材料力学第3章剪切与扭转

第3章 剪切与扭转

提要：本章将讨论杆件的剪切和扭转这两种基本变形。

F。为了保证连接件的正常剪切是杆件的基本变形之一，杆件横截面上的内力为剪力

Q

工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算。本章将探讨采用实用计算法来进行简化计算。

扭转也是杆件的基本变形之一。杆件横截面上的内力偶矩为扭矩T。本章将根据传动轴的功率P和转速n来计算杆件所承受的外力偶矩，并通过截面法来计算扭矩；还将探讨扭矩图的绘制方法。

本章将研究薄壁圆筒的扭转变形及其横截面上的切应力分布，并由薄壁圆筒的扭转实验推出剪切胡克定律，还要探讨切应力互等定理。

为了保证杆件在受扭情况下能正常工作，除了要满足强度要求外，还须满足刚度要求。本章将从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面上的切应力公式，并以之为基础建立扭转的强度条件；同时在研究等直圆杆扭转变形的基础上，建立扭转的刚度条件。本章还将探讨杆件斜截面上的应力分布。

本章研究等直圆杆的扭转仅限于线弹性范围内，且材料符合胡克定律，并以平面假设为基本依据。

在实际工程中，有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题。本章将简单介绍矩形截面杆、开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆的自由扭转问题。

3.1 剪切

3.1.1 剪力和切应力

剪切(shear)是杆件的基本变形之一，其计算简图如图3.1(a)所示。在杆件受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力F的作用时，将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式就称为剪切。当外力F足够大时，杆件便会被剪断。发生相对错动的横截面则称为剪切面(shear surface)。

既然外力F使得剪切面发生相对错动，那么该截面上必然会产生相应的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力(shearing force)，用符号

F表示。运用截面法，可以很容易地分析

Q

出位于剪切面上的剪力

F与外力F大小相等、方向相反，如图3.1(b)所示。材料力学中通

Q

常规定：剪力

F对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的

Q

为负。图3.1(b)中的剪力为正。

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(a) (b)

图3.1 剪切的计算简图

正如轴向拉伸和压缩中杆件横截面上的轴力F N 与正应力σ的关系一样，剪力Q F 同样是切应力(shearing stress) τ合成的结果。由于剪切变形仅仅发生在很小一个范围内，而且外力又只作用在变形部分附近，因而剪切面上剪力的分布情况十分复杂。为了简化计算，工程中通常假设剪切面上各点处的切应力相等，用剪力Q F 除以剪切面的面积A S 所得到的切应力平均值τ作为计算切应力(也称名义切应力)，即

Q S

A =τF (3.1) 切应力的方向和正负号的规定均与剪力Q F 一致。

3.1.2 连接中的剪切和挤压强度计算

建筑结构大都是由若干构件组合而成，在构件和构件之间必须采用某种连接件(connective element)或特定的连接方式加以连接。工程实践中常用的连接件，诸如铆钉、螺栓、焊缝、榫头、销钉等，都是主要承受剪切的构件。当然，以上连接件在受剪的同时往往也伴随着其他变形，只不过剪切是主要因素而已。以螺栓连接为例，如图 3.2(a)所示，连接处可能产生的破坏包括：在两侧与钢板接触面的压力F 作用下，螺栓将沿a-a 截面被剪断，如图3.2(b )所示；螺栓与钢板在接触面上因为相互挤压而产生松动导致失效；钢板在受螺栓孔削弱的截面处产生塑性变形。相应地，为了保证连接件的正常工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算和钢板的抗拉强度计算。

F

F

(a) (b)

图3.2 螺栓连接

(a) 螺栓连接的钢板；(b) 螺栓的受力图

考虑到连接件的变形比较复杂，在工程设计中通常采用工程实用计算法(engineering method of practical analysis)进行简化计算。下面继续以螺栓连接为例介绍剪切强度和挤压强度的实用计算。至于钢板的抗拉强度计算和铆钉连接、榫接、焊接等的连接计算，可参阅相关教材。

1. 剪切强度计算

在图3.2(a)中，由螺栓连接的两块钢板承受力F 的作用，显然螺栓在此受力情况下将

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沿a-a 截面发生相对错动，发生剪切变形。如前所述，剪切面上的切应力为

Q S A =F τ 为保证螺栓不被剪断，必须使切应力τ不超过材料的许用切应力[]τ。于是，剪切强度条件可表示为

[]Q

S A =≤ττF (3.2)

许用切应力[]τ是通过实验来确定的：

在剪切实验中得到剪切破坏时材料的极限切应力u τ，再除以安全因数，即得该种材料许用切应力[]τ。对于钢材，工程上常取

[](0.750.8)[]σ∼=τ，[]σ为钢材的许用拉应力。对于大多数连接件来说，剪切变形和剪切强度是主要的。

2. 挤压强度计算

在图 3.2(a)中，在螺栓与钢板相接触的侧面上会发生相互间的局部承压现象，我们称之为挤压(bearing)，在接触面上的压力称之为挤压力(bearing force)，用符号F bs 表示。当挤压力足够大时，将使螺栓压扁或钢板在孔缘处压皱，从而导致连接松动而失效。在工程设计中，通常假定在挤压面上应力是均匀分布的，挤压力根据所受外力由静力平衡条件求得，因而挤压面上名义挤压应力为

bs bs bs

A =σF (3.3) 式中，A bs 为计算挤压面(effective bearing surface)面积。当接触面为平面(如键连接中键与轴的接触面)时，计算挤压面面积A bs 取实际接触面的面积；当接触面为圆柱面(如螺栓连接中螺栓与钢板的接触面)时，计算挤压面面积A bs 取圆柱面在直径平面上的投影面积，如图3.3(a)所示。

实际上，挤压应力(bearing stress)在接触面上的分布是很复杂的，与接触面的几何形状及材料性质直接相关。根据理论分析，圆柱状连接件与钢板接触面上的理论挤压应力沿圆柱面的分布情况如图 3.3(b)所示，而按式(3.3)计算得到的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近。

σbs

(a) (b)

图3.3 挤压面面积与理论挤压应力的分布

(a) 挤压面面积的计算；(b) 理论挤压应力分布