有限差分法和变分法

2
x2
fy
（b）
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§5－2应力函数的差分解
由图（5－2）可见
l cos n, x cos dy
ds
m cos n, y sin dx
ds 因此，式（b）可以改写成
d y 2
d
s
y 2
d d
x s
2
xy
fx
d d
x
A
,
y
A
,
已知，则可根据面力分量求得
边界s上任一点B的 B,
x
B
,
y
B
.
由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可 设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得
A 0
x
A
0,
y
A
0
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d s x d s y d s
将此式亦从 A 点到 B 点沿 s 进 行积分，就得到边界上任一点 B 处的
0
yB
xB
dx S dy ds
fx
B
fy
n
x
A
yx
φ 值。为此利用分部积分法，得：
y 图5-2
b
a
u
xdv
x
u
x
v
x
b a
b
a
v
x
du
x
B A
x
x
B
A
B A
x
d ds
x
d
s
B
，对
s
x
积分得到：
y
y
B A
B
A fx d s
；
x
B
A
B
A fy ds
y
B
y
A
B
A fx d s
；
x
B
x
A
B
A fy ds
（d）
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§5－2应力函数的差分解
由高等数学可知，
d . d x . d y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
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§5－1差分公式的推导
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§5－1差分公式的推导
差分法：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用 差分
来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微
边界上各结点处的 值，并包含边界外一行的虚结点处的 值。
为了求得边界上各结点处的 值，须要应用应力边界条件，即：
l x m yx fx
l xy m y f y
x
2
y 2
,
y
2
x2
,
在
xy
2
xy
s 上
代入上式，即得：
（a）
l
2
y2
m
2
xy
fx
;
l
2
xy
m
相容方程的差分公式
对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。
问题：边界上的点（边界外的点）怎么办？？？？？？
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§5－2应力函数的差分解
当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9
• 7
• 2
•6
•10
A • 13
x
A
13 9
2h
y
A
14 10
2h
B
h
• 14
y
图5－1
13
9
2h
x
A
14
10
2h
y
B
（5－14）
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§5－2应力函数的差分解
用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：
（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，
取
A
x
A
y
A
0
然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以
及所必需的一些 及 值，即垂直于边界方向的导数值。
x
y
（2）应用公式（5－14），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相
应结点处的 值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5－10），联立求解这些结点处的
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§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
y s
wk.baidu.com
2
xy
d d
x s
2
x2
fy
0
yB
xB
dx S dy ds
fx
B
fy
n
x
y 图5-2
A
yx
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§5－2应力函数的差分解
约去 dy、dx 得：
d
ds
y
fx
；
d ds
x
fy
（c）
关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点 A 到 任意点
§5－2应力函数的差分解
于是式(d)，式(e) 简化为：
B
y
B
A
f xds
x B
B A
f
y ds
B
B
B A ( yB y) f x d s A (x xB ) f y d s
（5－11） （5－12） （5－13）
讨论：
（1）（5－11）右边积分式表示A－B之间， x 方向的面力之和；
值。
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§5－2应力函数的差分解
（4）按照公式（5－13），算出边界外一行的各虚结点处的 值。 （5）按照公式（5－9）计算应力的分量。
说明： 如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将
出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（5－10）必须加 以修正。
U1
1 2
( x x
y y
z z
yz
yz
zx
zx
xy
xy
)
或
U1
ij
0
dij ij
1 2
ij
ij
整个弹性体内的变形能
U
U1dxdydz
1 2
ijij d x d y d z
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
对应于平面问题，微元的应变能（应变比能）
0
1 h4
4 f0
2
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
4f
y 4
0
1 h4
6 f0
4
f2
f4
f10
f12
（5－6） （5－7） （5－8）
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§5－1差分公式的推导
讨论：
（1）差分公式是微分方程在数学上的近似； （2）在推导（5－1）－－（5－4）时，略去了三阶项及更高阶项；
2 f x2
x x0 2
0
1 3 f
3!
x3
x
0
x0 3
1 4 f
4!
x4
x
0
x0 4
L
（a）
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§5－1差分公式的推导
节点3的坐标 x0 h,0 ，节点1的坐标 x0 h,0 ，带入（a）
f3
f0
h
f x
0
0
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f
x2
0
f1
f3 2 f0 h2
（5－2）
同理可以得到 y 方向的上的差分公式
f
y
0
f2 f4 2h
2 f
y 2
0
f2
f4 2 f0 h2
注（5－1）－－（5－4）是最基本的差分公式
（5－3） （5－4）
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分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解
代数方程问题。
差分法的数学基础： 泰勒公式； 微分中值定理；
0
y
•8 •11 •3
• 7
•12
•4
• 5
•0 •1 •9
• 2
•6
•10
x
h
A • 13
B
h
• 14
图5－1
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§5－1差分公式的推导
2 f
x2
0
（d） （e）
把（d）和（e）看成关于
f x
和
0
2 f x2
0
的二元一次方程组
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§5－1差分公式的推导
把（d）和（e）看成关于
f x
0
和
2 f x2
0
的二元一次方程组
f
x
0
f1 f3 2h
（5－1）
U1
1 2
x x y y xy xy
整个弹性体内的变形能
U
AU1dxdy
1 2
A x x y y xy xy dxdy
把物理方程代入微元的应变能，分别得到用应力应变表示方程
U1
2
E
1 2
2 x
2 y
2 x
y
1
2
2 xy
对 x , y , xy 求导
U1 x
x,
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
至（5－4）称为抛物线差分公式； （4）要想求差分解，前提是要有微分方程。
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§5－2应力函数的差分解
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§5－2应力函数的差分解
y
y
B A
B A
y
d ds
y
d
s,
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§5－2应力函数的差分解
将式(c),(d)代入，整理得：
B
A
(xB
xA
)
x
A
(
yB
yA)
y
A
B
A (yB y) fx d s
B
A (x xB ) fy d s
（e）
由式(d)及式(c)可见，设 A,
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移 为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件 和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作 功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
0
0
y
x
•12
h
•8
•4
• 5
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
•7
• 2
•6
•10
B
h
• 14
整理即得
图5－1
200 8(1 2 3 4) 2(5 6 7 8) (9 10 11 12) 0 （5－10）
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
变分法：主要是研究泛函及其极值的求解方法。 泛函：函数是函数的函数； 能量法：弹性力学中的变分法； 形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由应力 和变形的最终大小确定－－保守场。
h2 2
2 f
x2
0
h3 6
3 f
x3
0
L
f1
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
h3 6
3 f
x3
0
L
（b） （c）
假定网格间距 h 充分小，二阶项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为
f3
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
f1
f0
h
f x
0
h2 2
U1 y
y,
U1 xy
xy
（5－15）
x
E 1 2
x y
y
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
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0
y
•8 •11 •3
• 7
•12
•4
• 5
•0 •1 •9
• 2
•6
•10
x
h
A
• 13
B
h
• 14
图5－1
当不计体力时，我们已把弹 性力学平面问题归结为在给定边 界条件下求解双调和方程的问题。 用差分法解平面问题，就应先将 双调和方程变换为差分方程，而 后求解之。
双调和方程： 4 0
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§5－1差分公式的推导
混合二阶导数的差分公式
2 f xy
0
x
f y
0
f y
1
2h
f y
3 ＝
f6 f5 2h 2h
f7 f8 2h
1 4h2
f6
f8
f5
f7
四阶导数的差分公式
（5－5）
4f
x4
0
1 h4
6 f0
4
f1
f3
f9
f11
4f x 2 y2
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
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（2）（5－12）右边积分式表示A－B之间， y 方向的面力之和改号；
（3）（5－13）右边积分式表示A－B之间， 面力对B的力矩之和；
（4）以上结果不能用于多连体的情况。
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§5－2应力函数的差分解
0
x
•12
h
边界外一行的虚节点的 值
•8