离散数学 教案 第1章 命题逻辑(1)

用 P: 今晚我写字， Q: 今晚我看书。
则可符号化为： P∨Q 注意
自然语言中的“或” 的含义有两种： 一是“可兼或”，另一种是“排斥或” 析取式P∨Q表示的是一种可兼或， 即允许P与Q同时为真。
这个例子中的“或”是“可兼或”, 因为它不排除今 晚既看书又写字这种情况。
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是命题, 记为P→Q, 称为蕴含式, 读做“P蕴含Q” 。
运算对象P叫做前提、假设或前件, 而Q叫做结论 或后件。 命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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Discrete Mathematics 运算符→可能的运算结果如下表所示。 P Q P→Q
0 0 1 1
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Discrete Mathematics 数理逻辑主要研究推理，而思维是通过语言来表 达的，所以，我们先看自然语言中构成推理的最基 本组成成分是什么： 推理1：如果今天下午有空，我就去打球。我今 天下午有空，所以，我去打了球。 推理2：凡人都是要吃饭的。张三是人，所以张 三要吃饭。 构成推理最基本的要素，除联结词外就是陈述句 了。——命题。
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Discrete Mathematics “∨”代表的运算是二元运算，常称为“或”运 算，所有可能的运算结果用真值表表示为： P∨Q
P
Q
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
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例 1：今晚我写字或看书
原子命题（本原命题）：不能分解成更简单命题的命题。 命题和原子命题常用大写字母P 、Q 、 R…… 表示。通常 将表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 例如: P：2是素数。 Q：雪是黑色的。 此时，P是真命题，Q是假命题。
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Discrete Mathematics 前言（续） 最早提出用数学方法研究逻辑的是德国数学家 莱布尼兹，布尔对其做了进一步发展，罗素对起 作了总结性的研究和完善，从而使其成为数学中 的一门新学科。
计算机科学与数理逻辑有密切的关系。
数理逻辑主要介绍命题逻辑和谓词逻辑两部分， 它们是数理逻辑中的两个最基本的部分。
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数理逻辑
前言
数理逻辑是用数学的方法研究形式逻辑中推理 规律的一种理论。着重于推理过程以及推理是否 正确的研究。
逻辑学是一门研究思维规律的科学，它分为辩 证逻辑与形式逻辑两种。
数理逻辑是用数学方法研究逻辑。所谓数学方 法指的是引进了一套符号体系以及构造形式化的 系统作为其研究的手段，因此数理逻辑又称为符 号逻辑。
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例1
设 P：2是素数
Q：2是偶数 则P ∧Q：2是素数和偶数。
由于P，Q的真值均为1，所以P∧Q的真值为1。
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Discrete Mathematics 例2 如果用P表示“李平聪明”，Q表示“李平 用功”。将下列命题符号化:
Discrete Mathematics 总 结
命题是命题逻辑最基本的构成单位，判断一
个句子是否为命题，首先要看它是否为陈述句，
然后再看它所表达的判断结果是否惟一确定。
（即真值是否唯一）
注意：真值是否唯一确定与我们是否知道它
的真值是两回事。
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Discrete Mathematics 2. 命题的分类与表示
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Discrete Mathematics 课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
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Discrete Mathematics 4）. 蕴涵词→ 定义：如果P和Q是命题, 那么“如果P， 则Q”也
复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。通常由简单命 题之间通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果...则...”、 “当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而构成的。 例如：下列命题： 1. “明天不下雪”； “非P” “P并且Q” “P或Q”
2. “明天下雪并且明天下雨”；
3. “明天下雪或者明天下雨”等。 就是由 P： 明天下雪 Q：明天下雨 两个简单命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或”等可分
别构成的复合命题。
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例 找出下面复合命题中的简单命题并符号化，然后再写出 各复合命题： (1) 多伦多不是加拿大的首都。 (2) 华盛顿是美国的首都并且渥太华是加拿大的首都。 (3)华盛顿是美国的首都或渥太华是加拿大的首都。 (4) 如果2是素数，则3也是素数。 (5) 2是素数当且仅当3也是素数。
R→S： 如果G是正方形，则G的四边相等。
(c) W： 桔子是紫色的。 V：大地是不平的。 W→V： 如果桔子是紫色的， 则大地是不平的。
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例2：将下列命题符号化，并判断其真值
1）.若2+2＝4，则太阳从东方升起。 2）.若2+2≠4 ，则太阳从东方升起。 3）.若2+2＝4 ，则太阳从西方升起。 4）.若2+2≠4 ，则太阳从西方升起。 解 设 ：P: 2+2＝4 ，则其真值为1；q:太阳从东方升起，则 其真值为1；r:太阳从西方升起，则其真值为0； 则(1)符号化为p→q，该蕴涵式的真值为1。
而只有P与Q同时为真， P∧Q才为真，其他情况P∧Q
都为假。
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Discrete Mathematics ∧代表的运算是二元运算(即有两个运算对象)，常称 为“与”运算，所有可能的运算结果的真值表可表示 为： P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∧Q 0 0 0 1
在数学中，“如果P，则Q”往往表示前件P为 真，后件Q为真的推理关系，但在数理逻辑中， 当前件P为假时，P→Q为真。
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Discrete Mathematics 例1：(a) P： 天不下雨。 Q： 草木枯黄。 P→Q： 如果天不下雨， 则草木枯黄。 (b) R： G是正方形。 S： G的四边相等。
0 1 0 1
1 1 0 1
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Discrete Mathematics 在使用蕴涵联结词时，除了注意其表示的基本逻 辑关系外，还应注意两点：
在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q往往 有某种内在的联系，这样的蕴含式叫形式蕴含。 但在数理逻辑中“P→Q”中的P与Q不一定有什么 内在联系，这样的蕴含式叫实质蕴含。
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Discrete Mathematics 3.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的否 定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒为 否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系表示P不成立，因而P
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例 2 判断下列句子是否是命题： (a) 请听讲！ (b) 你会开车吗？
(c) x=3
(d) x+y＞4
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例 3 一个人说：“我正在说谎”。 通过分析可知，该陈述句没有惟一确定的真值，所 以它不是命题。
(1)李平既聪明又用功。
P∧ Q
(2)李平虽然聪明，但不用功。 ∧┒Q P (3)李平不但聪明，而且用功。 P ∧ Q (4)李平不是不聪明，而是不用功。 ┒ ( ┒ P) ∧┒Q
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Discrete Mathematics 课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 8能被2整除，但不能被6整除。 (2) 5是奇数，6是偶数。 (3) 2与3的最小公倍数是6。 (4) 王丽和王鹃是亲姐妹。
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨且下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者不下雪。
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Discrete Mathematics 2). 合取词∧ 定义：设P和Q是两个命题。复合命题“P并且Q”(或 “和”)称作P与Q的合取式，记作P∧Q ，读作“P合 取Q” 。 ∧为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P和Q 同时为真。 由定义可知， P∧Q的逻辑关系为P与Q同时成立，因
为真时， ┑P 为假，反之当P为假时， Baidu NhomakorabeaP 为真。
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Discrete Mathematics “┑ ”代表的运算是一元运算(即只有一个运算对象)，
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
0 1
1 0
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因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
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例 1 判断下列句子是否是命题： (a) 2是偶数。
(b) 3+3=6。
(c) 火星上有生命。
(d) 2050年的元旦绵阳是晴天。
(e) 陈涉起义那天, 杭州下雨。
(f) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运算符， x+3 表示运算结果。
在命题演算中，也用同样术语。命题是命题演算中的
运算对象，联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运 算符或叫命题联结词。常用的命题联结主要有 5 个。
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总 结
使用联结词∧应注意： 其一是∧的灵活性。日常语言中的“既…， 又…”、“不但…，而且…”、“虽然…，但
是…”、“一面…，一面….”等都应符号化为∧。
其二，∧连接的是两个句子，不是词，不要见到
“与”或“和”就使用联结词∧。
Discrete Mathematics 例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q 。 因为这里的“或”表示的是排斥或。它表示非 此即彼，不可兼得。 运算符∨表示可兼或，排斥 或以后用另一符号表达。 也可以借助于联结词 ┒、∧ 、∨共同来表达这 种排斥或。
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Discrete Mathematics 3）. 析取词∨ 定义：设P和Q为两命题。复合命题“P或Q”称作P
与Q的析取式，记作P∨Q ， , 读做“P或者Q”。
∨为析取联结词。 P∨Q为真当且仅当P和Q中至少
一个为真。
P∨Q的逻辑关系是P与Q中至少有一个成立，因而， 只有P与Q同时为假时， P∨Q 才为假，其他情况 下， P∨Q 均为真。
把这种由真推出假、由假推出真的陈述句称为悖论。
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趣味题
理发师的头由谁来理?
在一个小镇上有一名理发师，一天，他贴出 一张告示：“我专门为不为自己理发的人理 发”。 请问: 这位理发师的头由谁来理?
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第一章 命题逻辑
1.1 命题
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Discrete Mathematics 1.命题的概念 在数理逻辑中，称凡能分辨真、假的陈述句为 命题。命题可以取一个“值”，称为真值。 一个命题所表达的判断结果只能有两种情况， 一种是正确的，一种是错误的。称判断结果正确 的命题为真命题（真值为真），一般用1(或T)表 示；称判断结果错误的命题是假命题（真值为 假），用0(或F)表示。