用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解（1）

【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解

2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．

【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了．

本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法．

【例题精析】

例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05．

【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求．

【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间：

通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．

令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)．

令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)．

令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)．

令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)．

由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05，

此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336．

【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．)

例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序．

【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标；

（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；

（3）计算f （221x x ＋）的值，若f （221x x ＋）＜0，则第二个解区间为（221x x ＋，x 2）；若f （221x x ＋）＞0，则第二个解区间为（x 1，221x x ＋）；若f （2

21x x ＋）＝0，则近似解为x ＝

221x x ＋； （4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（x i ，y i ）满足精确度要求为止；

（5）写出原方程的近似解．

【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示．

例3．利用计算器，求方程18lg 3=+x x 的近似解（精确到0.1）．

【分析】作一张草图，找好解所在的大致区间．

【解法】分别画出函数x y lg =和318x y -=的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程18lg 3=+x x 的解，由图象可以发现，方程18lg 3=+x x 有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内,记为0x

设 x x x f lg 18)(3--=，用计算器计算，得

f (2)>0 , f (3)<0 则 )3,2(0∈x

f (2.5)>0 , f (2.75)<0 则 )75.2,52(0．

∈x

f (2. 5)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,52(0．

∈x f (2. 5625)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,56252(0．

∈x 因为2．5625与2．625精确到0．1的近似值的为2．6，所以原方程的近似解为6.20=x ．

【评注】由本题进一步熟悉用二分法求方程的近似解．

【本课练习】

1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．

A 、没有零点

B ．有无数个零点

C ．有两个零点

D ．有一个零点

2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )

A ．(-2,1)

B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．75

,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

4．函数

f (x )=5-x 2的负数零点的近似值(精确到0.1)是（

） A ．-2.1 B ．-0.2 C ．-2.2 D ．-2.3

5．求方程2x +x =4的近似解(精确到0.1) （ ）