第十一章 三角形 教案

第十一章三角形
§11.1.1三角形的边
教学目标:
1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.
4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.
重点、难点
重点:
1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.
2.能从图中识别三角形.
3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.
难点:
1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.
2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
教学过程
一、看一看
1.投影:图形见章前P1图.
教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.
学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.
(2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.
2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.
(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)
(2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?
(3)描述三角形的特点:
板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.
教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.
学生回答:
a.不在一直线上的三条线段.
b.首尾顺次相接.
二、读一读
指导学生阅读课本P2,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:
(1)什么叫三角形?
(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?
(3)三角形ABC用符号表示________.
(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.
三、做一做
画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?
同学们在画图计算的过程中,展开议论,并指定回答以上问题:
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.
a.从B→C
b.从B→A→C
(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.
从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.
经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的.
四、议一议
1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
五、想一想
三角形按边分可以,分成几类?
六、练一练
有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这些木棒能否围成一个三角形?
分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合
三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构
成一个三角形.
(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和9cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.
错导:∵3cm+6cm>2cm
∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.
错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.
七、忆一忆
今天我们学了哪些内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点)
2.会用符号表示一个三角形.
3.通过实践了解三角形的三边不等关系.
八、作业
课本P8习题11.2第1、2、6、7题.
§11.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学目标
1.经历析纸,画图等实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线.
2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
重点、难点
重点:
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
难点:
1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
2.钝角三角形高的画法.
3.不同的三角形三条高的位置关系.
教学过程
一、看一看
把下面图表投影出来:
1.AD是△ABC的BC
上的中线.
2.BD=DC=BC.
1.AD是△ABC的∠
BAC的平分线.
2.∠1=∠2=∠
BAC.
1.指导学生阅读课本P71-72的课文.
2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.
(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.
(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.
3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?
三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.
二、做一做
1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?
三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系?
三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.
3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.
三、议一议
通过以上观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流.
四、练习
1.课本P5,练习1.
2.
2.画钝角三角形的三条高.
五、作业
1.P8-P9 习题11.1第 3.4.8
§11.1.3三角形的稳定性
教学目标：
通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
重点：了解三角形稳定性在生产、生活的实际应用
难点：准确使用三角形稳定性于生产生活之中
课前准备：小木条8个，小钉若干
教学过程：
一、看一看，想一想
课本P6投影出来
二、做一做
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。

三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
五、练一练
课本P7练习
六、布置作业：
课本P8-9习题11.1第5,10.
§11.2.1三角形的内角
教学目标
1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理
2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
重点：三角形内角和定理
难点：三角形内角和定理的推理的过程
课前准备
每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形
教学过程
一、做一做
1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
的度数，可得到
3 剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到
图2
4 把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。

二、想一想
如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
已知，说明，你有几种方法？结合图（1）、图（2）、图（3）能不能用图（4）也可以说明这个结论成立
三、例题如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛
在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
四、练习：课本P13，练习1，2
五、布置作业：
课本P16习题11.2.1第1，3，4，5题
补充练习
1 三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（）
2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）
3 一个等腰三角形一定是锐角三角形（）
4 一个三角形最少有一个角不大于（）
§11.2.2三角形的外角
教学目标
1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质
2利用学过的定理论证这些性质
3能利用三角形的外角性质解决实际问题
重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理
难点：三角形外角的定义及定理的论证过程
教学过程
一、想一想
1三角形的内角和定理是什么？
二、做一做
把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？
它是三角形的外角。

定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
想一想：三角形的外角有几个？
每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角
三、议一议
与的内角有什么关系？
（1）
（2），
再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？
同学用几何语言叙述这个性质：
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？
已知：是的外角
说明：
（1）
（2），
结合下面图形给予说明
四、练一练：
课本P15，练习
五、作业：
课本P16-17，2，6，7，8，9
备选题
1 如图，是三角形ABC的不同三个外角，则
2三角形的三个外角中最多有锐角，最多有个钝角，最多有个直角
3的两个内角的一平分线交于点E，，则
4已知的的外角平分线交于点D，，那么=
5如图，是外角， + ，是外角，= + ，是外角，= + ，> , >
6在中等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于的两倍，那么，，
§11.3.1多边形
教学目标
1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．
2．区别凸多边形与凹多边形．
重点难点
1．重点：
（1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念．
（2）区别凸多边形和凹多边形．
2．难点：
多边形定义的准确理解．
教学过程
一、新课讲授
投影：图形见课本P19图11.3一l．
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？
上面三图中让同学边看、边议．
在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？
（1）它们在同一平面内．
（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？
提问：三角形的定义．
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？
1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）
2．多边形的边、顶点、内角和外角．
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
3．多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
让学生画出五边形的所有对角线．
4．凸多边形与凹多边形
看投影：图形见课本P19．11．3—6．
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．5．正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
二、课堂练习
课本P21练习1．2．
三、课堂小结
引导学生总结本节课的相关概念．
四、课后作业
课本P24第1题．
备用题：
一、判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（）
2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（）
3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（）
4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（）
二、填空题．
1．连接多边形的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的任何所在的直线，整个多边形都在这条直线的，这样的多边形叫凸多边形．
3．各个角，各条边的多边形，叫正多边形．
三、解答题．
1．画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．
2．如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
3．如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
4．如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
§11.3.2多边形的内角和
教学目标
1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点
1．重点：
（1）多边形的内角和公式．
（2）多边形的外角和公式．
2．难点：多边形的内角和定理的推导．
教学过程
一、探究
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？
画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．
二、思考几个问题
1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n 边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n，则
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．
分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB 舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．
三、例题
例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．
分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的
内角和入手，就可得到完满的答案．
解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，
∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．
由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°
∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）
同样也可以得到其外角和等于360°．即
多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
四、课堂练习
课本P24练习1、2、3题．
P24习题11.3第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容．
六、课后作业
课本P24习题11.3第4、5、6题．
备选题：
一、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（）
3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（）5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（）
二、填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为边形．
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为边形．
3．内角和等于外角和的多边形是边形．
4．内角和为1440°的多边形是．
5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是边形．
6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是边形．
7．五边形的对角线有条，它们内角和为．
8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为．
9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为．
10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=．
11．四边形的四个内角中，直角最多有个，钝角最多有个，锐角最多有个．
12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．
三、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）
A．互为余角B．互为邻补角C．两个角相等D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）
A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）
A．6条B．7条C．8条D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）
A．增加B．减小C．不变D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（）
A．五边形B．八边形C．十边形D．十二边形
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（）
A．四边形B，五边形C．六边形D．七边形
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（）
A．180°B．360°C．720°D．1080°
9．n边形的n个内角中锐角最多有（）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）
A．八边形B．九边形C．十边形D，十一边形
四、解答题．
1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．
2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？
3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．
6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．
7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？
8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？
9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．
10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．求证：∠DBC＝2∠BDC．
§数学活动 --镶嵌
一、教学目标
1．会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。

2．让学生在应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验。

二、教学活动的建议
探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式，而是学生自己应用已有的数学知识和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。

建议本节教学活动采用以下形式：
（1）（1）学生自己提出研究课题；
（2）（2）学生自己设计制订活动方案；
（3）（3）操作实践；
（4）（4）回顾和总结。

教学活动中，教师提供必要的指点和帮助。

引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。

三、关于镶嵌。