第13章 控制系统的根轨迹分析与校正

根轨迹方程（续）

系统的闭环特征方程为
1 G( s ) H ( s ) 0
即
G( s) H ( s) K * ( s zi )
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
（式8）
根轨迹方程（续）

在s平面上凡是满足上式的点，都是根轨 迹上的点。式8称为根轨迹方程。
式8可以用幅值条件和相角条件来表示。
13.1.2 MATLAB根轨迹分析的 相关函数

MATLAB中提供了 rlocus()函数，可以直 接用于系统的根轨迹绘制。还允许用户 交互式地选取根轨迹上的值。
注：查阅并导读帮助文档

13.1.2 MATLAB根轨迹分析的 相关函数
rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) 绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于 同一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益 向量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r 有length(k)列，每列对应增益的闭环 根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根 位置矩阵。r有length(k)列，每列对应 增益的闭环根
r = rlocus(G,k)
13.1.2 MATLAB根轨迹分析的 相关函数
[K,POLES] = rlocfind(G)
[K,POLES]= rlocfind(G,P) sgrid
交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字 光标，用此光标在根轨迹上单击一极点， 同时给出该增益所有对应极点值 返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的 全部极点值
13.2.1 根轨迹法超前校正 及基于MATLAB的实例

根轨迹超前校正的主要步骤 据要求的系统性能指标，求出主导极点期望位置。 观察期望主导极点是否位于校正前的系统根轨迹。 如果需要设计校正网络，设计校正网络。 校正网络零点的确定。可直接在期望的闭环极点 位置下方（或在头两个实极点的左侧）增加一个 相位超前网络的实零点。
绘制根轨迹的基本法则(续)
根轨迹的起点 和终点 根轨迹的分支 数，对称性和 连续性 根轨迹起始于开环极点，终止于开 环零点 根轨迹的分支数与开环零点数 m 和 开环极点数 n 中的大者相等，根轨 迹是连续的，并且对称于实轴
绘制根轨迹的基本法则(续)
实轴上的某一区域，若其右端开环实 数零、极点个数之和为奇数，则该区 域必是 180根轨迹 实轴上的根轨迹 * 实轴上的某一区域，若其右端开环 实数零、极点个数之和为偶数，则该 区域必是 0根轨迹


MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool 是对SISO系统进行分析设计的。 既可以分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。 方便性在于设计零极点过程中，能够不断观察 系统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求， 以此来达到提高系统控制性能的目的。
13.2

控制系统的根轨迹法校正
相位滞后校正： 系统的期望主导极点若在系统的根轨迹上，但是 在该点的静态特性不满足要求，即对应的系统开 环增益K太小。单纯增大K值将会使系统阻尼比变 小，甚至于使闭环特征根跑到复平面S的右半平面。 为了使闭环主导极点在原位置不动，并满足静态 指标要求，则可以添加上一对偶极子，其极点在 其零点的右侧。从而使系统原根轨迹形状基本不 变，而在期望主导极点处的稳态增益得到加大。
Gk ( s)
Kg s( s 2)
绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘 制时的系统单位阶跃响应曲线。
13.1.3

MATLAB根轨迹分析实例
注：演示例5 系统方框图如图所示。绘制系统以k为 参量的根轨迹。
R(s) 1 In 1 k s 1 s Y(s) 1 Out1
2
例5求解
求等效根轨迹方程。 可容易地求得系统的开环传递函数
注：演示例 1：若单位反馈控制系统 的开环传递函数为
Gk (s) kg s(s 1)(s 5)
绘制系统的根轨迹。
13.1.3

MATLAB根轨迹分析实例
注：演示例2 已知单位反馈控制系统的开环传递函数， 绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系 统的稳定性。
Gk ( s)
kg ( s 3) s(s 1)(s 2)
MATLAB 与控制系统仿真
第13章 控制系统的根轨迹 分析与校正
主要内容

13.1 控制系统的根轨迹法分析

13.1.1 MATLAB根轨迹分析的相关函数 13.1.2 MATLAB根轨迹分析实例 13.2.1 根轨迹法超前校正及基于MATLAB的 实例 13.2.2 根轨迹法滞后校正及基于MATLAB的 实例
根轨迹法滞后校正实例
注：演示例7 设单位反馈系统有一个受控对象为设计滞后补偿 使系统满足以下指标：
1 Gc ( s) s( s 3)( s 6)
阶跃响应调整时间小于5s 超调量小于17% 速度误差系数为10
13.3 MATLAB图形化根轨迹法 分析与设计
13.3.1 MATLAB图形化根轨迹法 分析与设计工具r结构 图来描述。
R(s) G(s) C(s)
H(s)
根轨迹方程（续）

开环传递函数可表示为
K G ( s) H ( s)
*
(s z )
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
根轨迹方程（续）

系统的闭环传递函数为
G( s) ( s) 1 G(s) H (s)
Gk ( s ) k s ( s 2k ) ，
k 0。 s ( s 2k )
闭环特征方程为1
例5求解
变换为等效根轨迹方程为：
k (2 s 1) 1 2 s
等效开环传递函数为：
k ( s 0.5) Gk ' ( s ) 2 ，k s

2* k
绘制系统等效根轨迹。 仍然可以利用MATLAB绘制其根轨迹。
13.2.1 根轨迹法超前校正 及基于MATLAB的实例

注：演示例10 对系统进行补偿，使系统单位阶跃响应的超调 量不超过40%，调整时间不超过4s（对于2%误 差范围）。
k Gc ( s ) 2 s
13.2.2 根轨迹法滞后校正 及基于MATLAB的实例

滞后校正采用增加开环偶极子来增大系统增益。
13.2.1 根轨迹法超前校正 及基于MATLAB的实例



校正网络零点的确定。可直接在期望的闭环极 点位置下方（或在头两个实极点的左侧）增加 一个相位超前网络的实零点。 校正网络极点的确定。确定校正网络极点的位 置，使期望的主导极点位于校正后的根轨迹上。 利用校正网络极点的相角，使得系统在期望主 导极点上满足根轨迹的相角条件。 估计在期望的闭环主导极点处的总的系统开环 增益。计算稳态误差系数。如果稳态误差系数 不满足要求，重复不述步骤。
13.2
控制系统的根轨迹法校正
13.2

控制系统的根轨迹法校正

如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时 间、调整时间、超调量、阻尼系统、稳 态误差等时域特征量给出时，一般采用 根轨迹法校正。 根轨迹法校正的基本思路为借助根轨迹 曲线进行校正。
13.2

控制系统的根轨迹法校正
相位超前校正： 如果系统的期望主导极点往往不在系统的根轨迹上。 由根轨迹的理论，添加上开环零点或极点可以使根轨 迹曲线形状改变。若期望主导极点在原根轨迹的左侧， 则只要加上一对零、极点，使零点位置位于极点右侧。 如果适当选择零、极点的位置，就能够使系统根轨迹 通过期望主导极点s1，并且使主导极点在s1点位置时 的稳态增益满足要求。
m 1 1 d p d z j 1 i 1 j i n
的解
根轨迹与虚轴交点坐标 及其对应的 K 值可用 根轨迹与虚轴的 劳斯稳定判据确定 ，也可令闭环 特 征方程中 交点 s j ，然后分别令其实部和虚部为零求得
绘制根轨迹的基本法则(续)
j 1 根 轨 迹 的起 始 i 1 m n 角和终止角 * i j 2k
13.2.1 根轨迹法超前校正 及基于MATLAB的实例
利用根轨迹设计相位超前网络时，超前网络的传递函数可表示 为：
Gc ( s )
sz s p ，其中
z p。
设计超前网络时， 首先应根据系统期望的性能指标确定系统闭环 主导极点的理想位置，然后通过选择校正网络的零、极点来改变 根轨迹的形状，使得理想的闭环主导极点位于校正后的根轨迹 上。

i
m
n
j
(2k 1)
（ k 0,1,2, ） （ k 0,1,2, ） (n m 2 )
i 1
j 1
根之和
p
i 1 i i 1
n
n
i
13.1
控制系统的根轨迹法分析
13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述


以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解法是获得 系统根轨迹很实用的工程方法。 通过根轨迹可以清楚地反映如下的信息： 临界稳定时的开环增益； 闭环特征根进入复平面时的临界增益； 选定开环增益后，系统闭环特征根在根平面上 的分布情况； 参数变化时，系统闭环特征根在根平面上的变 化趋势等。
(2k 1)
k 0, 1, 2,
式中,

i
j
分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上 某一点的向量相角之和。
绘制根轨迹的基本法则


根轨迹绘制法则可用来求取根轨迹的起点和终 点，根轨迹的分支数、对称性和连续性，实轴 上的根轨迹，根轨迹的分离点和会合点，根轨 迹的渐近线，根轨迹的出射角和入射角，根轨 迹与虚轴的交点等信息，见下表。 表中以“*”标明的法则是绘制0根轨迹的法 则（与绘制常规根轨迹的法则不同），其余法 则不变 。