第三章 第3节 平抛运动

第3节平抛运动一、平抛运动的认识 1．定义把物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。

2．特点(1)受力特点：只受重力。

(2)运动特点：初速度水平，加速度为g ，方向竖直向下。

3．性质为匀变速曲线运动。

4．实验探究⎩⎪⎨⎪⎧水平方向：不受力，做匀速直线运动竖直方向：只受重力，做自由落体运动 二、平抛运动的规律 1．水平方向以初速度v 0做匀速直线运动，v x ＝v 0，x ＝v 0t 。

2．竖直方向做自由落体运动，v y ＝gt ，y ＝12gt 2。

下落时间：t ＝2yg ，t 只与下落高度y 有关，与其他因素无关。

1．物体以某一初速度水平抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动叫平抛运动。

2．平抛运动是匀变速曲线运动，水平方向做匀速直线运动，x ＝v 0t ，竖直方向做自由落体运动，y ＝12gt 2。

3．平抛运动在空中运动时间由竖直高度决定，水平位移由竖直高度和水平初速度共同决定。

1．自主思考——判一判(1)平抛运动的速度、加速度都随时间增大。

(×)(2)平抛运动物体的速度均匀变化。

(√)(3)平抛运动不是匀变速曲线运动。

(×)(4)平抛物体的初速度越大，下落得越快。

(×)(5)平抛运动的初速度可以不沿水平方向。

(×)2．合作探究——议一议(1)体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等，都可以看成是抛体运动吗？都可以看成是平抛运动吗？图3-3-1提示：链球、铅球、铁饼、标枪等，若被抛出后所受空气阻力可忽略不计，可以看成是抛体运动。

它们的初速度不一定沿水平方向，所以它们不一定是平抛运动。

(2)两个小金属球同时从同一高度开始运动，不计空气阻力，A球自由落体，B球平抛运动，两球下落过程中的高度位置相同吗？为什么？提示：相同；A、B两球在竖直方向上的运动情况完全相同，从同一高度同时进行自由落体运动，因此，在下落过程中的高度位置始终相同。

1．物体做平抛运动的条件物体的初速度v0方向水平且不等于零，只受重力作用，两个条件缺一不可。

2．平抛运动的性质加速度为g的匀变速曲线运动。

3．平抛运动的三个特点(1)理想化特点：物理上提出的平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。

(2)匀变速特点：平抛运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，且重力与速度不共线。

(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv ＝g Δt ，方向竖直向下，如图3-3-2所示。

图3-3-24．平抛运动的轨迹由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2得y ＝g 2v 02x 2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线。

1．关于平抛物体的运动，下列说法正确的是( ) A ．平抛物体运动的速度和加速度都随时间的增大而增大 B ．平抛物体的运动是变加速运动C ．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变D ．做平抛运动的物体水平方向的速度逐渐增大解析：选C 做平抛运动的物体只受重力作用，加速度恒定不变，速度均匀增加，选项A 、B 错误，选项C 正确；做平抛运动的物体在水平方向上不受力的作用，由于惯性，水平方向的运动状态不变，则水平方向的速度不变，选项D 错误。

2．(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( ) A ．是变加速曲线运动 B ．是匀变速曲线运动 C ．速度变化仅在竖直方向上 D ．任意相等时间内速度的变化量相等解析：选BCD 平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度， 初速度方向与重力方向成90°角，所以平抛运动是匀变速曲线运动，A 错误，B 正确；水平方向Δv x ＝0，竖直方向Δv y ＝g Δt ，速度变化仅在竖直方向上，C 正确；由速度的变化量Δv ＝Δv y ＝g Δt ，知任意相等时间内速度的变化量相等，D 正确。

平抛运动的重要推论 (1)运动时间t ＝2hg，即平抛物体在空中的运动时间仅取决于下落的高度h ，与初速度v 0无关。

(2)落地的水平距离s x ＝v 02hg ，即水平距离与初速度v 0和下落高度h 有关，与其他因素无关。

(3)落地速度v t ＝v 02＋2gh ，即落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关。

(4)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻、任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α。

证明：如图3-3-3所示，由平抛运动规律得tan θ＝v y v x ＝gt v 0，tan α＝y 0x 0＝12gt2v 0t ＝gt2v 0，所以tan θ＝2tan α。

图3-3-3(5)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图3-3-4所示。

图3-3-4证明：设平抛运动的初速度为v 0，从抛出点(原点O )到A 点的时间为t ，A 点的坐标为(x 0，y 0)，B 点的坐标为(x 0′，0)，则x 0＝v 0t ，y 0＝12gt 2，v y ＝gt 。

又tan θ＝v y v 0＝y 0x 0－x 0′，解得x 0′＝x2。

[典例] 平抛一物体，当抛出1 s 后它的速度方向与水平方向成45°，落地时速度方向与水平方向成60°，求：(g 取10 m/s 2)(1)初速度大小； (2)落地速度大小；(3)开始抛出时距地面的高度； (4)水平方向运动的距离。

[思路点拨][解析] (1)1 s 时，速度与水平方向成45°，则v0＝v 1(如图所示)，而v 1＝gt ，解得v 0＝10 m/s 。

(2)落地时的速度大小， v ′＝v 0cos 60°＝2v 0＝20 m/s 。

(3)落地时速度的竖直分量v 1′＝v 0tan 60°＝ 3 v 0＝10 3 m/s 由v y 2＝2gh 得h ＝v 1′22g＝322×10m ＝15 m 。

(4)由h ＝12gt 2得t ＝2h g ＝ 2×1510s ＝ 3 s 水平方向运动距离s ＝v 0t ＝10×3 m ＝10 3 m ＝17.32 m 。

[答案] (1)10 m/s (2)20 m/s (3)15 m (4)17.32 m平抛运动的分析方法用运动的合成与分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

分析方法通常有两种：若已知位移的大小或方向就分解位移；若已知速度的大小和方向就分解速度。

1.如图3-3-5所示为足球球门，球门宽为L 。

一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)。

球员顶球点的高度为h 。

足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )图3-3-5A ．足球位移的大小x ＝L 24＋s 2 B ．足球初速度的大小v 0＝g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2C ．足球末速度的大小v ＝g 2h⎝⎛⎭⎫L24＋s 2＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s解析：选B 根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h ，水平位移为x 水平＝s 2＋L 24，则足球位移的大小为：x ＝x 水平2＋h 2＝s 2＋L 24＋h 2，选项A 错误；由h ＝12gt 2，x 水平＝v 0t ，可得足球的初速度为v 0＝g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2，选项B 正确；对足球应用动能定理：mgh ＝m v 22－m v 022，可得足球末速度v ＝v 02＋2gh ＝g 2h ⎝⎛⎭⎫L24＋s 2＋2gh ，选项C 错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝2sL ，选项D 错误。

2．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图3-3-6所示。

水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h 。

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h 。

不计空气的作用，重力加速度大小为g 。

若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )图3-3-6A.L 12g6h<v <L 1g 6hB.L 14g h <v < (4L 12＋L 22)g6hC.L 12g 6h <v <12 (4L 12＋L 22)g6hD.L 14g h <v <12(4L 12＋L 22)g6h解析：选D 设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间。

则竖直方向上有3h －h ＝12gt 12 ①，水平方向上有L 12＝v 1t 1 ②。

由①②两式可得v 1＝L 14gh 。

设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22 ③，在水平方向有⎝⎛⎭⎫L 222＋L 12＝v 2t 2 ④。

由③④两式可得v 2＝12(4L 12＋L 22)g6h。

则v 的最大取值范围为v 1<v <v 2。

故选项D 正确。

3.如图3-3-7所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径。

若在a 点以初速度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c 点。

已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。

图3-3-7解析：小球做平抛运动，如图所示，O 为半圆的圆心。

由题意知bc ＝12Oc ，由几何知识知θ＝30°，而y ＝12gt 2，即R 2＝12gt 2。

水平位移x ＝R ＋R cos 30°，而x ＝v 0t ， 联立得R ＝4v 02(7＋43)g ＝(28－163)v 02g 。

答案：(28－163)v 02g1.平抛物体的运动规律可概括为两条：第一条，水平方向做匀速直线运动；第二条，竖直方向做自由落体运动。

为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验，如图1所示，用小锤击打弹性金属片，A 球水平飞出，同时B 球被松开，两球同时落到地面，则这个实验( )图1A ．只能说明上述规律中的第一条B ．只能说明上述规律中的第二条C ．不能说明上述规律中的任何一条D ．能同时说明上述两条规律解析：选B 实验中A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动，两球同时落地说明A 球平抛运动的竖直分运动和B 球相同，而不能说明A 球的水平分运动是匀速直线运动，所以B 项正确，A 、C 、D 三项都不对。

2．(多选)物体在做平抛运动时，在相等时间内，下列哪些量相等( ) A ．速度的增量 B ．加速度 C ．位移的增量D.位移解析：选AB 平抛运动是匀变速曲线运动，加速度是恒定的，B 正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量均竖直向下，且Δv ＝Δv y ＝g Δt ，A 正确；在相等时间间隔Δt 内，水平方向上的位移相等，竖直方向上的位移不等，根据运动的合成知，位移不是均匀变化的，C 、D 错误。