网格和单元的基本概念

网格和单元的基本概念

前记：首先说明，和一般的有限元或者计算力学的教材不一样，本人也不打算去抄袭别人的著作，下面的连载是一个阶段的学习或者专业感悟集大成，可以说深入浅出，也可以说浅薄之极——如果你认为浅薄，很好，说明我理解透了，也祝贺你理解透了！好了，废话少说，书归正传。

无论是CSD（计算结构力学）、CTD（计算热力学）还是CFD（计算流体动力学）——我们统一称之为工程物理数值计算技术。支撑这个体系的4大要素就是：材料本构、网格、边界和荷载（荷载问题可以理解为数学物理方程的初值问题），当然，如果把求解技术也看作一个要素，则也可以称之为5大要素。网格是一门复杂的边缘学科，是几何拓补学和力学的杂交问题，也是支撑数值计算的前提保证。本番连载不做任何网格理论的探讨（网格理论是纯粹的数学理论），仅限于尽量简单化的应用技术揭秘。

网格出现的思想源于离散化求解思想，离散化把连续求解域离散为若干有限的子区域，分别求解各个子区域的物理变量，各个子区域相邻连续与协调，从而达到整个变量场的协调与连续。离散网格仅仅是物理量的一个“表征符号”，网格是有形的，但被离散对象既可以是有形的（各类固体），也可以是无形的（热传导、气体），最关键的核心在于网格背后隐藏的数学物理列式，因此，简单点说，看得见的网格离散是形式，而看不见的物理量离散才是本质核心。

对计算结构力学问题，网格剖分主要包含几个内容：杆系单元剖分（梁、杆、索、弹簧等）、二维板壳剖分（曲面或者平面单元）、三维实体剖分（非结构化全六面体网格、四面体网格、金字塔网格、结构化六面体网格、混合网格等），计算热力学和计算流体动力学的网格绝大部分是三维问题。对于CAE工程师而言，任何复杂问题域最终均直接表现为网格的堆砌，工程师的任务等同于上帝造人的过程，网格是一个机体，承载着灵魂（材料本构、网格、边界和荷载），求解技术则是一个思维过程。

网格基本要素是由最基本的节点（node）、单元线（edge）、单元面（face）、单元体（body）构成，实质上，线、面、体只不过是为了让网格看起来更加直观，在分析求解过程中，线、面、体本质上并没有起多大的作用，数值离散的落脚点在节点（node）上，所有的物理变量均转化为节点变量实现连续和传递。在所有的CAE环境下，网格的基本要素均可以直接构成，但对于复杂问题而言，这是一个在操作上很难实现的事情，因此，基于几何要素的网格划分技术成为现代网格剖分应用的支点，和网格基本要素完全相同，对应的几何要素分别称之为点（point）、线（curve）、面（surface）和实体（solid）。

数值离散求解器是不能识别几何元素的，要对其添加“饲料”，工程师必须对几何元素进行“精加工”，因此，从这个意义上来说，网格剖分的本质就是把几何要素转换为若干离散的元素组，这些元素组堆砌成形态上近似逼近原有几何域的简单网格集合体。因此，这里说明了一个网格“加工”质量的基本判别标准——和几何元素的拟合逼近程度，理论上，越逼近几何元素的网格质量越好，当然，几何逼近只是一个基本的判别标准，网格质量判别有一系列复杂的标准，后文详细阐述。

本篇将专门解释几个基本概念：点网格；一维线网格；二维三角形面网格、二维四边形面网格；三维四面体网格（tetrahedra）、三维金字塔单元（pyramid）、五面体单元（prism）、三维六面体单元（hexahedra）；

结构化网格（structural grid）、非结构化网格（nonstructural grid）、混合网格（blend grid）。需要专门说明的是，网格（grid & net）不等同于单元（element），单元是基于有限元思想的一个专用名词，而网格则是网格理论体系下的专用称呼，当网格用于有限元分析的时候，便可以转而称为线单元、面单元、实体单元，因此两者的本质差别在于，单元具有物理意义，一般具有特定的物理列式，而网格只是纯粹几何意义上的基本元素。

点网格主要针对CSD中的质量单元和CTD中的点状热源，通过对几何point直接mesh生成，应用较为简单，属性也较为简单，一般仅仅包含质量特性或者温度特性。值得一提的是，在考虑行波效应的振动分析中，质量单元常被妙用，作为基底无限大质量块，巧妙地将加速度激励转变为力激励，从而达到可以多点施加激励的作用。

一维线网格主要针对计算结构力学问题，主要针对基本的桁架（truss）、梁（frame or beam）、索（cable）、连杆(link)和弹簧（spring）等工程单元。需要特别说明的是，link实际上没有具体的工程构件对号入座（不等同于机械工程的连杆），只是一种单元节点物理量协调的边界单元，常用一维线网格描述。对于梁系单元，理论上通过杆件轴长方向的node描述其物理量变化，node越多，描述相对越精确，对于常用的梁、杆通常达到6～9个节点就具备足够的工程精度（可以捕捉到关键截面位置的力学响应）。一维单元可以根据内力变化随意加密局部网格点。从工程意义上来说，通过加密网格节点，完全可以替代高次一维单元。需要注意的是，杆系构件的一维网格并不是一味的追求增加剖分节点，对于桁架（truss）或者拉索（cable），当划分成多节点一维网格时，如果构件缺少初始刚度（一般是初始张拉刚度），则中间节点会由于缺少转动自由度约束，而形成类似铰链的机构运动，导致计算失败。而弹簧或者link则只需要两个网格节点便可以完全描述其物理特性，这是最简单的一维网格单元。

二维网格主要针对CSD中的板壳单元、平面应力单元、平面应变单元；CTD和CFD中的二维问题也是其应用领域。二维网格包含两类：其一是三角形网格；其二是四边形网格，当然，两种网格也可以混合使用。三角形网格为一般用于线性二维单元（线性单元只有一个积分点，当然也有3积分点、4积分点的高次三角形单元），因此，精度一般相对较差，同时，单元数量和节点数量均较高，造成计算负荷加大，但其几何逼近的适应性很好，因此对由复杂二维曲面构成的三维问题，有一定的适应性。四边形网格是矩形、梯形、斜梯形等四边形网格的总称，四边形网格单元容易增加单元积分点分布（4积分点、8积分点、9积分点、16积分点等），因此，对应单元的精度往往较高。但在其应用之初，限于网格生成技术的原因，对几何域的拟合逼近不如三角形好，网格生成算法也较为复杂，影响了其使用，现在的网格技术已经完美解决这一问题，因此，理论上，任意复杂的曲面几何域均可以采用完全四边形网格构成。但对于很多复杂工程问题，往往存在一些几何尺度变化较剧烈的区域（俗称极短边界、破碎面、破碎线），这些区域如果纯粹用四边形网格填充，会大幅度增加网格数量，且形状逼近也不好，因此可以采用混合三角形——四边形网格的剖分策略，这是一种兼顾网格形状、计算效率和精度的网格组合方式，主要以四边形单元为主，局部填充数量极少的三角形网格。

三维实体网格是最复杂的网格技术，主要针对计算域中的块状体或者空间三维状封闭区域，填充网格形状包括四面体、六面体、棱柱体、四棱锥体（俗称金字塔网格），目前的三维网格剖分技术已经相对完善，四面体网格可以高效填充任意复杂的空间三维域，很多网格生成软件并且已经可以做到自动剖分、自适应加密。最具挑战性的三维六面体网格剖分技术仍然处于完善发展状态，虽然理论上分块（block）结构化网格可以实现任意