用模糊数学对学生成绩进行评估
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0.00 0.03 0.00 0.03 0.01 0.07 0.07 0.20 0.20 0.30 0.17 0.07 R3 0.23 0.17 0.63 0.27 0.67 0.20 0.17 0.57 0.13 0.07 0.03 0.57 0.53 0.03 0.03 0.07 0.03 0.01 将评价集中的优秀、良好、中等、合格和较差分别赋予数值5、4、3、2、 和l，则评价集中各等级的权重分别是： （l+2+3+4+5)=0.03、0.27，0．20、0．13、0．07，得到权重向量为A2(al， a2·⋯，％)=(0．33，0．27，0．20,0．13t0．07)。由模糊评价矩阵得到模糊线 性变换TR，对S学生来说，则有： Wij(．，=1,2，⋯，50)=(O．33，0．27，0．20，0．13，0．07)
1 2 5 3 1 3 3 2 4 3 5 2 aj 4 5 2 9 0 6 1 4 5 5 2 1 3 4 5 6 2 0 采用同样的数据处理方法得到对s2学生和s3，学生的大学生综合素质的评价矩 阵分别为：
0.03 0.05 0.67 0.03 0.40 0.07 0.10 0.27 0.20 0.40 0.37 0.37 R2 0.47 0.13 0.03 0.17 0.00 0.04 0.02 0.01 0.07 0.07 0.17 0.07 0.20 0.00 0.03 0.07 0.07 0.10
出全面评价的一种十分效的多因素决策方法。所以，模糊综合评判决策又称模糊 综合决策或模糊多元决策。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型，本文用到的是一级模 型，现将该模型介绍如下：
设 L=<＼，，x。，⋯，x。)为 n 种因素，v={v1，v2，v3......}为 m 种评判，它 们的元素个数和名称均根据实际问题需要由人们主观规定。由于各种因素所处的 地位不同，作用也不一样，当然权重也不同。人们对 m 种评判并不是绝对的肯定 或否定，因此综合评判应该是 V 上的一个模糊子集：B=(b1.b2⋯，bm)∈F(V)。其 中 b 反映了第 j 种评判 v．在评判中所占的地位，即 v，对模糊集曰的隶属度： 垦 B(vj，)=bj。
同理可得到30个人对S．学生的u，、u，、u。，u，和u。等各个因素的评价向量 分别为:
(0 07．0 10，0 37，0．30，0．17) (0．20，0 37．0 7,0 7,0 10) (O．37．0．43．0．13,0．00．0．07) (O．20．0 47．0．17．0 10．0 07) (O-03t0．00-0．23，0 60-v013)。 于是得到对SI大学生成绩的矩阵：
关系，即是一个Fuzzy子集，r。表示被评对象第i种评语在第j个因素达到的可能 程度。
(三)建立模型并验证其正确本文选取3位学生(S)，邀请了与该同 学有关30人对这3位大学生综合素质的6个方面进行评价，得到学生S．思想政治 与道德素养的评价结果为：20％的优秀、23％的良好、47％的中等、10％的合格 和0％的较差。则综合30人对S．学生u．的评价向量为0．20，0．23，0．47，0．10， 0．00)。
中有许多问题由于评定事物的标准或事物本身的定义没有明确的边界，从而构成 不确定性，即模糊性。对学生平时成绩的评价好与不好的明确界线有时很难划定。 而采用模糊综合评判法对不确定性问题进行评判则是较为科学的评价方法。
设论域评价分为n级，则有评价集合：u={“。，u：，⋯，u。}(n取有限值)。 影响论域的因素有m个，则有因素集合：y={”，，。：， ⋯，”。}(m取有限值)。 单个因素的评判为尺；=h。，乜，⋯，r讯}，可以看作是“上的一个模糊子集， 其中r请表示第i个因素的评判对于评价集合中第|j}个等级的隶属度。则m个因素
通过长期的教学实践，对学生平时成绩的评定主要依据四个方面：(1)出勤情 况，以学生到课情况作为平时成绩给定的依据，这一评价制度的具体要求是通过 上课点名的办法来找出缺课的学生。(2)课堂表现，包括课堂笔记记录情况、回 答问题的积极主动性、课堂纪律等。根据“上课提问情况”来评定平时成绩是教 师经常使用的方法。这种方式也存在不足：假设每一个学生在教师提问 后都举手抢答，教师应该将首答权交给谁呢?这一模式的公正程度取决于教师有 没有足够的时间允许学生都回答课堂上的提问。(3)作业情况，检查平时作业是 教师经常使用的考核学生平时学习情况的重要方法。然而实践表明，这个方法也 存在不足。由于教师无法了解学生的平时作业究竟是不是自己独立完成的，在假 定“学生都能按时完成作业”的前提下，教师只能根据作业的工整情况或对错状 况来判定学生的平时成绩。教师经常遇到的问题是：有时抄袭作业的学生，作业 的卷面反而要比自己独立完成的学生要工整些；或者由于参考了一些同学的作 业，其正确率反而比独立完成的同学高一些。(4)平时测验情况。对上述四个方 面综合考虑，把学生平时成绩评定分为四级：优、良、中、差。在上述评定学生 平时成绩的主要依据的因素中，多数因素很难区分出较严格的数值界限，而且有 一定的相关性和很大的“模糊性”。对这些具有“模糊性”的因素进行综合评定， 并以此来确定学生平时成绩是很困难的。采用模糊综合评判法来考核学生的平时 成绩，在促进学生学习积极性方面，效果是明显的，同时也使考核的成绩更加合 理、公正。 三、模糊数学综合评判法
表了根据单因素K评判等级的能力。 若给定A和尺，即可进行综合评判。其综合评判的结果为B=A·R。对于A·R
的运算类型，可根据不同的情况采用不同的算子，如：(“·”，“+”)等。 四、模糊综合评判法与传统方法的比较
在学生平时成绩考核中，模糊评判法与传统方法比较，具有以下几点优势： 第一，模糊综合评判法克服了传统方法的主观性、随意性。传统的考核办法 是教师根据学生的平时表现，给定一个平时成绩。在学生平时表现中，有些学生 在某一方面能力较强，而在另一方面可能表现较差，教师很难给学生准确定位， 只能凭自己感觉，带有较大的随意胜。这里面就包含老师对学生的个人感情，换 句话说，感情因素占了很大比例。有些学校虽然规定了平时成绩的比例，却由于 教师嫌麻烦，怕评分标准不好掌握而不了了之。有些教师为了方便，平时成绩就 根据学生的期末考试成绩来确定。模糊综合评判法则是在很大程度上克服了传统 方法的这种主观性、随意性。 第二，模糊综合评判法的定量分析要比传统的定性描述更加科学化和准确 化。传统评价中教师认为某个学生平时表现好，一般也会综合考虑出勤情况、课 堂表现、作业情况、平时测验情况四个方面，但缺乏数据说明。曾经就有学生提 出来，他和另一位同学都从不缺课，上课认真听，作业也认真完成，测验成绩也 一样，为什么平时成绩就相差这么多。使用模糊综合评判法后，经过定量分析， 学生对平时成绩心服口服，从而表明评判的结果是比较客观、公正、准确的。 第三，模糊综合评判法既能促进教师的教学，又能充分调动学生的学习积极 性。由于模糊综合评判法把平时的作业练习和课堂上学生答问的情况以及出勤情 况等多个方面作为评定学生平时成绩的依据，因此，其优点在于：第一，能够帮 助教师及时地了解和掌握学生的学习状况，从而使教师及时调整教学方法，更好 地发挥主导作用；第二，可以督促学生在平时学习过程中刻苦勤奋，努力向上， 避免“平时吊儿郎当，考时临阵磨枪”的现象，也可减轻因考试给学生增加的负 担。 第四，模糊综合评判法在主观指标得分与客观指标得分之间建立了联系的桥 梁。评价中采用的等级得分和百分制得分的互通，使得该评判法将主客观指标结 合在一起评价时，具有较好的整体性。 用模糊综合评判法来评定学生平时成绩较为客观、全面和公正，它克服了传 统考核办法中的主观性，同时又能有效地提高学生平时学习的积极性。但是，该 评价方法要比平常使用的方法复杂，评价中计算程比较多，增加了教师的工作量。 因此，这种方法还需要在教学实践中不断完善。 四、学生以成绩分类模糊综合评判模型的建立。 (一)建立评判对象因素集U={U1，u2，⋯，um} 根据前面的分析可知，对大学生综合素质评价需要从思想政治与道德素养等 6项素质指标着手，并由此组成r大学生综合素质因素集合U={u1，，u2，⋯un}； (二)建立评判集V={v1，V2，，⋯，vn}本文将大学生综合素质评价分为优秀，良 好、中等、合格和较差五等，并由此构成评语集合V={优、良好、中等、合格、 较 差}：{V．，V，，⋯5}；设R={r，，}，“=l，2，⋯ar S j_1，2，⋯)是从V到U的模糊
(二)加权评分法。这种方法主要考虑诸因素(或诸指标)在评价中所处的地位 或所起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待诸因素(或诸指标)。于是，就 引进了权重的概念，它体现了诸因素(或诸指标)在评价中的不同地位或不同作
用。这种评分法显然较评总分法合理。 模糊综合评判属于加权评分法的一种特例。它是对受多种因素影响的事物作
所谓评判，就是按给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别；综合的 意思就是指评判条件包含多个因素或多个指标。因此，综合评判就是要对受多个 因素影响的事物作出全面评价。综合评判的方法有许多种，常用的有两种：
(一)评总分法。即根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级， 并用分数表示，以决定方案的优劣。
0.20 0.07 0.20 0.37 0.20 0.03 0.23 0.10 0.37 0.43 0.47 0.00 0.47 0.37 0.17 0.13 0.17 0.23 =(O．24，0．1 7,0．23,0．27,0．24， 0.10 0.30 0.17 0.00 0.10 0.60 0.00 0.17 0.10 0.10 0.07 0.13
用模糊数学班上的学生进行评估
姓名：李万杰 学号：201107010113
2014 年 6 月 27 日
模糊数学综合评判法，作为一种模糊数学方法，被用于各个领域，取得了很 好的效果。本文将用这种方法分析班上的学生以成绩分类。这种方法能有效处理 学生平时成绩中的一些模糊性，同时，也使考核的成绩更加合理与公正。 一、模糊数学的基本概念
n
4、确定各因素的权重A=(a1,a2,...an)∈F(u)，且 ai ,，o≤a．≤1．其中 j 1
a．表示第j种因素的权重。 5、综合评判：B=AOR=(b1,b2...bm)就是对事物的综合评判。 6模糊综合评判法的基本原理 模糊数学是研究和处理客观世界中存在的模糊性的一种数学方法。客观世界
长期以来，人们对干客观事物的认识习惯于追求其精确性或清晰性。但人脑 作为认识和改造客观世界的主体，对自然现象的反映往往都是模糊的。模糊集合 是对这些模糊现象或模糊概念的刻画。利用模糊数学理论，建立模型，根据模糊 数学最大隶属度原则，使学生以成绩分类更加合理化。综合评判就是对受到多个 因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇 到的问题，由于从多方面对大学生综合素质进行评价难免带有模糊性和主观性， 采用模糊数学的方法进行综合评价将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。 二、评定学生平时成绩的依据
实现一个模糊综合决策主要通过以下几个步来实现： 1、因素集 U ={x1.x2.x3....xn},在此处 xi（i=1,2,3,4，...n)表示对该事物 有影响的的第 i 个元素。 2、评判集 V={v1，v2，...,vn},此处 vj（j=1,2,3....,n)表示评价第 j 个 等级。 3、单因素评价法：定出每个因素对各评价等级的隶属度，得出模糊矩阵 R=（R1，R2，R3，...Rn)T=(rtj)n*m={r11 k r1m},其中，R中第j行R．反映的是被评 对象的第j个因素对于评价集中各等级的隶属度；第J列反映的是评价对象的各因 素分别取评价集中第J个等级程度，(L．、，R)构成一个综合决策模型。
r1
的评判矩阵为：=来自r11 r 21 ... rm1
r12 r22 ... rm2
... ... ... ...
r1n
r2n
...
rnm
r 2
在进行综合评判时，考虑各个因素对论域评定等级所起作用的大小，也就是
说，不同的因素有着不同的权，权的分配是因素集合y上的一个模糊子集A： A=(P1，P2，⋯P4) 只为K对A的隶属度，是单独考虑因素K对评判等级所起作用大小的度量，它代
1 2 5 3 1 3 3 2 4 3 5 2 aj 4 5 2 9 0 6 1 4 5 5 2 1 3 4 5 6 2 0 采用同样的数据处理方法得到对s2学生和s3，学生的大学生综合素质的评价矩 阵分别为：
0.03 0.05 0.67 0.03 0.40 0.07 0.10 0.27 0.20 0.40 0.37 0.37 R2 0.47 0.13 0.03 0.17 0.00 0.04 0.02 0.01 0.07 0.07 0.17 0.07 0.20 0.00 0.03 0.07 0.07 0.10
出全面评价的一种十分效的多因素决策方法。所以，模糊综合评判决策又称模糊 综合决策或模糊多元决策。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型，本文用到的是一级模 型，现将该模型介绍如下：
设 L=<＼，，x。，⋯，x。)为 n 种因素，v={v1，v2，v3......}为 m 种评判，它 们的元素个数和名称均根据实际问题需要由人们主观规定。由于各种因素所处的 地位不同，作用也不一样，当然权重也不同。人们对 m 种评判并不是绝对的肯定 或否定，因此综合评判应该是 V 上的一个模糊子集：B=(b1.b2⋯，bm)∈F(V)。其 中 b 反映了第 j 种评判 v．在评判中所占的地位，即 v，对模糊集曰的隶属度： 垦 B(vj，)=bj。
同理可得到30个人对S．学生的u，、u，、u。，u，和u。等各个因素的评价向量 分别为:
(0 07．0 10，0 37，0．30，0．17) (0．20，0 37．0 7,0 7,0 10) (O．37．0．43．0．13,0．00．0．07) (O．20．0 47．0．17．0 10．0 07) (O-03t0．00-0．23，0 60-v013)。 于是得到对SI大学生成绩的矩阵：
关系，即是一个Fuzzy子集，r。表示被评对象第i种评语在第j个因素达到的可能 程度。
(三)建立模型并验证其正确本文选取3位学生(S)，邀请了与该同 学有关30人对这3位大学生综合素质的6个方面进行评价，得到学生S．思想政治 与道德素养的评价结果为：20％的优秀、23％的良好、47％的中等、10％的合格 和0％的较差。则综合30人对S．学生u．的评价向量为0．20，0．23，0．47，0．10， 0．00)。
中有许多问题由于评定事物的标准或事物本身的定义没有明确的边界，从而构成 不确定性，即模糊性。对学生平时成绩的评价好与不好的明确界线有时很难划定。 而采用模糊综合评判法对不确定性问题进行评判则是较为科学的评价方法。
设论域评价分为n级，则有评价集合：u={“。，u：，⋯，u。}(n取有限值)。 影响论域的因素有m个，则有因素集合：y={”，，。：， ⋯，”。}(m取有限值)。 单个因素的评判为尺；=h。，乜，⋯，r讯}，可以看作是“上的一个模糊子集， 其中r请表示第i个因素的评判对于评价集合中第|j}个等级的隶属度。则m个因素
通过长期的教学实践，对学生平时成绩的评定主要依据四个方面：(1)出勤情 况，以学生到课情况作为平时成绩给定的依据，这一评价制度的具体要求是通过 上课点名的办法来找出缺课的学生。(2)课堂表现，包括课堂笔记记录情况、回 答问题的积极主动性、课堂纪律等。根据“上课提问情况”来评定平时成绩是教 师经常使用的方法。这种方式也存在不足：假设每一个学生在教师提问 后都举手抢答，教师应该将首答权交给谁呢?这一模式的公正程度取决于教师有 没有足够的时间允许学生都回答课堂上的提问。(3)作业情况，检查平时作业是 教师经常使用的考核学生平时学习情况的重要方法。然而实践表明，这个方法也 存在不足。由于教师无法了解学生的平时作业究竟是不是自己独立完成的，在假 定“学生都能按时完成作业”的前提下，教师只能根据作业的工整情况或对错状 况来判定学生的平时成绩。教师经常遇到的问题是：有时抄袭作业的学生，作业 的卷面反而要比自己独立完成的学生要工整些；或者由于参考了一些同学的作 业，其正确率反而比独立完成的同学高一些。(4)平时测验情况。对上述四个方 面综合考虑，把学生平时成绩评定分为四级：优、良、中、差。在上述评定学生 平时成绩的主要依据的因素中，多数因素很难区分出较严格的数值界限，而且有 一定的相关性和很大的“模糊性”。对这些具有“模糊性”的因素进行综合评定， 并以此来确定学生平时成绩是很困难的。采用模糊综合评判法来考核学生的平时 成绩，在促进学生学习积极性方面，效果是明显的，同时也使考核的成绩更加合 理、公正。 三、模糊数学综合评判法
表了根据单因素K评判等级的能力。 若给定A和尺，即可进行综合评判。其综合评判的结果为B=A·R。对于A·R
的运算类型，可根据不同的情况采用不同的算子，如：(“·”，“+”)等。 四、模糊综合评判法与传统方法的比较
在学生平时成绩考核中，模糊评判法与传统方法比较，具有以下几点优势： 第一，模糊综合评判法克服了传统方法的主观性、随意性。传统的考核办法 是教师根据学生的平时表现，给定一个平时成绩。在学生平时表现中，有些学生 在某一方面能力较强，而在另一方面可能表现较差，教师很难给学生准确定位， 只能凭自己感觉，带有较大的随意胜。这里面就包含老师对学生的个人感情，换 句话说，感情因素占了很大比例。有些学校虽然规定了平时成绩的比例，却由于 教师嫌麻烦，怕评分标准不好掌握而不了了之。有些教师为了方便，平时成绩就 根据学生的期末考试成绩来确定。模糊综合评判法则是在很大程度上克服了传统 方法的这种主观性、随意性。 第二，模糊综合评判法的定量分析要比传统的定性描述更加科学化和准确 化。传统评价中教师认为某个学生平时表现好，一般也会综合考虑出勤情况、课 堂表现、作业情况、平时测验情况四个方面，但缺乏数据说明。曾经就有学生提 出来，他和另一位同学都从不缺课，上课认真听，作业也认真完成，测验成绩也 一样，为什么平时成绩就相差这么多。使用模糊综合评判法后，经过定量分析， 学生对平时成绩心服口服，从而表明评判的结果是比较客观、公正、准确的。 第三，模糊综合评判法既能促进教师的教学，又能充分调动学生的学习积极 性。由于模糊综合评判法把平时的作业练习和课堂上学生答问的情况以及出勤情 况等多个方面作为评定学生平时成绩的依据，因此，其优点在于：第一，能够帮 助教师及时地了解和掌握学生的学习状况，从而使教师及时调整教学方法，更好 地发挥主导作用；第二，可以督促学生在平时学习过程中刻苦勤奋，努力向上， 避免“平时吊儿郎当，考时临阵磨枪”的现象，也可减轻因考试给学生增加的负 担。 第四，模糊综合评判法在主观指标得分与客观指标得分之间建立了联系的桥 梁。评价中采用的等级得分和百分制得分的互通，使得该评判法将主客观指标结 合在一起评价时，具有较好的整体性。 用模糊综合评判法来评定学生平时成绩较为客观、全面和公正，它克服了传 统考核办法中的主观性，同时又能有效地提高学生平时学习的积极性。但是，该 评价方法要比平常使用的方法复杂，评价中计算程比较多，增加了教师的工作量。 因此，这种方法还需要在教学实践中不断完善。 四、学生以成绩分类模糊综合评判模型的建立。 (一)建立评判对象因素集U={U1，u2，⋯，um} 根据前面的分析可知，对大学生综合素质评价需要从思想政治与道德素养等 6项素质指标着手，并由此组成r大学生综合素质因素集合U={u1，，u2，⋯un}； (二)建立评判集V={v1，V2，，⋯，vn}本文将大学生综合素质评价分为优秀，良 好、中等、合格和较差五等，并由此构成评语集合V={优、良好、中等、合格、 较 差}：{V．，V，，⋯5}；设R={r，，}，“=l，2，⋯ar S j_1，2，⋯)是从V到U的模糊
(二)加权评分法。这种方法主要考虑诸因素(或诸指标)在评价中所处的地位 或所起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待诸因素(或诸指标)。于是，就 引进了权重的概念，它体现了诸因素(或诸指标)在评价中的不同地位或不同作
用。这种评分法显然较评总分法合理。 模糊综合评判属于加权评分法的一种特例。它是对受多种因素影响的事物作
所谓评判，就是按给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别；综合的 意思就是指评判条件包含多个因素或多个指标。因此，综合评判就是要对受多个 因素影响的事物作出全面评价。综合评判的方法有许多种，常用的有两种：
(一)评总分法。即根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级， 并用分数表示，以决定方案的优劣。
0.20 0.07 0.20 0.37 0.20 0.03 0.23 0.10 0.37 0.43 0.47 0.00 0.47 0.37 0.17 0.13 0.17 0.23 =(O．24，0．1 7,0．23,0．27,0．24， 0.10 0.30 0.17 0.00 0.10 0.60 0.00 0.17 0.10 0.10 0.07 0.13
用模糊数学班上的学生进行评估
姓名：李万杰 学号：201107010113
2014 年 6 月 27 日
模糊数学综合评判法，作为一种模糊数学方法，被用于各个领域，取得了很 好的效果。本文将用这种方法分析班上的学生以成绩分类。这种方法能有效处理 学生平时成绩中的一些模糊性，同时，也使考核的成绩更加合理与公正。 一、模糊数学的基本概念
n
4、确定各因素的权重A=(a1,a2,...an)∈F(u)，且 ai ,，o≤a．≤1．其中 j 1
a．表示第j种因素的权重。 5、综合评判：B=AOR=(b1,b2...bm)就是对事物的综合评判。 6模糊综合评判法的基本原理 模糊数学是研究和处理客观世界中存在的模糊性的一种数学方法。客观世界
长期以来，人们对干客观事物的认识习惯于追求其精确性或清晰性。但人脑 作为认识和改造客观世界的主体，对自然现象的反映往往都是模糊的。模糊集合 是对这些模糊现象或模糊概念的刻画。利用模糊数学理论，建立模型，根据模糊 数学最大隶属度原则，使学生以成绩分类更加合理化。综合评判就是对受到多个 因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇 到的问题，由于从多方面对大学生综合素质进行评价难免带有模糊性和主观性， 采用模糊数学的方法进行综合评价将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。 二、评定学生平时成绩的依据
实现一个模糊综合决策主要通过以下几个步来实现： 1、因素集 U ={x1.x2.x3....xn},在此处 xi（i=1,2,3,4，...n)表示对该事物 有影响的的第 i 个元素。 2、评判集 V={v1，v2，...,vn},此处 vj（j=1,2,3....,n)表示评价第 j 个 等级。 3、单因素评价法：定出每个因素对各评价等级的隶属度，得出模糊矩阵 R=（R1，R2，R3，...Rn)T=(rtj)n*m={r11 k r1m},其中，R中第j行R．反映的是被评 对象的第j个因素对于评价集中各等级的隶属度；第J列反映的是评价对象的各因 素分别取评价集中第J个等级程度，(L．、，R)构成一个综合决策模型。
r1
的评判矩阵为：=来自r11 r 21 ... rm1
r12 r22 ... rm2
... ... ... ...
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r 2
在进行综合评判时，考虑各个因素对论域评定等级所起作用的大小，也就是
说，不同的因素有着不同的权，权的分配是因素集合y上的一个模糊子集A： A=(P1，P2，⋯P4) 只为K对A的隶属度，是单独考虑因素K对评判等级所起作用大小的度量，它代