材料力学第3章剪切与扭转

第3章 剪切与扭转提要：本章将讨论杆件的剪切和扭转这两种基本变形。

F。

为了保证连接件的正常剪切是杆件的基本变形之一，杆件横截面上的内力为剪力Q工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算。

本章将探讨采用实用计算法来进行简化计算。

扭转也是杆件的基本变形之一。

杆件横截面上的内力偶矩为扭矩T。

本章将根据传动轴的功率P和转速n来计算杆件所承受的外力偶矩，并通过截面法来计算扭矩；还将探讨扭矩图的绘制方法。

本章将研究薄壁圆筒的扭转变形及其横截面上的切应力分布，并由薄壁圆筒的扭转实验推出剪切胡克定律，还要探讨切应力互等定理。

为了保证杆件在受扭情况下能正常工作，除了要满足强度要求外，还须满足刚度要求。

本章将从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面上的切应力公式，并以之为基础建立扭转的强度条件；同时在研究等直圆杆扭转变形的基础上，建立扭转的刚度条件。

本章还将探讨杆件斜截面上的应力分布。

本章研究等直圆杆的扭转仅限于线弹性范围内，且材料符合胡克定律，并以平面假设为基本依据。

在实际工程中，有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题。

本章将简单介绍矩形截面杆、开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆的自由扭转问题。

3.1 剪切3.1.1 剪力和切应力剪切(shear)是杆件的基本变形之一，其计算简图如图3.1(a)所示。

在杆件受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力F的作用时，将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式就称为剪切。

当外力F足够大时，杆件便会被剪断。

发生相对错动的横截面则称为剪切面(shear surface)。

既然外力F使得剪切面发生相对错动，那么该截面上必然会产生相应的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力(shearing force)，用符号F表示。

运用截面法，可以很容易地分析Q出位于剪切面上的剪力F与外力F大小相等、方向相反，如图3.1(b)所示。

材料力学中通Q常规定：剪力F对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的Q为负。

图3.1(b)中的剪力为正。

材料力学 ·40··40·(a) (b)图3.1 剪切的计算简图正如轴向拉伸和压缩中杆件横截面上的轴力F N 与正应力σ的关系一样，剪力Q F 同样是切应力(shearing stress) τ合成的结果。

由于剪切变形仅仅发生在很小一个范围内，而且外力又只作用在变形部分附近，因而剪切面上剪力的分布情况十分复杂。

为了简化计算，工程中通常假设剪切面上各点处的切应力相等，用剪力Q F 除以剪切面的面积A S 所得到的切应力平均值τ作为计算切应力(也称名义切应力)，即Q SA =τF (3.1) 切应力的方向和正负号的规定均与剪力Q F 一致。

3.1.2 连接中的剪切和挤压强度计算建筑结构大都是由若干构件组合而成，在构件和构件之间必须采用某种连接件(connective element)或特定的连接方式加以连接。

工程实践中常用的连接件，诸如铆钉、螺栓、焊缝、榫头、销钉等，都是主要承受剪切的构件。

当然，以上连接件在受剪的同时往往也伴随着其他变形，只不过剪切是主要因素而已。

以螺栓连接为例，如图 3.2(a)所示，连接处可能产生的破坏包括：在两侧与钢板接触面的压力F 作用下，螺栓将沿a-a 截面被剪断，如图3.2(b )所示；螺栓与钢板在接触面上因为相互挤压而产生松动导致失效；钢板在受螺栓孔削弱的截面处产生塑性变形。

相应地，为了保证连接件的正常工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算和钢板的抗拉强度计算。

FF(a) (b)图3.2 螺栓连接(a) 螺栓连接的钢板；(b) 螺栓的受力图考虑到连接件的变形比较复杂，在工程设计中通常采用工程实用计算法(engineering method of practical analysis)进行简化计算。

下面继续以螺栓连接为例介绍剪切强度和挤压强度的实用计算。

至于钢板的抗拉强度计算和铆钉连接、榫接、焊接等的连接计算，可参阅相关教材。

1. 剪切强度计算在图3.2(a)中，由螺栓连接的两块钢板承受力F 的作用，显然螺栓在此受力情况下将第3章 剪切与扭转·41··41·沿a-a 截面发生相对错动，发生剪切变形。

如前所述，剪切面上的切应力为Q S A =F τ 为保证螺栓不被剪断，必须使切应力τ不超过材料的许用切应力[]τ。

于是，剪切强度条件可表示为[]QS A =≤ττF (3.2)许用切应力[]τ是通过实验来确定的：在剪切实验中得到剪切破坏时材料的极限切应力u τ，再除以安全因数，即得该种材料许用切应力[]τ。

对于钢材，工程上常取[](0.750.8)[]σ∼=τ，[]σ为钢材的许用拉应力。

对于大多数连接件来说，剪切变形和剪切强度是主要的。

2. 挤压强度计算在图 3.2(a)中，在螺栓与钢板相接触的侧面上会发生相互间的局部承压现象，我们称之为挤压(bearing)，在接触面上的压力称之为挤压力(bearing force)，用符号F bs 表示。

当挤压力足够大时，将使螺栓压扁或钢板在孔缘处压皱，从而导致连接松动而失效。

在工程设计中，通常假定在挤压面上应力是均匀分布的，挤压力根据所受外力由静力平衡条件求得，因而挤压面上名义挤压应力为bs bs bsA =σF (3.3) 式中，A bs 为计算挤压面(effective bearing surface)面积。

当接触面为平面(如键连接中键与轴的接触面)时，计算挤压面面积A bs 取实际接触面的面积；当接触面为圆柱面(如螺栓连接中螺栓与钢板的接触面)时，计算挤压面面积A bs 取圆柱面在直径平面上的投影面积，如图3.3(a)所示。

实际上，挤压应力(bearing stress)在接触面上的分布是很复杂的，与接触面的几何形状及材料性质直接相关。

根据理论分析，圆柱状连接件与钢板接触面上的理论挤压应力沿圆柱面的分布情况如图 3.3(b)所示，而按式(3.3)计算得到的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近。

σbs(a) (b)图3.3 挤压面面积与理论挤压应力的分布(a) 挤压面面积的计算；(b) 理论挤压应力分布材料力学·42· ·42·为了防止因连接松动而失效，必须使挤压应力不超过材料的许用挤压应力[]bs σ。

于是，挤压强度条件可表示为[]bs bs bs bs A σσ=≤F (3.4)材料的许用挤压应力[]bs σ也应根据实验结果来确定。

对于钢材，工程上常取[]bs (1.7 2.0)[]σσ∼=，[]σ为钢材的许用拉应力。

必须注意的是，当连接件和被连接件的材料不同时，应选取抵抗挤压能力较弱的材料的许用挤压应力[]bs σ。

【例3.1】 一螺栓接头如图3.4所示。

已知F =40kN ，螺栓、钢板的材料均为Q235钢，许用切应力[]τ=130MPa ，许用挤压应力[]bs σ=300MPa 。

试计算螺栓所需的直径。

图3.4 例3.1图解：这是一个截面选择问题，先根据剪切强度条件式(3.2)求得螺栓的直径，再根据挤压强度条件式(3.4)来校核。

首先分析每个螺栓所受到的力。

显然，每个螺栓有两个剪切面，但只受到一个力F 的作用，由截面法可得每个剪切面上的剪力为Q 2=F F 将剪力和有关的已知数据代入剪切强度条件式(3.2)，即得3Q 622S 24010213010Pa π4A dd ××===××≤τF F 于是求得螺栓直径为0.014m 14mm d == 校核挤压强度。

显然，由静力平衡条件可知每个螺栓所受挤压力为F bs =F计算挤压面面积A bs 为螺栓的直径截面面积，即bs A d δ=将相关数据代入挤压强度条件式(3.4)，得[]36bs bs bs 3bs 401014310Pa 143MPa 20100.014A d δ−×====×=<××σσF F 可见，螺栓直径取14mm 满足挤压强度条件。

第3章 剪切与扭转 ·43··43·3.2 杆件扭转时的内力扭矩扭转(torsion)也是杆件的基本变形之一。

其计算简图如图3.5(a)所示：在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶(其矩为M e )作用下，直杆的任意两横截面(如图中m m −截面和n n −截面)将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线将成螺旋线。

这种变形形式就称为扭转。

在工程中，受扭杆件是很常见的，例如机械中的传动轴、汽车的转向轴、土工实验用的钻杆、建筑结构中的雨篷梁等，但单纯发生扭转的杆件不多。

如果杆件的变形以扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其进行强度和刚度计算；如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的(如雨篷梁还受弯、钻杆还受压)，则要通过组合变形计算。

这类问题将在第9章讨论。

要研究受扭杆件的应力和变形，首先得计算轴横截面上的内力。

以工程中常用的传动轴为例，我们往往只知道它所传递的功率P 和转速n ，但作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。

因为功率是每秒钟内所做的功，有33e e 2π1010 60n P M M ω−−=××=×× 于是，作用在轴上的外力偶矩为e 9 549P M n= (3.5) 式中，功率P 的单位是kW ，外力偶矩M e 的单位是N ·m ，ω的单位是rad/s ，转速n 的单位是r/min 。

杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。

对图 3.5(a)所示圆轴，欲求m-m 截面的内力，可假设沿m-m 截面将圆轴一分为二，并取其左半段分析，如图3.5(b)所示，由平衡方程x 0M =∑，e 0T M −=得e T M =x(a) (b)图3.5 扭转的计算简图 T 是横截面上的内力偶矩，称为扭矩(torsional moment ，torque)。

如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上可求得扭矩的数值大小相等而方向相反。

为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，材料力学中通常规定：按右手螺旋法则确定扭矩矢材料力学·44· ·44·量，如果扭矩矢量的指向与截面的外法向方向一致，则扭矩为正，反之为负。

当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图(torque diagram)。