高中一轮复习__含绝对值的函数
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学案17 含绝对值的函数
一、课前准备:
【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,主要有以下3类:
1.形如)(x f y =的函数,由于0
)(0)()()()(<≥⎩⎨⎧-==x f x f x f x f x f y ,因此研究此类函数往往结合函数图像,可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到;
2.形如)(x f y =的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0≥x 的情况,0 3.函数解析式中部分含有绝对值,如a x x y a x y -+=+-=2,1等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再做出图像进行研究. 【自我检测】 1.函数13-=x y 的单调增区间为 _. 2.函数x y lg =的单调减区间为_______. 3.方程a x =-1有两个不同的实数根,则实数a 的取值范围是___________. 4. 函数x a y =在)0,(-∞上是增函数,则a 的取值范围是___________. 5.函数11++-=x x y 的值域为___________. 6.函数q px x x x f ++=)(是奇函数的充要条件是___________. 二、课堂活动: 【例1】填空题: (1)已知函数f (x )=log a | x |在(0,+∞)上单调递增,则f (-2) f (a +1).(填写“<”, “=”,“>”之一). (2)函数2ln -=x y 的图像与函数1=y 的图像的所有交点的横坐标之和为________. (3)函数x y 21log =的定义域为],[b a ,值域为[0,2],则b -a 的最小值为_______. (4)关于函数)0(1lg )(2≠+=x x x x f ,有下列命题:①其图像关于y 轴对称;②)(x f 的最小值为lg2;③)(x f 的递增区间为(-1,0);④)(x f 没有最大值.其中正确的是_____________(把正确的命题序号都填上). 【例2】设a 为实数,函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2 (1)若函数)(x f 是偶函数,试求a 的值; (2)在(1)的条件下,求)(x f 的最小值. 【例3】 设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数) (1) a =2时,讨论函数)(x f 的单调性; (2) 若a >-2,函数)(x f 的最小值为2,求a 的值. 三、课后作业 1.函数12+=x y 关于直线___________对称. 2.函数b a x x x f ++=||)(是奇函数,则=a ________;=b __ _. 3.关于x 的方程a x x =+-232有4个不同实数解,则a 的取值范围是__________. 4.函数2x x y -=的递减区间是_ ______. 5.函数)4(log )(2+-=x x f 的值域为__________. 6.函数x x x x y cos cos sin sin +=的值域是___________. 7.已知01a <<,则方程|||log |x a a x =的实数解的个数是___________. 8.关于x 的方程0121=++-m x 有唯一实数解,则m 的值为___________. 9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,()21x f x x -=+,若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,都有()()10f t a f t +-->恒成立,则实数a 的取值范围是 . 10.已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ,若1234x x x x <<<, 且12()()f x f x =34()()f x f x ==,则1234 1111x x x x +++= . 11.已知函数12)(,)(2++=-=ax x x g a x x f (a 为正常数),且函数)(x f 与)(x g 的图像在y 轴上的截距相等. (1) 求a 的值; (2) 求函数)(x f +)(x g 的单调递增区间. 12.已知函数2 |43|y x x =-+. (1)研究函数的单调性;(2)求函数在[0,]t 上的值域(t>0). 13.(已知函数b ax ax x g ++-=12)(2 (0>a )在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x =. (1)求a 、b 的值; (2)若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立,求实数k 的取值范围; (3)若()03| 12|2|12|=--⋅+-k k f x x 有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围. 参考答案: 【自我检测】 1.⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡+∞,31 2.)0,(-∞ 3.),0(+∞ 4.(0,1) 5.),2[+∞ 6.0=q . 课堂活动 例1.(1)< ;(2)4 ;(3) 4 3;(4)①②④ . 例2.(1)由R x x f x f ∈∀=-对)()(成立得0=a ;(2)0≥x 时,1)(2++=x x x f 是增函 数,最小值为1)0(=f ,由)(x f 是偶函数,关于y 轴对称可知,函数)(x f 在R 上的最小值为1)0(=f . 例3.(1)2=a 时,1 1222222)(222 <≥⎩⎨⎧+--+=-+=x x x x x x x x x f ,结合图像知,函数)(x f y =的单调增区间为),1[+∞,减区间为]1,(-∞; (2)2 222)(22a x a x a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=,12,2->∴->a a ,结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2,解得a =3符合题意; 当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24 )2(2 ==a a f ,无解; 综上,a =3.