向量法求空间距离和角

用向量方法求空间角和距离
在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．
1 求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角
设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||
a b
a b （２）求线面角
设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法
向量， 则斜线l 与平
面
α
所成的角
α=arcsin |
|||||
l n
l n （３）求二面角
法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角
l αβ--的平面角α=arccos
||||
a b
a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两
个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角
l αβ--的平面角α=12
12arccos
||||
n n n n 2 求空间距离问题
构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离
法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A
到α的距离||
|||cos |||
AB n d AB n θ==
法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．
（２）求异面直线的距离
法一、找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．
法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别
为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离||
|||cos |||
AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．
例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离
解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角，
（II ）如图建立空间坐标系D xyz -， 则
(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =
设面
向量为(,,1)n x y = 由0
DE n DB n ⎧
⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112
sin |cos ,||
|2||||
BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为4
π
． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于
向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，
1||||
BB n d n ∴=
=1
3 1
1
||||11111
1cos ||
()()|
|
||||222|
|,arccos
55DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=
设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解． ２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）． ３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决， 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．
例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形
B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥''
（Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．
（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角
A C A D -'-的大小为？ 60
解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系A xyz -， 则 '(1,1,)DA a =- (0,1,0)DC =
设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y = 则'1100
DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得1(,0,1)n a =
直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'
DAC 的距离， 也等于向量AD 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值，
11||2
2||
AD n d n ∴=
=
（II ）易得面'
AAC 的法向量21
1(,,0)22
n =-
∴向量12,n n 的夹角为
60
由12
121211
cos ,2
||||
a n n n n n n ⋅〈〉=
=
=
得 1a = ∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．
设计说明：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．
２．通过（II ），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．
例３．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥
时，求二面角11C B P C --的大小． 证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a = 则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,11,)a --
1(0,2,0),(3,1,2)AC B P a ∴==--- 1
20AC B P =-≠，1B P ∴不垂直AC ∴直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直．
（II ）1(,2)BC =，由11BC B P ⊥，得110BC
B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11B
C B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面
∴
1(,2)BC =是面1CB P 的法向量
设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，由1110
B P n B
C n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
得(1,3,n =-,设二面角11C B P C --的大小为α 则116
cos 4||||
BC n BC n α=
= ∴二面角11C B P C --的大小为arccos
4
． 设计说明：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．
２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．
通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ||||cos a b a b θ=）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具．充分体现出新教材新思想、新方法的优越性．这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现．
练习：
１．在正四面体S ABC -中，棱长为a ，E,Ｆ分别为SA 和BC 的中点，求异面直线BE 和SF 所成的角．（2
arccos 3
）
２．在边长为１的菱形ABCD 中，60ABC ︒∠=，将菱形沿对角线AC 折起，使 折
起后BD ＝１，求二面角B AC D --的余弦值．（1
3
）
３．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD
P D A D a ==，问平面PBA 与平面PBC
由．（不垂直）
４．在直三棱柱111ABC A B C -中，90A ︒∠=，1,,O O G 分别为111,,BC BC AA 的中点，且12AB AC AA ===． （１） 求1O 到面11ACB 的距离；（2） （２） 求BC 到面11GB C 的距离．）
５.如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角
三角形，∠ABC ＝900，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2，CD ＝1，点F 是AE 的中点.
（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ；
（Ⅱ）求AB 与平面BDF 所成角的大小（arcsin 2
3
）。