沪科版九年级数学第22章 相似形【整合提升密码】

解码专训一：证比例式或等积式的技巧
名师点金：证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布到两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若不在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．
构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.
(第1题)
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.
(第2题)
构造相似三角形法
3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
(第3题)
三点定型法
4．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.
求证：AD·AB＝AE·AC.
(第4题)
等比过渡法
5．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.
(第5题)
解码专训二：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系
名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．
证明两线段的数量关系
1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.
求证：BM＝MC.
(第1题)
证明两线段的位置关系
类型1证明两线段平行
2．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.
(第2题)
类型2证明两线段垂直
3．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.
(第3题)
4．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝1
3AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.
(第4题)
解码专训三：巧作平行线构造相似三角形的技巧
名师点金：解有关相似三角形题目时，常常遇到要证(或求)的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形时，我们通常可以作平行线构造出相似三角形，从而使问题得以解决．
巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ∶PQ ∶QD.
(第1题)
过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，
取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE
EC的值．
(第2题)
3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.
求证：AE∶ED＝2AF∶FB.
(第3题)
过一边上的点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，
使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BP
CP＝
BD
EC.
(第4题)
解码专训四：相似与函数综合的常见类型
名师点金：图形的相似是初中几何的重要内容，中考中常与其他内容综合考查，例如与一次函数、反比例函数、二次函数等结合，作为动态性问题或存在性问题出现．
相似与一次函数的综合
1．如图，已知直线AB的表达式为y＝－3
4x＋30，直线AB与x轴，y轴分
别交于A，B.动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原
点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP.设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
(第1题)
(1)求t＝15时，△PEF的面积；
(2)直线EF和点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160？若存在．请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
相似与反比例函数的综合
2．已知点A、B分别在反比例函数y＝2
x(x＞0)，y＝
－8
x(x＞0)的图象上，且
OA⊥OB，则OB
OA的值为()
(第2题)
A. 2 B．2 C. 3 D．3
3．(2015·赤峰)如图，直线y＝－2x＋4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线表达式．
(第3题)
相似与二次函数的综合
4．(2015·黔南州)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－1
6x
2＋bx
＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t, 0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP 的中点，将线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.
(1)求b、c的值；
(第4题)
(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；
(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
5．(2015·甘孜州)如图，已知抛物线y＝ax2－5ax＋2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)和点B.
(1)求抛物线的表达式；
(第5题)
(2)求直线BC的表达式；
(3)若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．
解码专训五：图形的相似中五种热门考点
名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．比例线段及性质
1．下列各组长度的线段，成比例线段的是()
A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cm
B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
D．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm
2．若a
2＝
b
3＝
c
4＝
d
7≠0，则
a＋b＋c＋d
c＝________.
3．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为
________(5≈2.236，结果精确到0.01 cm)．
(第3题)
平行线分线段成比例
4．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与AD
AF相等的是()
A.AB
EF B.
CD
EF C.
BO
OE D.
BC
BE
(第4题)
(第5题)
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF＝ 3 cm，则EF＝________.
6．如图，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．
(第6题)
相似三角形的性质与判定
7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF的面积之比为()
A．4∶3 B．3∶4
C．16∶9 D．9∶16
(第8题)
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE
的延长线与BA的延长线交于点F，则S
△AEF ∶S
四边形ABCE
为()
A．3∶4 B．4∶3
C．7∶9 D．9∶7
9．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．
10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)求证：FD2＝FB·FC；
(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．
(第10题)
11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC 于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.
(1)求证：BM⊥DF；
(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.
(第11题)
相似三角形的应用
12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．
(第12题)
13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)
(第13题)
图形的位似
(第14题)
14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．
(第15题)
答案
解码专训一
1．证明：过点C作CM∥AB交DF于点M，
∴△CMF∽△BDF.∴BF
CF＝
BD
CM.
又∵CM∥AD，∴AE
EC＝
AD
CM.∵D为AB的中点，
∴BD
CM＝
AD
CM.∴
BF
CF＝
AE
EC，即AE·CF＝BF·EC.
2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG
∽△ABC.
∴EF
DF＝
CE
DG，
AB
BC＝
AD
DG.
∵AD＝CE，∴CE
DG＝
AD
DG.∴
AB
BC＝
EF
DF.
即AB·DF＝BC·EF.
点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
(第3题)
3．证明：如图，连接PM，PN.
∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA＝MP，NA＝NP.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.
∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.
∴BP
CN＝
BM
CP，即BP·CP＝BM·CN.
4．证明：∵∠A＝35°，∠C＝85°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－35°－85°＝60°. ∵∠AED＝60°，∴∠AED＝∠B.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
∴AD
AC＝
AE
AB，即AD·AB＝AE·AC.
5．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°. ∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.
∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.
∴AE
DE＝
PE
BE，即
AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°且∠CAB＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.
∴AE
CE＝
CE
BE，即CE
2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.
解码专训二
1．证明：∵DE∥BC，∴△NEO∽△MBO.∴NE
MB＝
ON
OM.
同理可得DN
MC＝
ON
OM.∴
DN
MC＝
NE
BM.∴
DN
NE＝
MC
BM.
∵DE∥BC，∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM.
∴△ANE∽△AMC.∴AN
AM＝NE
MC.
同理可得AN
AM＝
DN
BM，∴
DN
BM＝
NE
MC.∴
DN
NE＝
BM
MC.
∴MC
BM＝
BM
MC.∴MC
2＝BM2.∴BM＝MC.
2．证明：过点C作CO⊥AB于点O，∵DE＝CD，DE⊥CD，
∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，
∴△ACO∽△ECD.∴AC
CO＝
EC
CD.
又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.
∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.
3．证明：∵AC2＝AB·AD，∴AC
AD＝
AB
AC.又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.
又∵BC2＝BA·BD，∴BC
BD＝
BA
BC.又∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA. ∴∠ADC＝∠BDC.
∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∴CD⊥AB.
4．证明：设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.
∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，又∵∠CGD＝∠AGF.∴△AFG∽△CDG，
∴FG
DG＝AF
CD＝
2
3.设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt
△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝5k.
∴5m＝5k.∴m＝
5
5k.∴FG＝
2
55k.
∴AF
FG＝
2k
2
55k
＝5，
DF
EF＝
5k
k＝ 5.∴
AF
FG＝
DF
EF.
又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.
解码专训三
1．解：连接DF.∵E，F是边BC上的两个三等分点，
∴BE＝EF＝FC.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．
∴DF∥AE，且DF＝1
2AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD，∠BPE＝∠BDF.
∴△BEP∽△BFD.∴BE
BF＝
BP
BD＝
PE
DF.∵BE＝EF，∴BF＝2BE，∴BD＝2BP，
DF＝2PE.
∴BP＝PD.
∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.
∴△APQ∽△FDQ.∴PQ
QD＝
AP
DF.
设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.
∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.
∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.
2．解：过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G. ∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.
又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.
在△ADF 和△GDC 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠G ，
∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，
∴△ADF ≌△GDC(AAS)．∴AF ＝CG . ∵BF ∶AF ＝3∶2，∴AB ∶AF ＝5∶2. ∵AB ∥CG .∴∠B ＝∠ECG ，∠BAG ＝∠G . ∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝5
2.
3．证明：过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N. ∴
AF FB ＝AE
EN
，∠FCD ＝∠NBD.又∵∠CDE ＝∠BDN ， ∴△EDC ∽△NDB.∴ED DN ＝CD
BD . ∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝1
2EN.
∴AF FB ＝AE
2ED .∴AE ∶ED ＝2AF ∶FB.
4．证明：过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF ∽△PBD. ∴BP CP ＝BD
CF .∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.
∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC .
解码专训四
1．解：由题可得，A(40，0)，B(0，30)，∴OA ＝40，OB ＝30. (1)∵EF ∥OA.∴△BEF ∽△BOA. ∴EF OA ＝BE
BO .当t ＝15时，OE ＝BE ＝15. ∴EF ＝
BE ×OA BO ＝15×40
30＝20.
∴S △PEF ＝12EF·OE ＝1
2×20×15＝150.
(2)∵△BEF∽△BOA.∴EF＝BE×OA
BO＝
（30－t）×40
30.
∴1
2×
（30－t）×40
30×t＝160.
整理，得t2－30t＋240＝0∵(－30)2－4×240＝－60＜0.
∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于160的t值，
(3)当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA.∴OP
OA＝
OE
OB，即
40－2t
40＝
t
30.解得t
＝12.
当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB.∴OP
OB＝
OE
OA，即
40－2t
30＝
t
40.解得t＝
160
11.∴当t＝12或t＝160
11时，△EOP与△BOA相似．
(第2题)
2．B点拨：如图，过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，∵OA ⊥OB，∴∠ANO＝∠BMO＝∠AOB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝
90°，∴∠1＝∠3，∴△OAN∽△BOM，∵点A、B分别在反比例函数y＝2 x(x
＞0)，y＝－8
x(x＞0)的图象上，∴S△AON＝1，S△BOM＝4，∴
OB
OA＝
2
1＝2(相似三角
形的面积比等于相似比的平方)．
3．解：∵直线y＝－2x＋4与坐标轴分别交于C、B两点，
∴令y＝0，可得－2x＋4＝0，解得x＝2，即C(2，0)，OC＝2.
令x＝0，可得y＝4，即B(0，4)，OB＝4，
①如图①，当∠OBC＝∠COP时，△OCP∽△BOC，
(第3题)
∴OB OC ＝OC CP ，即42＝2
CP ，解得CP ＝1，∴P(2，－1)，设过点P 的双曲线表达式为y ＝k x ， 把P 点坐标代入解得k ＝－2，∴过点P 的双曲线表达式为y ＝－2
x ，
②如图②，当∠OBC ＝∠CPO 时，△OCP ∽△COB ，
在△OCP 和△COB 中，⎩⎨⎧∠OBC ＝∠CPO
∠COB ＝∠OCP OC ＝CO
，∴△OCP ≌△COB(AAS)∴CP ＝
BO ＝4，∴P(2，－4)．设过点P 的双曲线表达式为y ＝k
x ，把P 点坐标代入得－4＝k
2，解得k ＝－8，∴过点P 的双曲线表达式为y ＝－8x .综上可得，过点P 的双曲线的表达式为y ＝－2
x 或y ＝－8x .
4．解：(1)∵抛物线y ＝－16x 2
＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4－16
×64＋8b ＋c ＝0，故b 的值为56，c 的值为4； (2)∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO ＝∠EPB ，∴△AOP ∽△PEB 且相似比为
AO PE ＝AP
PB
＝2，∵AO ＝4，∴PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2，又∵DE ＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)，∴点D 落在抛物线上时，有－1
6 (t ＋2)2＋5
6(t ＋2)＋4＝4，解得t ＝3或t ＝－2，∵t ＞0，∴t ＝3.故当t 为3时，点D 落在抛物线上；
(3)存在t ，能够使得以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似．理由如下：由(2)得OP BE ＝2，则BE ＝1
2t.①当0＜t ＜8时，如图①.
(第4题)
若△POA ∽△ADB ，则PO ∶AD ＝AO ∶BD ，即t ∶(t ＋2)＝4∶⎝ ⎛
⎭⎪⎫4－12t ，整
理，得t 2＋16＝0，∴t 无解；
若△POA ∽△BDA ，同理，解得t ＝－2±25(负值舍去)； ②当t ＞8时，如图②.
若△POA ∽△ADB ，则PO ∶AD ＝AO ∶BD ，即t ∶(t ＋2)＝4∶⎝ ⎛⎭⎪⎫
12t －4，解
得t ＝8±45(负值舍去)；若△POA ∽△BDA ，同理，解得t 无解．
综上可知，当t ＝－2＋25或8＋45时，以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似．
5．解：(1)∵点A(1，0)在抛物线y ＝ax 2－5ax ＋2(a ≠0)上，∴a －5a ＋2＝0，∴a ＝12，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－5
2x ＋2；
(2)由(1)易得抛物线的对称轴为直线x ＝5
2，∴点B 的坐标为(4，0)，易得C 的坐标为(0，2)，设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，把B 、C 两点坐标代入可得⎩⎨⎧4k ＋b ＝0b ＝2
，解得k ＝－12，b ＝2，∴直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋2； (3)设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ，12x 2－52x ＋2，分两种情况讨论：
(ⅰ)当△OBC ∽△HNB 时，
OB HN ＝OC BH ，①当x ＞4时，有412x 2－52x ＋2
＝2x －4
解得x 1＝5，x 2＝4(不合题意，舍去)，∴点N 的坐标为(5，2)；②当1＜x ＜4时，有
4
－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－52x ＋2＝
2
4－x
，解得x 1＝5(舍去)，x 2＝4(舍去)；③当x ＜1时，有412x
2－52x ＋2
＝2
4－x ，
得到x 2－x －12＝0.
解得x 1＝4(舍去)；x 2＝－3，∴N 点的坐标为(－3，14)； (ⅱ)当△OBC ∽△HBN 时， OB BH ＝OC HN ，
①当x ＞4时，有4x －4＝2
12x
2－52x ＋2.解得x 1＝2(舍去)，x 2＝4(舍去)；
②当1＜x ＜4时，有4
4－x
＝
2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－52x ＋2，解得x 1＝2，x 2＝4(舍去)，∴点
N的坐标为(2，－1)；
③当x＜1时，有4
4－x ＝
2
1
2x
2－
5
2x＋2
，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝4(舍
去)．
综上所述，N点的坐标为(5，2)、(－3，14)或(2，－1)．
解码专训五
1．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm
(第6题)
6．解：过D点作DN∥AC，交BE于N，如图．
易知△DMN∽△AME，△BDN∽△BCE.
∵BD
DC＝
2
3，∴
BD
BC＝
2
5.
∴DN
CE＝
BD
BC＝
2
5.
∵AM
MD＝
4
1，∴
AE
DN＝
AM
MD＝
4
1.
∴AE
EC＝
DN
EC·
AE
DN＝
2
5×
4
1＝
8
5.
7．D8.D9.6，12
10．(1)证明：∵E是Rt△ACD的斜边的中点，∴DE＝EA.∴∠A＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC.∴
FB FD＝FD
FC.∴FD
2＝FB·FC；
(2)解：∵FB＝5，BC＝4，∴FC＝9.∵FD2＝FB·FC，∴FD2＝45.∴FD＝3 5. 11．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.
又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.
∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF. (2)解：易知∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.
∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝1
2DF.
∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，CF ＝22－2. 在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2. ∴DM 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫DF 22
＝4－2 2.
∵∠CDF ＝∠CBE ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DM
MB ＝ME
DM ，即DM 2＝ME·MB.∴ME·MB ＝4－2 2.
12．解：设CD ＝x m ，∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝1.25
x －1.75
，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .
13．解：过点C 作CM ∥AB ，分别交EF 、AD 于点N 、M ，作CP ⊥AD ，分别交EF 、AD 于点Q 、P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝32
40，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应为44 cm .
14．(2，1)或(0，－1)
15．解：(1)△A′B′C′如图所示：
(第15题)
(2)如图所示，四边形AA′C′C 的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC ＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。