概型：当样本空间的样本点总数为有限时，称为古典概率模型，简称古典概型。
定义3.1 在古典概型中，事件A的概率为A所包含的基本事件个数m与样本空间中含的基本事件总数n 的比值：P （A ）=事件A 包含的基本事件个数/样本空间中含的基本事件总数=m/n例3.1 一箱产品共100件,其中有5件次品,从中任取一件,取到次品的概率是多少?解: A={1,2,3,4,5}, S={1,2,…,100},P(A)=5/100=0.05例：袋中有a 只白球和b 只黑球，我们采用有放回及不放回两种方式从中取出n 个球，问恰好有k 个黑球的概率各为多少？设a=6, b=4, 取出n=7只球, 恰有k=3只黑球的概率.解：用A 表示“取n=7个球中恰有k=3个黑球”的事件。
不放回抽取方式：不放回时，基本事件总数为从a+b=10个球中随机取出n=7个的所有可能取法的种数n b a C +=710C , 而n=7个中恰有k=3个黑球应有k n ak b C C -∙种取法。
所以，事件A 的概率为 P(A)=n ba k n a kb C C C +-⋅ 有放回抽取方式：有放回地取球，就是取出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，再取第二个，。
，这种方式，每次从中取一个球时都是从a+b 个球中摸取，从a+b个球中摸取一个球有a+b 种方法，取n 次共（a+b ）n 种方法，故取n 个球的所有可能取法为（a+b ）n 种。
分子：从选取的n 个球中选k 个位置放黑球，有k n C 种选法，对每一种这种选法，每一个黑球有b 种选法，k 个黑球有b k 种选法，每一个白球有a 种选法，n-k 个白球有a n-k 种选法，所以，恰有k 个黑球的取法为k n C b k a n-k 种取法。
所以，事件A 的概率为：P(A)=nk n k k n b a a b C )(+==C k n (k n k b a a b a b -++)() 如把白球看作工厂生产的一批产品中的正品，黑球例：2.概率的统计概型：（统计概率模型）在古典概型中，我们利用数样本点的方法，计算事件的概率。
但多数问题的样本空间有无限多个样本点，难以一一列出。
人们很容易想到用利用事件发生的实际频率来估计概率的方法。
随机事件有多种可能的结果，虽然每一种结果可能发生，可能不发生，但发生的可能性有大小，例如某个人某天骑自行车在街上与汽车相撞的可能性就很小。
若统计出事件发生的频率，则可近似这种事件发生的可能性。
设E 为一随机试验，A 为其中任一事件，在同一条件下，把E 独立地重复n 次，用n A 表示事件A 在这n 次试验中出现的次数，比值： f n (A)=nn A 称为事件A 在这n 次试验中出现的频率。
在表3.1中，列举了历史上数学家掷硬币试验的数据表3.1 历史上数学家掷硬币试验的数据---------------------------------------------------------------试验者 试验次数 正面朝上次数 正面朝上的频率---------------------------------------------------------------------------------------------5 2 0.450 22 0.44500 251 0.502500 249 0.498蒲 丰 4040 2048 0.5069K.皮尔逊 12000 6019 0.5016K.皮尔逊 24000 12012 0.5005维 尼 30000 14994 0.4998----------------------------------------------------------------------------------------------从上表中可看出, 正面朝上次数稍多, 正面朝上的频率逐渐趋于0.5:0.5069 , 0.5016 , 0.5005 0.4998例：某种子发芽率。
从一大批种子做发芽试验，结果如表：---------------------------------------------------------------------------------------------------------种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715发芽率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905趋于0.9---------------------------------------------------------------------------------------------------------从上面例子中可以看出，当试验次数少时，频率变化较大；但当试验次数增大时，频率变得稳定。
因此我们有：定义3.2 在同一条件组下重复进行n 次试验，当试验次数n 充分大时，事件A 发生的频率f(A)= nn A 趋向于某一数值p ,或稳定地在p 值附近波动(0≤p ≤1),则定义p 为事件A 发生的概率:P(A)=p这种定义方法为“代替准则”中的“频率代替”构造了基础，由于概率是频率的极限，所以在试验次数较大时，可以用频率代替概率或总体比例。
3. 几何概型：事件用几何区域表达的情形：P （A ）=的测度的测度ΩA定义3.3 面对不确定性，由个人判断某事件发生的可能性称为主观概率。
例3．2 对某国经济地位样本空间S={无变化，改善，恶化}3.2 概率的运算法则3.2.1 加法公式事件间的关系：1．和事件：事件A 与事件B 中至少有一个发生，C=A+B2．积事件：事件A 与事件B 中同时发生，C=AB3．差事件：事件A 发生但事件B 不发生，C=A —B4．互斥事件（互不相容事件）：事件A 与事件B 不可能同时发生，AB=φ5．逆事件：A+B 是必然事件，A 与B 是互斥事件，A+B=S ，AB=φ事件的概率之间的关系：性质1 若AB=φ，则有：P(A+B)=P(A)+P(B)性质2 A 与B 是互斥事件，A+B=S ，AB=φ，用B=A 表示，由加法公式：1=P （S ）=P （A+B ）=P （A ）+P （B ）或P （A ）=1-P （A ）性质3 概率加法公式（加法定理）：A 、B 是任意随机事件，则：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）— P （AB ）例 甲、乙两高射炮手，各自单独击中敌机的概率分别为0.8和0.6，求敌机被击中的概率。
解：设A 表示事件“甲击中敌机”， B 表示事件“乙击中敌机”， C 表示事件“敌机被击中”。
由题意有：C=A ∪B ，所以：P （C ）=P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）- P （A B ）== P （A ）+P （B ）- P （A ）P(B ）=0.8+0.6-0.48=0.92即两个人打比一个人打更容易击中。
例3.4 某企业职工中女职工占60%，管理人员占20%，从该企业职工中任选一人，是女职工或管理人员的概率是多少？解：令A 表示女职工，B 表示管理人员。
则：P(A)= 0.60, P(B)=0.20,P(AB)=0.60×0.20=0.12, 从该企业职工中任选一人，是女职工或管理人员的概率为： P （A+B ）=0.60+0.20 — 0.12 = 0.683．2．2 乘法公式1．条件概率在许多情况下，我们需要研究某些事件出现时对另一事件所发生概率的影响，这就是条件概率。
我们以下列例子说明无条件概率和条件概率是不同的。
例如，两张足球票，十个人依次抽，每个人抽得足球票的无条件概率是102，但如果已知第一个人已经抽得一张足球票的情况下，第二个人抽得球票的概率为91，如果已知第一个人没有抽得足球票，第二个人抽得球票的概率为92。