第四章-圆与方程知识点总结及习题(答案)

第四章圆与方程

1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程

2 2 2

点M （x 0,y 0）与圆（X-a ） +（y-b ） =r 的位置关系:

当

(x

-a)

+（y 0 _b ）2>r 2，点在圆外

当(X o -a)2

+ （y 0 -b ）2=r 2

，点在圆上 当(X o -a)2

2 2

+ (y o —b)

(2) 一般方程 X 2

+ y 2

+ Dx + Ey + F = 0

当 D 2

+ E 2

-4F

>

时,

方程表示圆，此时圆心为 C D _E ）,半径为

L 2’ 2 丿

D 2 D 2

+ E 2

+ E 2

-4F -4F =0时,

< 0时, 表示一个点；

方程不表示任何图

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件， 需求出a ，b ，r ;若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

若利用圆的标准方程, 3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况:

（1

+By +C = 0 ,圆 C :（X - a 了 +（y -b 『=r 2

，圆心 C （a,b ）到 | d>ru 1与C 相离d=r= 1与C 相切^dvru 1与C 相交

（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立② k 存在, 直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】

设点斜式方程，用圆心到该 2

⑶过圆上一点的切线 方程：圆（x-a ） +（y-2

=r 2

，圆上一点为（X 0, y o ）,则过此点的切线方程为

|(x o -a)(x-a)+(y o -b)(y-b)= r

4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和 设圆 G :（x-a 1 2 + （y-b 1 2 =r 2

，C 2 ：（x

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ 当d > R + r 时两圆外离，此时有公切线四条；

（差），与圆心距（ - a 2 ）2 + （y - b

2 f

d ）之间的大小比较来确定。

=R 2

当d = R + r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当R-r

当d = R-r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

圆的方程

B基础自测

1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则 a的取值范围是

( )

B.- 2 < a < 0 3

D.-2 < a< -

3

答案 D

2.( 2009 -河南新郑模拟)圆x2+y2+2x-4 y+1=0关于直线2ax- by+2=0 (a、b匕R对称，则ab的取值范围

是

3.过点A (1, -1 )，B (-1，1)，且圆心在直线

A. (x-3 ) 2+(y+1)=4

C. (x-1 ) 2+(y-1) =4

答案 C

4.以点(2，-1 )为圆心且与直线3x-4 y+5=0相切的圆的方程为

A.( x-2) 2+(y+1)2=3

B.( x+2) 2+( y-1) =3

C.( x-2) 2+(y+1)2=9

D.( x+2)2+(y-1) 2=9

答案 C

5.(2009 •宜昌模拟)直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆(x+a) 2+(y+b) =r2 (r >0)的圆心位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案 B

--典例剖析

例1已知圆C的半径为2 ,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为

A. x2+y2-2x-3=0 B x2+y2+4x=0

2 2 2 2

C. x +y +2x-3=0

D. x +y -4 x=0

答案 D

当d < R - r时，两圆内含; 当

d = 0时，为同心圆。

A. a< -2 或 a >

C.-2 < a < 0

x+y-2=0上的圆的方程是

B.( x+3)2+(y-1) 2=4

D.( x+1)2+(y+1)2=4

例2 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P, Q 两点，且 OP!OQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆 心坐标及半径.

解万法一将X =3-2 y,

代入方程 x 2

+y 2

+x-6y+iT=0, 得 5y 2

-20 y+12+m=0. 设 P(X I , y i ), Q(X 2, y 2)，则 y i 、y 满足条件：

y i +y 2=4, y i y 2=12 +m

5

■/ OP! OQ ••• X i X 2+y i y 2=0. 而 X I =3-2 y i , X 2=3-2y 2. /• X I X 2=9-6( y i +y 2)+4y i y 2.

二n=3,此时△ > 0,圆心坐标为匚！ ,3〕半径r = -5

.

I 2丿 2 方法二如图所示，设弦PQ 中点为M

TOML PQ /. k OM =2. /. OM 的方程为：y-3=2 (+丄

1 I 2

即: y=2x+4.由方程组 j y S+4 .

j x +2y d =0 解得M 的坐标为(-i , 2).

则以PQ 为直径的圆可设为(x+1) 2

+ (y-2 ) 2

=r 2

.

•/ OP! OQ •••点O 在以PQ 为直径的圆上. •••(0+1) 2+ (0-2 ) 2=r 2，即 r 2=5, MQ=r 2. 在 Rt△ OMQ 中，OQ=OM+M Q

• L i +J +(3-2)海1 W"6)，—4m I 2丿

••• m=3. •••半径为-,圆心为

—

丿

方法三设过P 、Q 的圆系方程为 2 2

X +y +x-6y+m+Z(x+2y-3)=0. 由 OP!OQ 知，点 O (0, 0)在圆上.

• m3 A =0，即 m=3 L •圆的方程可化为 x 2+y 2+x-6y+3 入+k x+2 入y-3 入=0 即 X 2+(1+ ^)x+y 2+2(几-3) y=0

•圆心M L^^ 2(3 [又圆在PQ 上. 2丿

••圆心M ]——

I 2 •.- 1

+人+2 (3-几)

2 -3=0，•几=1, •: m=3. •.圆心为 ［丄3］，半径为5

I 2'丿 2 例3 (12分)已知实数

(1) 求y- X 的最大值和最小值；

(2) 求x 2+y 2

的最大值和最小值. X 、y 满足方程 x 2+y 2-4x+1=0.