电磁学复习计算题(附问题详解)

《电磁学》计算题（附答案）
1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求：
(1) 在它们的连线上电场强度0=E
的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？
(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？
2. 一带有电荷q ＝3×10-
9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10-
5 J ，粒子动能的增量为4.5×10-
5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？
3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．
4. 一半径为R
的带电球体，其电荷体密度分布为
ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R )
A 为一常量．试求球体外的场强分布．
5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10-
12C 2
/ N ·m 2 )
6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位
置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0．
常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量．
7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩．
(2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功．
8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10-
6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2 )
9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在
此区域有一静电场，场强为j i E
300200+= .试求穿过各面的电通量．
10. 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： E x ＝bx ， E y ＝0， E z ＝0．高斯
E
q
L
q P
面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )
11. 有一电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围
空间的电势分布．
12. 如图所示，在电矩为p
的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离)移到B 点，求此过程中电场力所作的功．
13. 一均匀电场，场强大小为E ＝5×104 N/C ，方向竖直朝上，把一电荷为q ＝ 2.5×10-
8 C 的点电荷，置于此电场中的a 点，如图所示．求此点电荷在下列过程中电场力作的功．
(1) 沿半圆路径Ⅰ移到右方同高度的b 点，ab ＝45 cm ； (2) 沿直线路径Ⅱ向下移到c 点，ac ＝80 cm ；
(3) 沿曲线路径Ⅲ朝右斜上方向移到d 点，ad ＝260 cm(与水平方向成45°角)．
14. 两个点电荷分别为q 1＝＋2×10-7 C 和q 2＝－2×10-
7 C ，相距0.3 m ．求距q 1为0.4 m 、距q 2
为0.5 m 处P 点的电场强度． (
41
επ=9.00×109 Nm 2 /C 2) 15. 图中所示， A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A 面上电荷面密度σA ＝－17.7×10-8 C ·m -2，B 面的电荷面密度σB ＝35.4 ×10-8 C ·m -
2．试计算两平面之间和两平面外的电场强度．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )
16. 一段半径为a 的细圆弧，对圆心的角为θ0，其上均匀分布有正电荷q ，如图所示．试以a ，q ，θ0表示出圆心O 处的电场强度．
17. 电荷线密度为λ的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB
R ，试求圆心O 点的场强．
18. 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a ，其电荷线密度分别为－λ和＋λ．试求：
d
σA
σB
A B
q ∞
∞ -λ +λ
(1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox 轴如图所示，两线的中点为原点)． (2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力．
19. 一平行板电容器，极板间距离为10 cm ，其间有一半充以相对介电常量εr
＝10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图所示．当两极间电势差为100 V 时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量. (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -
2)
20. 若将27个具有相同半径并带相同电荷的球状小水滴聚集成一个球状的大水滴，此大水滴的电势将为小水滴电势的多少倍？(设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失．) 21. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R 的导体球带电．
(1) 当球上已带有电荷q 时，再将一个电荷元d q 从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？ (2) 使球上电荷从零开始增加到Q 的过程中，外力共作多少功？
22. 一绝缘金属物体，在真空中充电达某一电势值，其电场总能量为W 0．若断开电源，使其上所带电荷保持不变，并把它浸没在相对介电常量为εr 的无限大的各向同性均匀液态电介质中，问这时电场总能量有多大？
23. 一空气平板电容器，极板A 、B 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源后，A 板电势U A =V ，B 板电势U B =0．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C 的电势．
24. 一导体球带电荷Q ．球外同心地有两层各向同性均匀电介质球壳，相对介电常量分别为εr 1和εr 2，分界面处半径为R ，如图所示．求两层介质分界面上的极化电荷面密度．
25. 半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.0×10-8 C ，两球相距很远．若用细导线将两球相连接．求(1) 每个球所带电荷；(2) 每球的电势．(22/C m N 10941
90
⋅⨯=πε)
26. 如图所示，有两根平行放置的长直载流导线．它们的直径为a ，反向流过相同大小的电流I ，电流在导线均匀分布．试在图示的坐标系中求出x
d
d/2 d/2
轴上两导线之间区域]2
5
,
21[a a 磁感强度的分布． 27. 如图所示，在xOy 平面(即纸面)有一载流线圈abcd a ，其中bc 弧和da 弧皆为以O 为圆心半径R =20 cm 的1/4圆弧，ab 和cd 皆为直线，电流I =20 A ，其流向为沿abcd a 的绕向．设线圈处于B = 8.0×10-2
T ，方向与a →b 的方向相一致的均匀磁场中，试求：
(1) 图中电流元I ∆l 1和I ∆l 2所受安培力1F ∆和2F
∆的方向和大小，设∆l 1 =
∆l 2 =0.10 mm ；
(2) 线圈上直线段ab 和cd 所受的安培力ab F 和cd F
的大小和方向；
(3) 线圈上圆弧段bc 弧和da 弧所受的安培力bc F 和da F
的大小和方向．
28. 如图所示，在xOy 平面(即纸面)有一载流线圈abcda ，其中b c 弧和da 弧皆为以O 为圆心半径R =20 cm 的1/4圆弧，ab 和cd 皆为直线，电流I =20 A ，其流向沿abcda 的绕向．设该线圈处于磁感强度B = 8.0×10-
2 T
的均匀磁场中，B
方向沿x 轴正方向．试求：
(1) 图中电流元I ∆l 1和I ∆l 2所受安培力1F ∆和2F
∆的大小和方向，设∆l 1 = ∆l 2
=0.10 mm ；
(2) 线圈上直线段ab 和cd 所受到的安培力ab F 和cd F
的大小和方向；
(3) 线圈上圆弧段bc 弧和da 弧所受到的安培力bc F 和da F 的大小和方向．
29. AA ＇和CC ＇为两个正交地放置的圆形线圈，其圆心相重合．AA ＇线圈半径为20.0 cm ，共10匝，通有电流10.0 A ；而CC ＇线圈的半径为10.0 cm ，共20匝，通有电流 5.0 A ．求两线圈公共中心O 点的磁感强度的大小和方向．(μ0 =4π×10-7 N ·A -
2)
30. 真空中有一边长为l 的正三角形导体框架．另有相互平行并与三角形的bc 边平行的长直导线1和2分别在a 点和b 点与三角形导体框架相连(如
图)．已知直导线中的电流为I ，三角形框的每一边长为l ，求正三角形中心
点O 处的磁感强度B
．
31. 半径为R 的无限长圆筒上有一层均匀分布的面电流，这些电流环绕着轴线沿螺旋线流动并与轴线方向成α 角．设面电流密度(沿筒面垂直电流方向单位长度的电流)为i ，求轴线上的磁感强度．
32. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆
a b c d
O R
R x y
I I 30° 45° I ∆l 1 I ∆l 2 a b
c d O R
R x y
I I 30° 45° I ∆l 1
I ∆l 2
心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B
的大小及其方
向．
33. 横截面为矩形的环形螺线管，圆环外半径分别为R 1和R 2，芯子材料的磁导率为μ，导线总匝数为N ，绕得很密，若线圈通电流I ，求． (1) 芯子中的B 值和芯子截面的磁通量． (2) 在r < R 1和r > R 2处的B 值．
34. 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通
过该矩形平面的磁通量．
35. 质子和电子以相同的速度垂直飞入磁感强度为B
的匀强磁场中，试求质子轨道半径R 1与电子轨道半径R 2的比值．
36. 在真空中，电流由长直导线1沿底边ac 方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b 点沿平行底边ac 方向从三角形框流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线的电流强度为I ，
三角形框的每一边长为l ，求正三角形中心O 处的磁感强度B
．
37. 在真空中将一根细长导线弯成如图所示的形状(在同一平面，由实线表示)，R EF AB ==，
大圆弧BC
的半径为R ，小圆弧DE 的半径为R 2
1
，求圆心O 处的磁感强度B
的大小和方向．
38. 有一条载有电流I 的导线弯成如图示abcda 形状．其中ab 、cd 是直线段，其余为圆弧．两段圆弧的长度和半径分别为l 1、R 1和l 2、R 2，且两
段圆弧共面共心．求圆心O 处的磁感强度B
的大小．
39
.
地球半径为R =6.37×106 m ．μ0
=4π×10-
7 H/m ．试用毕奥－萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小． 40. 在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩m p
与电子轨道运动的动量矩
L 大小之比，并指出m p
和L 方向间的关系．(电子电荷为e ，电子质量为m )
41. 两根导线沿半径方向接到一半径R =9.00 cm 的导电圆环上．如图．圆弧ADB
1 m
I
是铝导线，铝线电阻率为ρ1 =2.50×10-8 Ω·m ，圆弧ACB 是铜导线，铜线电阻率为ρ2 =1.60×10-
8 Ω·m ．两种导线截面积相同，圆弧ACB 的弧长是圆周长的1/π．直导线在很远处与电源相联，弧ACB 上的电流I 2 =2.00Ａ，求圆心O 点处磁感强度B 的大小．(真空磁导率μ0 =4π×10-
7 T ·m/A) 42. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A 电流，在导线部作一平面S ，S 的一个边是导线的中心轴线，另一边是S 平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通过沿导线长度方向长为1m 的一段S 平面的磁通量．(真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A ，铜的相对磁导率μr ≈1)
43. 两个无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为i 1和i 2，若i 1和i 2之间夹角为θ ，如图，求： (1) 两面之间的磁感强度的值B i ． (2) 两面之外空间的磁感强度的值B o ． (3) 当i i i ==21，0=θ时以上结果如何？
44. 图示相距为a 通电流为I 1和I 2的两根无限长平行载流直导线．
(1) 写出电流元11d l I 对电流元22d l I
的作用力的数学表达式；
(2) 推出载流导线单位长度上所受力的公式．
45. 一无限长导线弯成如图形状，弯曲部分是一半径为R 的半圆，两直线部分平行且与半圆平面垂直，如在导线上通有电流I ，方向如图．(半圆导线所在平面与两直导线所在平面垂直)求圆心O 处的磁感强度．
46. 如图，在球面上互相垂直的三个线圈 1、2、3，通有相等的电流，电流方向如箭头所示．试求出球心O 点的磁感强度的方向．(写出在直角坐标系中的方向余弦角)
47. 一根半径为R 的长直导线载有电流I ，作一宽为R 、长为l 的假想平面S ，如图所示。

若假想平面S 可在导线直径与轴OO ＇所确定的平面离开OO ＇轴移动至远处．试求当通过S 面的磁通量最大时S 平面的位置(设直导线电流分布是均匀的)．
48. 带电粒子在均匀磁场中由静止开始下落，磁场方向与重力方向(x 轴方向)垂直，求粒子下落距离为y 时的速率v ，并叙述求解方法的理论
I
I 2
1d l I 22d l I
y O y
x
v B
×
× × × × ×
依据．
49. 平面闭合回路由半径为R 1及R 2 (R 1 > R 2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成(如图)．已知两个直导线段在两半圆弧中心O 处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O 处产生的总的磁感强度B 与半径为R 2的半圆弧在O 点产生的磁感强度B 2的关系为B = 2 B 2/3，求R 1与R 2的关系．
50. 在一半径R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A 通过．试求圆柱轴线任一点的磁感强度．(μ0 =4π×10-
7 N/A 2)
51. 已知均匀磁场，其磁感强度B = 2.0 Wb ·m -2，方向沿x 轴正向，如图所示．试求：
(1) 通过图中abOc 面的磁通量； (2) 通过图中bedO 面的磁通量； (3) 通过图中acde 面的磁通量．
52. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为δ ，求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感强度．
53. 通有电流Ｉ的长直导线在一平面被弯成如图形状，放于垂直进入纸面的均匀磁场B
中，求整个导线所受的安培力(R 为已知)．
54. 三根平行长直导线在同一平面，1、2和2、3之间距离都是d =3cm ，其中电流21I I =，)(213I I I +-=，方向如图．试求在该平面B = 0
的直线的位置．
55. 均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求：
(1) O 点的磁感强度0B
；
(2) 系统的磁矩m p
； (3) 若a >> b ，求B 0及p m ．
56. 在B = 0.1 T 的均匀磁场中，有一个速度大小为v =104 m/s 的电子沿垂直于
B
的方向(如图)通过A 点，求电子的轨道半径和旋转频率．(基本电荷e = 1.60
R 1 R 2 O
I
B
x ⊗ ⊙
⊙ 1
2
3
O
A
B
v
×10-19 C, 电子质量m e = 9.11×10-31 kg)
57. 两长直平行导线，每单位长度的质量为m =0.01 kg/m ，分别用l =0.04 m 长的轻绳，悬挂于天花板上，如截面图所示．当导线通以等值反向的电流时，已知两悬线开的角度为2θ =10°，求电流I ．(tg5°＝0.087，μ0 =4π×10-
7 N ·A -2)
58. 一无限长载有电流I 的直导线在一处折成直角，P 点位于导线所在平面，距一条折线的延长线和另一条导线的距离都为a ，如图．求P 点的
磁感强度B
．
59. 一面积为S 的单匝平面线圈，以恒定角速度ω在磁感强度k t B B
ωsin 0=的均匀外磁场中转动，
转轴与线圈共面且与B
垂直（ k 为沿z 轴的单位矢量）．设t =0时线圈的正法向与k 同方向，
求线圈中的感应电动势．
60. 在一无限长载有电流I 的直导线产生的磁场中，有一长度为b 的平行于导线的短铁棒，它们相距为a ．若铁棒以速度v
垂直于导线与铁棒初始位置组成的平面匀速运动，求t 时刻铁棒两端的感应电动势 的大小．
61. 在细铁环上绕有N = 200匝的单层线圈，线圈以电流I =2.5 A ，穿过铁环截面的磁通量Φ =0.5 mWb ，求磁场的能量W ．
62. 一个密绕的探测线圈面积为4 cm 2，匝数N =160，电阻R =50 Ω．线圈与一个阻r =30 Ω的冲击电流计相连．今把探测线圈放入一均匀磁场中，线圈法线与磁场方向平行．当把线圈法线转到垂直磁场的方向时，电流计指示通过的电荷为 4×10-
5 C ．问磁场的磁感强度为多少？
63. 两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为a 和b ，长为L (L >>a ；a >b )，匝数分别为N 1和N 2，求互感系数M ．
64. 均匀磁场B
被限制在半径R =10 cm 的无限长圆柱空间，方向垂直纸面
向里．取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示．设磁感强度以d B /d t =1 T/s 的匀速率增加，
已知π=3
1
θ，cm 6==Ob Oa ，求等腰梯形回路中感生电动势的大小
和方向．
65. 如图所示，有一中心挖空的水平金属圆盘，圆半径为R 1，外圆半径为R 2．圆盘绕竖直中心轴O ′O ″以角速度ω匀速转动．均匀磁场B
的方向为竖直
c
A
向上．求圆盘的圆边缘处C 点与外圆边缘A 点之间的动生电动势的大小及指向．
66. 将一宽度为l 的薄铜片，卷成一个半径为R 的细圆筒，设 l >> R ，电流I 均匀分布通过此铜片(如图)．
(1) 忽略边缘效应，求管磁感强度B
的大小；
(2) 不考虑两个伸展面部份(见图)，求这一螺线管的自感系数．
67. 一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm ．环心材料的磁导率μ =μ0．求在电流强度I 为多大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J / m 3？ (μ0 =4π×10-
7 T ·m/A )
68. 一边长为a 和b 的矩形线圈，以角速度ω 绕平行某边的对称轴OO ＇
转动．线圈放在一个随时间变化的均匀磁场t B B ωsin 0 =中，(0B 为
常矢量. ) 磁场方向垂直于转轴, 且时间t =0时，线圈平面垂直于B
，如图所示．求线圈的感应电动势 ，并证明 的变化频率f ＇是B
的
变化频率的二倍．
69. 如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条
对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v
沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求 (1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量Φ． (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势 ．
70. 一环形螺线管，截面半径为a ，环中心线的半径为R ，R >>a ．在环上用表面绝缘的导线均匀地密绕了两个线圈，一个N 1匝，另一个N 2匝，求两个线圈的互感系数M ．
71. 设一同轴电缆由半径分别为r 1和r 2的两个同轴薄壁长直圆筒组成，两长圆筒通有等值反向电流I ，如图所示．两筒间介质的相对磁导率μr = 1，求同轴电缆 (1) 单位长度的自感系数． (2) 单位长度所储存的磁能．
72. 在图示回路中，导线ab 可以在相距为0.10 m 的两平行光滑导线LL ＇和MM ＇上水平地滑动．整个回路放在磁感强度为0.50 T 的均匀磁场中，磁场方向竖直向上，回路中电流为 4.0 A ．如要保持导线作匀速运动，
0B
⊗ I
I
L ＇
求须加外力的大小和方向．
73. 两根很长的平行长直导线，其间距离为d ，导线横截面半径为r ( r << d )，它们与电源组成回路如图．若忽略导线部的磁通，试计算此两导线组成的回路单位长度的自感系数L ．
74. 如图，一无净电荷的金属块，是一扁长方体．三边长分别为a 、b 、c 且a 、b 都远大于c ．金属块在磁感强度为B
的磁场中，以速度v
运动．求
(1) 金属块中的电场强度． (2) 金属块上的面电荷密度．
75. 两根平行放置相距2a 的无限长直导线在无限远处相连，形成闭合回路．在两根长直导线之间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为l 和2b ，l 边与长直导线平行 (如图所示) ．求：线圈在两导线的中心位置(即线圈的中心线与两根导线距离均为a )时，长直导线所形成的闭合回路与线圈间的互感系数．
《电磁学》习题答案
x
y
z
v
1.
解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，x 轴沿两点电荷的连线．
(1) 设0=E
的点的坐标为x '，则
()
04342
02
0=-'π-
'π=
i d x q
i x q E εε 可得 0222
2
=-'+'d x d x 解出 ()
d x 312
1
+-
=' 另有一解(
)
d x 132
1
2
-=''不符合题意，舍去．
(2) 设坐标x 处U ＝0，则
()
x d q
x q U -π-π=
00434εε
()0440=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--π=
x d x x d q ε 得 d - 4x = 0, x = d /4 2.
解：(1) 设外力作功为A F 电场力作功为A e ， 由动能定理：
A F + A e = ∆ E K
则 A e ＝∆ E K －A F =－1.5×10-
5 J
(2) qES S F S F A e e e -=-=⋅=
()=-=qS A E e /105 N/C
3.
解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直
杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：
()204d d x d L q E -+π=
ε()
2
04d x d L L x
q -+π=ε 总场强为 ⎰+π=L
x d L x
L q E 02
0)
(d 4－ε()d L d q +π=04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向． 4.
解：在球取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳所包含的电荷为
+O
r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ
在半径为r 的球面包含的总电荷为
40
3d 4Ar r Ar dV q r
V
π=π==⎰⎰ρ (r ≤R)
以该球面为高斯面，按高斯定理有 04
21/4εAr r E π=π⋅
得到
()0214/εAr E =， (r ≤R )
方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．
在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有
04
22/4εAR r E π=π⋅ 得到 ()
2
0424/r AR E ε=， (r >R )
方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里． 5.
解：球心处总电势应为两个球面电荷分别在球心处产生的电势叠加，即
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=
22110
41r q r q U ε⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛π+ππ=22212104441r
r r r σσε()210r r +=εσ
故得 92
101085.8-⨯=+=r r U
εσ C/m 2
6.
解：通过x ＝a 处平面1的电场强度通量
Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3
通过x = 2a 处平面2的电场强度通量
Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3
其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为
Φ = Φ1+ Φ2 = 2b a 3-b a 3 = b a 3 =1 N ·m 2/C 3分
7.
解：(1) 电偶极子在均匀电场中所受力矩为
E p M
⨯=
其大小 M = pE sin θ = qlE sin θ 当θ =π/2 时，所受力矩最大，
M max ＝qlE ＝2×10-
3 N ·m
(2) 电偶极子在力矩作用下，从受最大力矩的位置转到平衡位置(θ=0)过程中，电场力所作的功为
-q
θ
+q
p
E
qlE qlE M A =-=-=⎰⎰0
2
02
//d sin d ππθθθ＝2×10-3 N ·m
8.
解： 2
0114d q E επ=
, 2
0224d
q E επ=
∵ 212q q = ， ∴ 212E E = 由余弦定理：
1212
221360cos 2E E E E E E =-+=
2
0143
d
q επ== 3.11×106 V/m
由正弦定理得：
αsin 60
sin 1E E =
, 2160sin sin 1== E E α α = 30°
∴E
的方向与中垂线的夹角β＝60°，如图所示． 9.
解：由题意知
E x =200 N/C , E y =300 N/C ,E z =0
平行于xOy 平面的两个面的电场强度通量
01=±==⋅S E S E z e
Φ
平行于yOz 平面的两个面的电场强度通量
2002
±=±==⋅S E S E x e
Φ b 2N ·m 2/C
“＋”，“－”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量 平行于xOz 平面的两个面的电场强度通量
3003±=±==⋅S E S E y e
Φ b 2 N ·m 2/C
“＋”，“－”分别对应于上和下平面的电场强度通量. 10.
解：设闭合面包含净电荷为Q ．因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强
度通量不为零．由高斯定理得：
-E 1S 1+ E 2S 2=Q / ε0 ( S 1 = S 2 =S )
则 Q = ε0S (E 2- E 1) = ε0Sb (x 2- x 1)
= ε0ba 2(2a －a ) =ε0ba 3 = 8.85×10-
12 C
11.
解：选坐标原点在带电平面所在处，x 轴垂直于平面．由高斯定理可得场强分布为
2
q 2
q
x
E =±σ / (2ε0)
(式中“＋”对x ＞0区域，“－”对x ＜0区域) . 平面外任意点x 处电势： 在x ≤0区域
00
2d 2d εσεσx
x x E U x
x
=-=
=
⎰
⎰
在x ≥0区域
00
2d 2d εσεσx
x x E U x
x
-==
=
⎰
⎰
12.
解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势
()304/r r p U επ=⋅
式中r
为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知A 、B 两点电势分别为
()204/R p U A επ-=
()204/R p U B επ= ()p p
=
q 从A 移到B 电场力作功(与路径无关)为
()()202/R qp U U q A B A επ-=-=
13.
解：(1) 090cos d o 1===
⎰
⋅ab qE S F A b
a
(2) o 2180cos d ac qE S F A c
a
==⎰
⋅
＝－1×10-3 J
(3) o 345sin d ad qE S F A d
a
==⎰
⋅
＝2.3×10-3 J
14.
解：如图所示，P 点场强为
21E E E P +=
建坐标系Oxy ，则P E
在x 、y 轴方向的分量为
αsin 0221E E E E x x Px +=+=
αεsin 41
22
20r q ⋅π=
αcos 2121E E E E E y y Py -=+=αεεcos 41
4122
202110r q r q ⋅π-⋅π=
代入数值得 E Px = 0.432×104 N ·C -
1， E Py = 0.549×104 N ·C -
1
q
r y E
合场强大小 2
2Py
Px P E E E +=
= 0.699×104 N ·C -1 方向：P E
与x 轴正向夹角 ()x y E E /arctg =β = 51.8°
15.
解：两带电平面各自产生的场强分别为：
()02/εσA A E = 方向如图示
()02/εσB B E = 方向如图示
由叠加原理两面间电场强度为
()()02/εσσB A B A E E E +=+=
=3×104 N/C
方向沿x 轴负方向
两面外左侧()()02/εσσ
A B
A B E E E -=
-='
=1×104 N/C
方向沿x 轴负方向
两面外右侧 E ''= 1×104 N/C 方向沿x 轴正方向 16.
解：取坐标xOy 如图，由对称性可知：0d ==⎰
x x E E
θελθεcos 4d cos 4d d 2020a l
a q E y π-=π-=
θθελd cos 42
0a a ⋅π-= θθελ
θθd cos 400212
10⎰
-π-=a
E y
2sin 22sin 2002000θθεθελa q
a π-=π-= j a q E 2
sin 20020θθεπ-=
17.
解：以O 点作坐标原点，建立坐标如图所示．半无限长直线A ∞在O 点产生的场强1E
，
()j i R
E --π=
014ελ
半无限长直线B ∞在O 点产生的场强2E ，
()j i R
E
+-π=
024ελ
半圆弧线段在O 点产生的场强3E
，
B
E
i R
E
032ελπ=
由场强叠加原理，O 点合场强为
0321=++=E E E E
18.
解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离ｒ处的场强为：
E =λ / (2πε0r )
根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=+=x a x a E E E 21212021ελ ()
2
2042x a a -π=
ελ
， 方向沿x 轴的负方向 (2) 两直线间单位长度的相互吸引力
F =λE =λ2 / (2πε0a )
19.
解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为1D 、2D 和1E 、2E
，则
U = E 1d = E 2d (1) D 1 = ε0E 1 (2) D 2 = ε0εr E 2 (3) 联立解得 100021==
=d
U
E E V/m 29101C/m 1085.8-⨯==E D ε 28202C/m 1085.8-⨯==E D r εε
方向均相同,由正极板垂直指向负极板． 20.
解：设小水滴半径为r 、电荷q ；大水滴半径为R 、电荷为Q ＝27 q ．27个小水滴聚成大水滴，其体
积相等
27×(4 / 3)πr 3＝(4 / 3) πR 3
得 R = 3r 小水滴电势 U 0 = q / (4πε0r ) 大水滴电势 ()000094934274U r
q
r q R Q U =π=π=π=
εεε
1 2 U
-
21.
解：(1) 令无限远处电势为零，则带电荷为q 的导体球，其电势为
R
q
U 04επ=
将d q 从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能
q R
q
W A d 4d d 0επ=
=
(2) 带电球体的电荷从零增加到Q 的过程中，外力作功为
⎰⎰==Q
R q q A A 0
04d d πεR Q 02
8επ=
22.
解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量D
保持不变， 又 r
r r w D D DE w εεεεε0200202112121====
因为介质均匀，∴电场总能量 r W W ε/0= 23.
解：未插导体片时，极板A 、B 间场强为：
E 1=V / d
插入带电荷q 的导体片后，电荷q 在C 、B 间产生的场强为：
E 2=q / (2ε0S )
则C 、B 间合场强为：
E ＝E 1＋E 2＝(V / d )＋q / (2ε0S )
因而C 板电势为：
U ＝Ed / 2＝[V ＋qd / (2ε0S )] / 2
24.
解：球壳的外表面上极化电荷面密度为：
110111
E P P e n χεσ==='2121141141R
Q
R Q r r r π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π-=εεε 外球壳的表面上极化电荷面密度为：
220222
E P P e n χεσ-=-=='22222π411π41R
Q
R Q r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=εεε 两层介质分界面净极化电荷面密度为：
d /2 d /2
E 1 E 2
E 2
E 1
C B
A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='+'='122
21
11π4r r R Q
εεσσσ 25.
解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．设两球半径分别为r 1和r 2，
导线连接后的电荷分别为q 1和q 2，而q 1 + q 1 = 2q ，则两球电势分别是
10114r q U επ=
， 2
02
24r q U επ=
两球相连后电势相等， 21U U =，则有
2
1212122112r r q r r q q r q r q +=++== 由此得到 92
1111067.62-⨯=+=
r r q
r q C
92
122103.132-⨯=+=
r r q
r q C
两球电势 31
01
21100.64⨯=π==r q U U ε V
26.
解：应用安培环路定理和磁场叠加原理可得磁场分布为，
)
3(2200x a I
x
I
B -π+
π=
μμ )2
52(
a x a ≤≤ B
的方向垂直x 轴及图面向里．
27.
解：当磁场B
方向与Ox 轴成45°时如图所示．
(1) 4
111055.1105sin -⨯=︒=∆∆B l I F N
方向垂直纸面向外．
42210
60.190sin -⨯=︒=∆∆B l I F N
方向为垂直纸面向．
(2) 因为ab 与cd 均与B
平行，因此0==cd ab F F (3) 如图所示．
453.02d )45sin(2
/0
==
+︒=
⎰πIRB IRB F bc θθN
方向垂直纸面向外，同理 =da F 0.453 N ，方向垂直纸面向里．
y x O
b
c
I
θ
45° θ
B
28.
解：由安培公式B l I F ⨯=d d ，当B
的方向沿x 轴正方向时
(1) 4
111039.160sin -⨯=︒=∆∆B l I F N 方向垂直纸面向外(沿z 轴正方向)，
4
221013.1135sin -⨯=︒=∆∆B l I F N
方向垂直纸面向里(沿z 轴反方向)．
(2) ⎰
=b
a
ab F F d =︒=45sin B ab I ︒︒
45sin 45sin B R
I
32.0==IRB N ，方向为垂直纸面向里．
同理 32.0==IRB F cd N ，方向垂直纸面向外．
(3) 在bc 圆弧上取一电流元I d l = IR d θ，如图所示．这段电流元在磁场中所受力
θθθd sin sin d d IRB lB I F ==
方向垂直纸面向外，所以圆弧bc 上所受的力
⎰π=
2
/0
d sin θ
θIRB F bc 32.0==IRB N
方向垂直纸面向外，同理32.0=da F N ，方向垂直纸面向里． 29.
解：AA ＇线圈在O 点所产生的磁感强度 002502μμ==
A
A
A A r I N
B (方向垂直AA ＇平面)
CC ＇线圈在O 点所产生的磁感强度 005002μμ==
C
C
C C r I N B (方向垂直CC ＇平面)
O 点的合磁感强度 42
/1221002.7)
(-⨯=+=C A B B B T B 的方向在和AA ＇、CC ＇都垂直的平面，和CC ＇平面的夹角
︒==-4.63tg 1
A
C
B B θ 30.
解：令1B 、2B
、ab B 和acb B 分别代表长直导线1、2和通电三角框的 ab 、ac 和cb 边在O 点产生的磁感强度．则 ab acb B B B B B
+++=21 1B
：对O 点，直导线1为半无限长通电导线，有
C
C
A ＇
O
A B C B
A
θ
y
x O
b
c
l I d θ
θ
B
)
(401Oa I
B π=
μ， 1B
的方向垂直纸面向里．
2B
：由毕奥－萨伐尔定律，有 )
(402Oe I
B π=
μ)60sin 90(sin ︒-︒
方向垂直纸面向里．
ab B 和acb B ：由于ab 和acb 并联，有 )(cb ac I ab I acb ab +⋅=⋅
根据毕奥－萨伐尔定律可求得 ab B =acb B 且方向相反． 所以 21B B B
+=
把
3/3l Oa =，6/3l Oe =代入B 1、B 2，
则B
的大小为 )13(43)23
1(346343000-π=-
π+
π=
l
I l
I l
I B μμμ B
的方向：垂直纸面向里．
31.
解：将i
分解为沿圆周和沿轴的两个分量，轴线上的磁场只由前者产生．和导线绕制之螺线管相比
较，沿轴方向单位长度螺线管表面之电流i 的沿圆周分量i sin α就相当于螺线管的nI ． 利用长直螺线管轴线上磁场的公式 B = μ0nI 便可得到本题的结果 B = μ0 i sin α 32.
解： λωR I =
2
/322
30)
(2y R R B B y +=
=λω
μ
B
的方向与y 轴正向一致．
33.
解：(1) 在环作半径为r 的圆形回路, 由安培环路定理得
NI r B μ=π⋅2， )2/(r NI B π=μ
在r 处取微小截面d S = b d r , 通过此小截面的磁通量
r b r
NI
S B d 2d d π=
=μΦ
穿过截面的磁通量
⎰=S
S B d Φr b r
NI
d 2π=
μ1
2
ln
2R R NIb
π
=
μ (2) 同样在环外( r < R 1 和r > R 2 )作圆形回路, 由于
0=∑i
I。