多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题 1.极限

lim x y x y

x y →→+00

242

=

（ B ）

(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 1

2； (D)存在且不等于0或12

（提示：令2

2

y k x =）

2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→00

=

（ C ）

(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧

⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则

(,)

f x y

（ A ）

(A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续；

(C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续

（提示：①在2

20

x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,

x y →→ ，令y kx =，22

2

2

2

0(0,0)

1x x y f x k x

k

→→→===++ ，故在

220

x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在整个定义域内处

处连续。）

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 0

处具有偏导数是它在该点存

在全微分的 （ A ）

(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5

、

设

u y

x

=arctan

，则

∂∂u x

=

（ B ） (A) x x y 22+； (B) -

+y x y 22

； (C)

y x y 22

+ ；

(D) -+x x y 22

6

、

设

f x y y x

(,)arcsin

=，则

f x '(,)21=

（ A ）

（A ）-14； （B ）14； （C ）-1

2； （D ）12

7、若

)

ln(y x z -=，

则

=∂∂+∂∂y

z y x z x

（ C ）

（A ）y

x +

； （B ）y

x -

； （C ）2

1； （D ）2

1-．

8、设y

x z arctan

=，

v

u x +=，v

u y -=，则=+v u z z

（ C ）

（A ）2

2

v u v u --； （B ）2

2

v u u v --； （C ）2

2

v

u v

u +-； （D ）2

2

v

u u

v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'23261

2=+=+，则

f x x y '(,)

2=

（ D ） (A)

x +

3

2

； (B)

x -

32

； (C)

21

x +； (D)

-+21

x 10、

设

z y x

=，

则

(

)(,)∂∂∂∂z x z

y

+=21

（ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ；

(D) 1 11、设函数z x y =-+122

，则点

(,)

00是函数 z 的

（ B ）

（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；

（C ）极小值点但非最小值点； （D ）

极小值点且是最小值点。

12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 0

(,)处，

有 （ C ）

2

)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则

（A ）点P 0

是函数z 的极大值点； （B ）点P 0

是函数z 的极小值点；

（C ）点P 0

非函数z 的极值点； （D ）

条件不够，无法判定。 二、填空题

1、极限lim sin()x y xy x →→0π

= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：π

2、极限lim

ln()x y x y e x y

→→++01

2

2

2

=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：ln 2

3、函数z x y =

+ln()

的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：x y +≥1

4、函数z x

y

=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：-≤≤11x ，y ≠0

5、设函数f x y x

y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫

⎭

⎪

2

2，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：

k f x y 2⋅(,)

6、设函数f x y xy

x y

(,)=

+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：

22

2x y x

-

（

22

()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x

+--+-==

++-Q ）

7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂

z

x

x y ===

21

_________ 。答：3cos5