材料力学5(扭转1)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
n 60
P
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
2.扭矩和扭矩图
杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。 对图3.5(a)所示圆轴，欲求m-m截面的内力，可假设沿m-m截面将圆 轴一分为二，并取其左半段分析，如图3.5(b)所示
由平衡方程 得
M
x
0
T Me 0
T Me
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 用平行于杆轴线的坐标 x 表 T m1 示横截面的位置；用垂直于 _ m2 杆轴线的坐标 T 表示横截面 x 上的扭矩，正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴 下方. ①扭矩变化规律； 目 的
+
②|T|max值及其截面位置
圆周各点处切应力的方向于
圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处
M
e
n n
τ
dA
切应力的数值无变化.
M
e
n n
T
n
§3.3.1 薄壁筒扭转
二、薄壁筒切应力 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的， 切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
②各纵向线均倾斜了 同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪 斜成的平行四边形。
Me
Me
§3.3.1 薄壁筒扭转
x
3. 推论
Me
dx
Me
1) 横截面上无正应力，只有切应力； 0, 2) 切应力方向垂直半径或与圆周相切.
0
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
M
e
n
M
e
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横 截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位 置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图(torque 【例】 一传动轴如图 3.7(a)所示，轴 diagram) 。
的转速n=500r/min，主动轮的输入功率 为PA= 600kW，三个从动轮的输出功率分 别为PB=PC=180kW，PD=240kW。试计算轴 内的最大扭矩，并作扭矩图。
dx
τ
x
数量相等而转向相反，从而可得 z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
面）。
强度计算（危险截
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.3.1 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 。
§3.3.1 薄壁筒扭转
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
§3.3.3 剪切胡克定律
四、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为切应变， 切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 切应变成正比，即
a
´
dx
´
b
dy
c z
d t
G
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
§3.3.3 剪切胡克定律
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0为平均半径所作圆的面积。 T
§3.3.2 切应力互等定理
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行.
解：首先计算外力偶矩 600 M A 9 549 11.46 103 N· m=11.46kN· m 500
M B M C 9 549 180 3.44 103 N· m=3.44kN· m 500
240 M D 9 549 4.58 103 N· m=4.58kN· m 500
由图所示的几何关系得到
Me
Me
r l
l
Baidu Nhomakorabea
式中, r 为薄壁圆筒的外半经. 薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系.
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O
T3 M D 4.58
从图可见，最大扭矩发生在AC段，其值为8.02kN· m。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
要注意的是，在求各截面的扭矩时，通常采用“设正法”， 即假设扭矩为正。若所得结果为负值的话，则说明该截面 扭矩的实际方向与假设方向相反。
扭矩图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
1.外力偶矩 直接计算
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
按输入功率和转速计算
如图所示的齿轮轴简图， 主动轮的输入功率经轴的 传递，由从动轮输出给其 他部件，已知轴转速－n 转/分钟，输出功率－P 千瓦。求：力偶矩Me Me2 Me1
n
Me3
电机每秒输入功： W P 1000(N m) 外力偶作功完成： W M e 2
E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )
O
§3.3 扭转
§3.3 扭转
第三章 扭转
一、 扭转的概念和实例 二、外力偶矩的计算
三、扭矩和扭矩图
四、纯剪切
§3.1 扭转的概念和实例
在工程中，受扭杆件是很常见的，例如机械中的传动轴、汽 车的转向轴等，但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以 扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其 进行强度和刚度计算；如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的 (如钻杆还受压)，则要通过组合变形计算。这类问题将在第9章讨 论。 扭转(torsion)：是杆件的基本变形之一。在一对大小相等、方向相 反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶作用下，直杆的任意两横截面 将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线 将成螺旋线。这种变形形式就称为扭转。
由平衡方程 dy
y
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
§3.3.2 切应力互等定理
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 ( dxdy )dz 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
然后，由轴的计算简图，计算各段轴内的扭矩。先考虑AC段，从任一截面2-2处 截开，取截面左侧进行分析，如图3.6(c)所示，假设T2为正。 由平衡方程
M
x
0
M B M A T2 0
粗矩图 (kN·m)
m T2 M A M B 11.46 3.44 8.02kN· 同理，在BA段内，有 T1 M B 3.44 在CD段内，有
T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩(torsional moment，
torque)。如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上 可求得扭矩的数值大小相等而方向相反。为使从两段杆 所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，材料力 学中通常规定：按右手螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭 矩矢量的指向与截面的外法向方向一致，则扭矩为正， 反之为负。
n 60
P
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
2.扭矩和扭矩图
杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。 对图3.5(a)所示圆轴，欲求m-m截面的内力，可假设沿m-m截面将圆 轴一分为二，并取其左半段分析，如图3.5(b)所示
由平衡方程 得
M
x
0
T Me 0
T Me
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 用平行于杆轴线的坐标 x 表 T m1 示横截面的位置；用垂直于 _ m2 杆轴线的坐标 T 表示横截面 x 上的扭矩，正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴 下方. ①扭矩变化规律； 目 的
+
②|T|max值及其截面位置
圆周各点处切应力的方向于
圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处
M
e
n n
τ
dA
切应力的数值无变化.
M
e
n n
T
n
§3.3.1 薄壁筒扭转
二、薄壁筒切应力 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的， 切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
②各纵向线均倾斜了 同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪 斜成的平行四边形。
Me
Me
§3.3.1 薄壁筒扭转
x
3. 推论
Me
dx
Me
1) 横截面上无正应力，只有切应力； 0, 2) 切应力方向垂直半径或与圆周相切.
0
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
M
e
n
M
e
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横 截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位 置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图(torque 【例】 一传动轴如图 3.7(a)所示，轴 diagram) 。
的转速n=500r/min，主动轮的输入功率 为PA= 600kW，三个从动轮的输出功率分 别为PB=PC=180kW，PD=240kW。试计算轴 内的最大扭矩，并作扭矩图。
dx
τ
x
数量相等而转向相反，从而可得 z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
面）。
强度计算（危险截
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.3.1 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 。
§3.3.1 薄壁筒扭转
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
§3.3.3 剪切胡克定律
四、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为切应变， 切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 切应变成正比，即
a
´
dx
´
b
dy
c z
d t
G
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
§3.3.3 剪切胡克定律
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0为平均半径所作圆的面积。 T
§3.3.2 切应力互等定理
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行.
解：首先计算外力偶矩 600 M A 9 549 11.46 103 N· m=11.46kN· m 500
M B M C 9 549 180 3.44 103 N· m=3.44kN· m 500
240 M D 9 549 4.58 103 N· m=4.58kN· m 500
由图所示的几何关系得到
Me
Me
r l
l
Baidu Nhomakorabea
式中, r 为薄壁圆筒的外半经. 薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系.
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O
T3 M D 4.58
从图可见，最大扭矩发生在AC段，其值为8.02kN· m。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
要注意的是，在求各截面的扭矩时，通常采用“设正法”， 即假设扭矩为正。若所得结果为负值的话，则说明该截面 扭矩的实际方向与假设方向相反。
扭矩图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
1.外力偶矩 直接计算
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
按输入功率和转速计算
如图所示的齿轮轴简图， 主动轮的输入功率经轴的 传递，由从动轮输出给其 他部件，已知轴转速－n 转/分钟，输出功率－P 千瓦。求：力偶矩Me Me2 Me1
n
Me3
电机每秒输入功： W P 1000(N m) 外力偶作功完成： W M e 2
E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )
O
§3.3 扭转
§3.3 扭转
第三章 扭转
一、 扭转的概念和实例 二、外力偶矩的计算
三、扭矩和扭矩图
四、纯剪切
§3.1 扭转的概念和实例
在工程中，受扭杆件是很常见的，例如机械中的传动轴、汽 车的转向轴等，但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以 扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其 进行强度和刚度计算；如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的 (如钻杆还受压)，则要通过组合变形计算。这类问题将在第9章讨 论。 扭转(torsion)：是杆件的基本变形之一。在一对大小相等、方向相 反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶作用下，直杆的任意两横截面 将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线 将成螺旋线。这种变形形式就称为扭转。
由平衡方程 dy
y
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
§3.3.2 切应力互等定理
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 ( dxdy )dz 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
然后，由轴的计算简图，计算各段轴内的扭矩。先考虑AC段，从任一截面2-2处 截开，取截面左侧进行分析，如图3.6(c)所示，假设T2为正。 由平衡方程
M
x
0
M B M A T2 0
粗矩图 (kN·m)
m T2 M A M B 11.46 3.44 8.02kN· 同理，在BA段内，有 T1 M B 3.44 在CD段内，有
T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩(torsional moment，
torque)。如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上 可求得扭矩的数值大小相等而方向相反。为使从两段杆 所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，材料力 学中通常规定：按右手螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭 矩矢量的指向与截面的外法向方向一致，则扭矩为正， 反之为负。