第11讲 第六章平稳过程(2)

1 2π 0 ab cos(0t )sin(0 (t ) )d 2π
ab sin 0 2
RXY ( )
且：. 所以X (t ), Y (t )是联合平稳过程， ab RYX ( ) RXY ( ) 2 sin 0
例6.10 X (t ) 和 Y (t ) 是联合平稳过程， 证明 W t X (t ) + Y (t ) 是平稳过程。 证： EW t EX (t ) EY (t ) mX mY
同样可得： RY t1 , t2 e
2
EY 2 t 1 X t 1, EX t 1
综上： Ry t1 , t2 e2 t1 t2
所以，Y t 是平稳过程。
例6.8 设s(t )是一周期为 的函数,是在(0, T)上服 T
解 第二章计算出
EX (t ) 0
a2 E{X (t ) X (t )} cos 0 2 b2 E{Y (t )Y (t )} 2 cos 0
同样计算可得：
EY (t ) 0,来自又RXY (t , t ) E{X (t )Y (t )}
E{a cos(0t )b sin(0 t ) }
RX ( T0 ) E[ X (t ) X (t T0 )]
E[ X (t ) X (t )] RX ( )
注：平稳过程自协方差函数也具有以上的性质。
性质6
如果平稳过程X(t) 不含周期分量，
X (t ) 不相关，则
时 X (t ) 与

E[ X (t ) X (t )] RX ( ) 与t无关
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程 或广义平稳过程 , .
以下讨论中，若没有特别说明，平稳即指宽平稳。
注1 平稳过程数字特征的特点
（ 1） 平 稳 过 程 的 所 有 样 本 曲 线 都 在 水 平 直 线
证明略。
说明 由于任一连续函数, 只要具有非负定性, 那么该 函数必是某平稳过程的自相关函数. 所以对于平稳过
程而言, 自相关函数的非负定性是最本质的.
如果平稳过程X(t) 满足条件 P{ X ( t T0 ) X ( t )} 1, 则称它为周期是 T0 的平稳过程. 性质5
且 相 关 函 数 的 周 期 也 是 T0 . 证明： 由 X (t ) X (t T0 )
令：θ t
t T 1 1 T E [ X ( t )] s( t ) d s ( ) d t 0 T T
1 T 0 s( )d 常数. T
( 利用s( )的周期性 )
RX ( t , t ) E[ s( t ) s( t )] T 1 s ( t ) s ( t ) d 0 T
2
解（2） 计算得 EV 0, EV 1
EY t EVEX t 0,
t1 t2 ;
E Y t1 Y t2 E V 2 X t1 X t2 EV 2 E X t1 X t 2
EV 2 1 P X t1 X t2 1 + 1 P X t1 X t2 1
X t 1;
若随机点在[0,t]内出现偶数次 ，则
若随机点在[0,t]内出现奇数次 ，则 X t 1; （1）X t 是否平稳过程？ （2）若随机变量V与 X t 独立，且 1 P V 1 P V 1 , Y t VX t , 2 讨论 Y t VX t 的平稳性
mX t =EX (t ) EX (t ) 0 RX s, t =E X ( s) X (t ) =
X t cXeit
c 2 E X 2 ei
所以X t 是平稳过程。
例6.7 设 N t , t 0,L 表示[0，t)内随机点出现的 次数，是具有参数 的泊松过程. 随机过程
X t , t 0,L 定义为:
（**）
2k !
1 e 2 t 1 e 2 t P X t 1 P N t 奇数 1 2 2
EX t
X t 不是平稳过程。
1 e2t 1 e2t 1 1 e2t 2 2
E X (t ) E X (t ) RX (0)
2 2
证明： RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
性质4
R X ( ) 是非负定的.
即 对于任意数组 t1 , t2 ,, tn T 和任意复数 a1, a2 ,, an 都有
i , j 1
R
n
X
(ti , t j )ai a j 0.
证
X t 是平稳过程。
i t i t EX t E Xce ce EX 0
i t EX t X t E Xceit Xce i t i t c 2 E X 2e e
令t θ
1 t T 上式 t s( )s( ) d T 1 T 0 s( )s( ) d T
R X ( ).
平稳过程自相关函数 RX ( )的性质 性质1 RX (0) 0. 证明： RX (0) E[ X (t ) X (t )] E X (t ) 0.
注3
对于实平稳 过程： RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
例6.5 X (t )是参数为的泊松过程，X (t )是否平稳过程? 解
X (t ) ~ t
EX (t ) t
与t有关，所以泊松过程不是平稳过程.
例6.6 为复随机过程，其中X均值为零 的实随机变量， 1, c、、 实为常数。 i 试证
x (t ) m X 上 下 波 动 , 平 均 偏 离 度 为 X .
（ 2 ） 平 稳 过 程 的 自 相 关 函 数 仅 是 t 2 t1 的 单 变 函 数 .
注2
2 B X ( ) RX ( ) mX 对于平稳过程
RX (0) E X (t )
2
BX 0 DX t
RXY ( ) RXY (t, t ) E[ X (t )Y (t )], RYX ( ) RYX (t, t ) E[Y (t ) X (t )],
则称 X (t ) 和 Y (t ) 是联合平稳的，或称为互平稳
联合平稳过程互相关函数的性质： （1）
例6.12 下列函数哪些是平稳过程的相关函数？那些不 是？
(a) 答案： a,b都不是.
(b)
定理：设X( t )是均方可导的平稳随机过程，相关函数为 RX , 则 X (t )也是平稳过程，且： mX t 0 RX RX 证：X( t )是平稳过程，所以： EX (t ) mX 常数
P N t2 N t1 偶数 -P N t2 N t1 奇数

1 e
2 t2 t1
2
-
1 e
2 t2 t1
e2 t2 t1
2
2 t1 t2
2
t1 t2 ; t1 =t2 =t;
E W t W t E X (t ) + Y (t ) X (t ) + Y (t )
E X (t ) X (t ) +X (t ) Y (t ) Y (t ) X (t ) Y (t ) Y (t )
从均匀分布的随机变量称X(t ) s(t )为随机 ,
相位周期过程 试讨论它的平稳性 . . 解 的概率密度为
1 / T , 0 T , f ( ) 0, 其他.
X(t) 的均值函数为
E[ X ( t )] E[ s( t )] T 1 s (t ) d 0 T
6.1 平稳过程及自相关函数性质
平稳过程是指过程的统计特性不随时间的推移而变 化的随机过程。 一般，为了便于研究，我们只考虑随机过程的数字 特征特性的平稳性，即有如下宽平稳过程的 定义： 定义
t, t T
给定二阶矩过程 X ( t ), t T }, 如果对任意 {
E[ X (t )] mX (常数)
E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
注：RXY (t, t ) 和 RXY (t, t )只需要计算一个就可确定另一个
例6.9 设有两个随机过程 X (t ) a cos(0t ),
Y (t ) b sin(0t ), 其中 a, b, 0 为常数, 是均 匀分布于 (0, 2π) 上的随机变量, X (t ), Y (t )是否 联合平稳?
RXY ( ) RX (0) RY (0),
2
BXY ( ) BX (0) BY (0).
2
（2） RXY ( ) RYX ( ),
特别，对于实随机过程有 RXY ( ) RYX ( ),
证明： RYX ( ) E[Y (t ) X (t )] E[Y (t )X (t )]
RX RXY RYX RY
所以 W t X (t ) + Y (t ) 是平稳过程
例6.11 课后习题6 试说明下列一元函数是否为相应平稳过程的相关函数？
补充：平稳过程中的随机分析 定理：设X( t )是平稳随机过程， 则X( t ) 是均方 连续过程的充要条件是： RX 在 0 处连续. 推论 平稳过程的相关函数 RX 若在 0连续， 则 RX 处处连续
解（1）
2k
P X t 1 P N t 偶数 P N t 2k
k 0
k 0


e t t
2k
e
t
t et et 1 e2 t 2 k ! e t （*） k 0 2 2
2
性质2 RX ( ) RX ( ) 证明： RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( ) 特别，对于实随机过程有 R X ( ) R X ( ) , 性质3
RX ( ) RX (0)
lim BX ( ) 0.
2
或

lim RX ( ) mX ( )
证明： 由
BX ( ) RX ( ) mX
2
及不相关的定义即知。
6.2 联合平稳过程及互相关函数的性质 定义6.1： X (t ) 和 Y (t ) 是两个平稳过程，如果它们的互相关函数
也只是时间差的函数, 即